溶液の希釈問題と微分方程式
容器の中に濃度が一定の溶液が入っている状況を想定します。容器中の溶液に溶けている物質の総量を\(Q\in \mathbb{R} _{+}\)で表記し、時間を\(t\in \mathbb{R} _{+}\)で表記します。2つの変数\(Q,t\)の関係が、\begin{equation*}Q=Q\left( t\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。つまり、時点\(t\)において容器中の溶液に溶けている物質の量が\(Q\left( t\right) \)であるということです。このとき、微分\begin{equation*}\frac{dQ}{dt}=\frac{dQ\left( t\right) }{dt}
\end{equation*}は、時点\(t\)における容器中に存在する物質の瞬間的な変化量に相当します。
外部から容器の中に溶液を流入させると同時に、容器から溶液を排出する状況を想定します。この場合、以下の関係\begin{equation}
\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\text{時点}t\text{における物質の瞬間的な流入量}-\text{時点}t\text{における物質の瞬間的な排出量} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における物質の瞬間的な流入量} \\
&=&\text{時点}t\text{における流入溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における流入溶液の濃度}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における物質の瞬間的な排出量} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における排出溶液の濃度} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \frac{Q\left(
t\right) }{\text{時点}t\text{における容器中の溶液の体積}}
\end{eqnarray*}であるため、これらを特定した上で\(\left( 1\right) \)に代入することにより、1階の常微分方程式\begin{eqnarray*}\frac{dQ\left( t\right) }{dt} &=&\left( \text{時点}t\text{における流入溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における流入溶液の濃度}\right) \\
&&-\left( \text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \frac{Q\left( t\right) }{\text{時点}t\text{における容器中の溶液の体積}}\right)
\end{eqnarray*}が得られます。
流入流量と排出流量が等しい場合
容器に流入させる溶液の流量と、容器から排出する溶液の流量が等しい場合には、時間が経過しても容器中の溶液の体積は変化しません。以下が具体例です。
例（流入流量と排出流量が等しい場合）
タンクの中に\(10000\)リットルの食塩水が入っています。ただし、食塩水の中には\(100\)リットルあたり\(1\)キログラムの食塩が溶けています。外部から\(100\)リットル当たり\(2\)キロの食塩が溶けている食塩水を、\(1\)秒あたり\(20\)リットルのペースでタンクに流入させます。同時に、タンクからは\(1\)秒あたり\(20\)リットルのペースで食塩水を排出します。タンク中に存在する食塩量\(Q\)と時間\(t\)の関係が、\begin{equation*}Q=Q\left( t\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。ただし、\(Q\)の単位はキログラムであり、\(t\)の単位は秒です。以下の関係\begin{equation*}\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量}-\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量} \\
&=&\text{時点}t\text{における流入溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における流入溶液の濃度} \\
&=&20\cdot \frac{2}{100} \\
&=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における排出溶液の濃度} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \frac{Q\left(
t\right) }{\text{時点}t\text{における容器中の食塩水の体積}} \\
&=&20\cdot \frac{Q\left( t\right) }{10000} \\
&=&\frac{Q\left( t\right) }{500}
\end{eqnarray*}であるため、1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q\left( t\right) }{500}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dQ}{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q}{500}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{500}=\frac{2}{5} \quad \cdots (1)
\end{equation}が得られました。関数\(f,g\)を、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) &=&\frac{1}{500} \\
g\left( t\right) &=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dQ}{dt}+f\left( t\right) Q=g\left( t\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。積分因子は、\begin{eqnarray*}\mu \left( t\right) &=&\exp \left( \int f\left( t\right) dt\right) \\
&=&\exp \left( \int \frac{1}{500}dt\right) \\
&=&\exp \left( \frac{t}{500}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
Q &=&\frac{\int \mu \left( t\right) g\left( t\right) dt+C}{\mu \left(
t\right) } \\
&=&\frac{\int \exp \left( \frac{t}{500}\right) \frac{2}{5}dt+C}{\exp \left(
\frac{t}{500}\right) } \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\int \exp \left( \frac{t}{500}\right) dt+C}{\exp \left(
\frac{t}{500}\right) } \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\cdot 500\exp \left( \frac{t}{500}\right) dt+C}{\exp
\left( \frac{t}{500}\right) } \\
&=&\frac{200\exp \left( \frac{t}{500}\right) dt+C}{\exp \left( \frac{t}{500}\right) } \\
&=&200+\frac{C}{\exp \left( \frac{t}{500}\right) } \\
