最も単純な1階常微分方程式
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。特に、常微分方程式\(\left(1\right) \)が変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) \)を用いて以下の形\begin{equation}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}で表現される状況を想定します。これは最も単純な1階の常微分方程式であり、「関数\(y=f\left( x\right) \)の導関数は関数\(g\left( x\right) \)と一致する」という主張に相当します。
例（最も単純な1階常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=5x-3 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g\)を、\begin{equation*}g\left( x\right) =5x-3
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式です。
\frac{dy}{dx}=5x-3 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g\)を、\begin{equation*}g\left( x\right) =5x-3
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式です。
例（最も単純な1階常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation}
\left( 1+x\right) \frac{dy}{dx}=x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。\(x\not=-1\)の場合には、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1+x}
\end{equation*}と変形できるため、関数\(g\)を、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{x}{1+x}
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式です。
\left( 1+x\right) \frac{dy}{dx}=x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。\(x\not=-1\)の場合には、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1+x}
\end{equation*}と変形できるため、関数\(g\)を、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{x}{1+x}
\end{equation*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式です。
1階常微分方程式と直接積分法
1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。これは「関数\(y=f\left( x\right) \)の導関数は関数\(g\left( x\right) \)と一致する」という主張に他ならないため、この常微分方程式を解く作業は関数\(g\left( x\right) \)の原始関数を特定する作業に他なりません。
命題（直接積分法）
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と表されているものとする。1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。関数\(g\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}y=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}と表されているものとする。1階の常微分方程式\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}が与えられているものとする。関数\(g\)が\(C^{1}\)級である場合には、\begin{equation*}y=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(C\)は積分定数である。
以上を踏まえた上で、最も単純な1階常微分方程式の解法を整理します。このような手法を直接積分法（method of direct integration）と呼びます。
- 1階の常微分方程式\begin{equation*}F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}に対して、以下の条件\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数\(g\left( x\right) \)を特定する。 - 以下の方程式\begin{equation*}y=\int g\left( x\right) dx+C
\end{equation*}を構成し、右辺を具体的に積分する。
例（最も単純な1階常微分方程式の解法）
以下の常微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}=5x-3 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =5x-3
\end{equation*}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、以下の方程式\begin{equation}
y=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (2)
\end{equation}が成立します。\(\left( 2\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \left( 5x-3\right) dx \\
&=&\frac{5}{2}x^{2}-3x+C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation}y=\frac{5}{2}x^{2}-3x+C \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。任意の定数\(C\)についても同様の議論が成立するため、\(\left( 3\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(3\right) \)の導関数は、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=5x-3
\end{equation*}であり、これを\(\left( 1\right) \)に代入すると等号が成立します。さらに、常微分方程式\(\left( 1\right) \)に加えて、初期条件\begin{equation*}y\left( 2\right) =3
\end{equation*}のもとでの初期値問題を解きます。\(\left( 3\right) \)を踏まえると、初期条件を、\begin{equation*}\frac{5}{2}\cdot 2^{2}-3\cdot 2+C=3
\end{equation*}となるため、これを解くことにより、\begin{equation*}
C=-1
\end{equation*}を得ます。したがって、初期値問題の解は、\begin{equation*}
y=\frac{5}{2}x^{2}-3x-1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\frac{dy}{dx}=5x-3 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =5x-3
\end{equation*}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、以下の方程式\begin{equation}
y=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (2)
\end{equation}が成立します。\(\left( 2\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \left( 5x-3\right) dx \\
&=&\frac{5}{2}x^{2}-3x+C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation}y=\frac{5}{2}x^{2}-3x+C \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。任意の定数\(C\)についても同様の議論が成立するため、\(\left( 3\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(3\right) \)の導関数は、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=5x-3
\end{equation*}であり、これを\(\left( 1\right) \)に代入すると等号が成立します。さらに、常微分方程式\(\left( 1\right) \)に加えて、初期条件\begin{equation*}y\left( 2\right) =3
\end{equation*}のもとでの初期値問題を解きます。\(\left( 3\right) \)を踏まえると、初期条件を、\begin{equation*}\frac{5}{2}\cdot 2^{2}-3\cdot 2+C=3
\end{equation*}となるため、これを解くことにより、\begin{equation*}
C=-1
\end{equation*}を得ます。したがって、初期値問題の解は、\begin{equation*}
y=\frac{5}{2}x^{2}-3x-1
\end{equation*}であることが明らかになりました。
例（最も単純な1階常微分方程式の解法）
以下の常微分方程式\begin{equation}
\left( 1+x\right) \frac{dy}{dx}=x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =\frac{x}{1+x}
\end{equation*}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、以下の方程式\begin{equation}
y=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (2)
\end{equation}が成立します。\(\left( 2\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{1+x}dx \\
&=&x-\ln \left( x+1\right) +C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation}y=x-\ln \left( x+1\right) +C \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。任意の定数\(C\)についても同様の議論が成立するため、\(\left( 3\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(3\right) \)の導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&1-\frac{1}{x+1} \\
&=&\frac{x}{x+1}
\end{eqnarray*}であり、これを\(\left( 1\right) \)に代入すると等号が成立します。
\left( 1+x\right) \frac{dy}{dx}=x \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation*}
g\left( x\right) =\frac{x}{1+x}
\end{equation*}に注目すると、\(\left( 1\right) \)は最も単純な1階常微分方程式\begin{equation*}\frac{dy}{dx}=g\left( x\right)
\end{equation*}とみなされます。先の命題より、以下の方程式\begin{equation}
y=\int g\left( x\right) dx+C \quad \cdots (2)
\end{equation}が成立します。\(\left( 2\right) \)の右辺については、\begin{eqnarray*}\int g\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{1+x}dx \\
&=&x-\ln \left( x+1\right) +C
\end{eqnarray*}であるため、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation}y=x-\ln \left( x+1\right) +C \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。任意の定数\(C\)についても同様の議論が成立するため、\(\left( 3\right) \)は常微分方程式\(\left( 1\right) \)の一般解であることが明らかになりました。実際、\(\left(3\right) \)の導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&1-\frac{1}{x+1} \\
&=&\frac{x}{x+1}
\end{eqnarray*}であり、これを\(\left( 1\right) \)に代入すると等号が成立します。
演習問題
問題（常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation*}
y^{\prime }=e^{3x}-x
\end{equation*}の一般解を求めてください。
y^{\prime }=e^{3x}-x
\end{equation*}の一般解を求めてください。
問題（常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation*}
xy^{\prime }=1
\end{equation*}の一般解を求めてください。
xy^{\prime }=1
\end{equation*}の一般解を求めてください。
問題（常微分方程式）
以下の常微分方程式