&=&200+C\exp \left( -\frac{t}{500}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の一般解が、\begin{equation}Q=200+C\exp \left( -\frac{t}{500}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが明らかになりました。初期時点\(0\)において容器中の食塩水の中には\(100\)リットルあたり\(1\)キログラムの食塩が溶けているため、初期条件は、\begin{equation*}Q\left( 0\right) =100
\end{equation*}です。これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}200+C\exp \left( -\frac{0}{500}\right) =100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
200+C=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C=-100
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 2\right) \)より、初期値問題の解は、\begin{equation*}Q\left( t\right) =200-100\exp \left( -\frac{t}{500}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }Q\left( t\right) &=&\lim_{t\rightarrow +\infty }
\left[ 200-100\exp \left( -\frac{t}{500}\right) \right] \\
&=&200-100\lim_{t\rightarrow +\infty }\exp \left( -\frac{t}{500}\right) \\
&=&200-100\cdot 0 \\
&=&200
\end{eqnarray*}であるため、均衡解は、\begin{equation*}
Q=200
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}と記述されているものとします。ただし、\(Q\)の単位はキログラムであり、\(t\)の単位は秒です。以下の関係\begin{equation*}\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量}-\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量} \\
&=&\text{時点}t\text{における流入溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における流入溶液の濃度} \\
&=&20\cdot \frac{2}{100} \\
&=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における排出溶液の濃度} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \frac{Q\left(
t\right) }{\text{時点}t\text{における容器中の食塩水の体積}} \\
&=&20\cdot \frac{Q\left( t\right) }{10000} \\
&=&\frac{Q\left( t\right) }{500}
\end{eqnarray*}であるため、1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q\left( t\right) }{500}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dQ}{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q}{500}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{500}=\frac{2}{5} \quad \cdots (1)
\end{equation}が得られました。関数\(f,g\)を、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) &=&\frac{1}{500} \\
g\left( t\right) &=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dQ}{dt}+f\left( t\right) Q=g\left( t\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。積分因子は、\begin{eqnarray*}\mu \left( t\right) &=&\exp \left( \int f\left( t\right) dt\right) \\
&=&\exp \left( \int \frac{1}{500}dt\right) \\
&=&\exp \left( \frac{t}{500}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
Q &=&\frac{\int \mu \left( t\right) g\left( t\right) dt+C}{\mu \left(
t\right) } \\
&=&\frac{\int \exp \left( \frac{t}{500}\right) \frac{2}{5}dt+C}{\exp \left(
\frac{t}{500}\right) } \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\int \exp \left( \frac{t}{500}\right) dt+C}{\exp \left(
\frac{t}{500}\right) } \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\cdot 500\exp \left( \frac{t}{500}\right) dt+C}{\exp
\left( \frac{t}{500}\right) } \\
&=&\frac{200\exp \left( \frac{t}{500}\right) dt+C}{\exp \left( \frac{t}{500}\right) } \\
&=&200+\frac{C}{\exp \left( \frac{t}{500}\right) } \\
&=&200+C\exp \left( -\frac{t}{500}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の一般解が、\begin{equation}Q=200+C\exp \left( -\frac{t}{500}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが明らかになりました。初期時点\(0\)において容器中の食塩水の中には\(100\)リットルあたり\(1\)キログラムの食塩が溶けているため、初期条件は、\begin{equation*}Q\left( 0\right) =100
\end{equation*}です。これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}200+C\exp \left( -\frac{0}{500}\right) =100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
200+C=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C=-100
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 2\right) \)より、初期値問題の解は、\begin{equation*}Q\left( t\right) =200-100\exp \left( -\frac{t}{500}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }Q\left( t\right) &=&\lim_{t\rightarrow +\infty }
\left[ 200-100\exp \left( -\frac{t}{500}\right) \right] \\
&=&200-100\lim_{t\rightarrow +\infty }\exp \left( -\frac{t}{500}\right) \\
&=&200-100\cdot 0 \\
&=&200
\end{eqnarray*}であるため、均衡解は、\begin{equation*}
Q=200
\end{equation*}であることが明らかになりました。
流入流量と排出流量が異なる場合
容器に流入させる溶液の流量と、容器から排出する溶液の流量が異なる場合には、時間の経過とともに容器中の溶液の体積が変化するため、その点に注意した上で微分方程式を定式化する必要があります。以下が具体例です。
例（流入流量と排出流量が異なる場合）
タンクの中に\(10000\)リットルの食塩水が入っています。ただし、食塩水の中には\(100\)リットルあたり\(1\)キログラムの食塩が溶けています。外部から\(100\)リットル当たり\(2\)キロの食塩が溶けている食塩水を、\(1\)秒あたり\(20\)リットルのペースでタンクに流入させます。同時に、タンクからは\(1\)秒あたり\(10\)リットルのペースで食塩水を排出します。タンク中に存在する食塩量\(Q\)と時間\(t\)の関係が、\begin{equation*}Q=Q\left( t\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。ただし、\(Q\)の単位はキログラムであり、\(t\)の単位は秒です。以下の関係\begin{equation*}\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量}-\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量} \\
&=&\text{時点}t\text{における流入溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における流入溶液の濃度} \\
&=&20\cdot \frac{2}{100} \\
&=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}である一方で、流入流量\(20\)が排出流量\(10\)を上回るため時間の経過とともに容器中の食塩水の体積が単位時間あたり\(10\)リットルずつ増加することを踏まえると、\begin{eqnarray*}&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における排出溶液の濃度} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \frac{Q\left(
t\right) }{\text{時点}t\text{における容器中の食塩水の体積}} \\
&=&10\cdot \frac{Q\left( t\right) }{10000+10t} \\
&=&\frac{Q\left( t\right) }{1000+t}
\end{eqnarray*}であるため、1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q\left( t\right) }{1000+t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dQ}{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q}{1000+t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{1000+t}=\frac{2}{5} \quad \cdots (1)
\end{equation}が得られました。関数\(f,g\)を、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) &=&\frac{1}{1000+t} \\
g\left( t\right) &=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dQ}{dt}+f\left( t\right) Q=g\left( t\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。積分因子は、\begin{eqnarray*}\mu \left( t\right) &=&\exp \left( \int f\left( t\right) dt\right) \\
&=&\exp \left( \int \frac{1}{1000+t}dt\right) \\
&=&\exp \left( \ln \left( 1000+t\right) \right) \quad \because t\geq 0 \\
&=&1000+t
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
Q &=&\frac{\int \mu \left( t\right) g\left( t\right) dt+C}{\mu \left(
t\right) } \\
&=&\frac{\int \left( 1000+t\right) \frac{2}{5}dt+C}{1000+t} \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\int \left( 1000+t\right) dt+C}{1000+t} \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\left( 1000t+\frac{1}{2}t^{2}\right) +C}{1000+t} \\
&=&\frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+C}{1000+t}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の一般解が、\begin{equation}Q=\frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+C}{1000+t} \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが明らかになりました。初期時点\(0\)において容器中の食塩水の中には\(100\)リットルあたり\(1\)キログラムの食塩が溶けているため、初期条件は、\begin{equation*}Q\left( 0\right) =100
\end{equation*}です。これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{400\cdot 0+\frac{1}{5}\cdot 0^{2}+C}{1000+0}=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{C}{1000}=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C=100000
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 2\right) \)より、初期値問題の解は、\begin{equation*}Q=\frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+100000}{1000+t}
\end{equation*}であることが明らかになりました。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }Q\left( t\right) &=&\lim_{t\rightarrow +\infty
}\left( \frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+100000}{1000+t}\right) \\
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\left( \frac{400+\frac{1}{5}t+\frac{100000}{t}}{\frac{1000}{t}+1}\right) \\
&=&\frac{400+\left( +\infty \right) +0}{0+1} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}と記述されているものとします。ただし、\(Q\)の単位はキログラムであり、\(t\)の単位は秒です。以下の関係\begin{equation*}\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量}-\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な流入量} \\
&=&\text{時点}t\text{における流入溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における流入溶液の濃度} \\
&=&20\cdot \frac{2}{100} \\
&=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}である一方で、流入流量\(20\)が排出流量\(10\)を上回るため時間の経過とともに容器中の食塩水の体積が単位時間あたり\(10\)リットルずつ増加することを踏まえると、\begin{eqnarray*}&&\text{時点}t\text{における食塩の瞬間的な排出量} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \text{時点}t\text{における排出溶液の濃度} \\
&=&\text{時点}t\text{における排出溶液の流量}\times \frac{Q\left(
t\right) }{\text{時点}t\text{における容器中の食塩水の体積}} \\
&=&10\cdot \frac{Q\left( t\right) }{10000+10t} \\
&=&\frac{Q\left( t\right) }{1000+t}
\end{eqnarray*}であるため、1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dQ\left( t\right) }{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q\left( t\right) }{1000+t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dQ}{dt}=\frac{2}{5}-\frac{Q}{1000+t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{1000+t}=\frac{2}{5} \quad \cdots (1)
\end{equation}が得られました。関数\(f,g\)を、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) &=&\frac{1}{1000+t} \\
g\left( t\right) &=&\frac{2}{5}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dQ}{dt}+f\left( t\right) Q=g\left( t\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階常微分方程式です。積分因子は、\begin{eqnarray*}\mu \left( t\right) &=&\exp \left( \int f\left( t\right) dt\right) \\
&=&\exp \left( \int \frac{1}{1000+t}dt\right) \\
&=&\exp \left( \ln \left( 1000+t\right) \right) \quad \because t\geq 0 \\
&=&1000+t
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
Q &=&\frac{\int \mu \left( t\right) g\left( t\right) dt+C}{\mu \left(
t\right) } \\
&=&\frac{\int \left( 1000+t\right) \frac{2}{5}dt+C}{1000+t} \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\int \left( 1000+t\right) dt+C}{1000+t} \\
&=&\frac{\frac{2}{5}\left( 1000t+\frac{1}{2}t^{2}\right) +C}{1000+t} \\
&=&\frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+C}{1000+t}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の一般解が、\begin{equation}Q=\frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+C}{1000+t} \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが明らかになりました。初期時点\(0\)において容器中の食塩水の中には\(100\)リットルあたり\(1\)キログラムの食塩が溶けているため、初期条件は、\begin{equation*}Q\left( 0\right) =100
\end{equation*}です。これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{400\cdot 0+\frac{1}{5}\cdot 0^{2}+C}{1000+0}=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{C}{1000}=100
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C=100000
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 2\right) \)より、初期値問題の解は、\begin{equation*}Q=\frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+100000}{1000+t}
\end{equation*}であることが明らかになりました。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }Q\left( t\right) &=&\lim_{t\rightarrow +\infty
}\left( \frac{400t+\frac{1}{5}t^{2}+100000}{1000+t}\right) \\
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\left( \frac{400+\frac{1}{5}t+\frac{100000}{t}}{\frac{1000}{t}+1}\right) \\
&=&\frac{400+\left( +\infty \right) +0}{0+1} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（溶液の希釈問題）
タンクの中に\(100\)リットルの真水が入っています。外部からタンクの中に二酸化炭素溶液（炭酸水）を注入します。ただし、その溶液は\(1\)リットル当たり\(10\)グラムの二酸化炭素を含んでいるものとします。溶液の流入流量は\(1\)分あたり\(2\)リットルです。タンクの中では真水と炭酸水が均一に混ざるものとします。また、タンクからは混合液が\(1\)分あたり\(2\)リットル排出されるものとします。以上の状況を微分方程式として定式化した上で、初期値問題を解いてください。
問題（溶液の希釈問題）
タンクの中に\(40\)リットルの真水が入っています。外部からタンクの中に二酸化炭素溶液（炭酸水）を注入します。ただし、その溶液は\(1\)リットル当たり\(5\)グラムの二酸化炭素を含んでいるものとします。溶液の流入流量は\(1\)分あたり\(2\)リットルです。タンクの中では真水と炭酸水が均一に混ざるものとします。また、タンクからは混合液が\(1\)分あたり\(4\)リットル排出されるものとします。以上の状況を微分方程式として定式化した上で、初期値問題を解いてください。
問題（希釈に必要な時間）
タンクの中に\(100\)リットルの食塩水が入っています。ただし、その食塩水の中には\(400\)グラムの食塩が混ざっています。食塩水を薄めるために、外部からタンクの中に真水を入れると同時に、タンクから食塩水を排出します。流入流量と排出流量はともに\(1\)分あたり\(5\)リットルです。タンク中の食塩水の量が\(1\)リットル当たり\(1\)グラムまで薄まるまでに必要な時間（分）を特定してください。
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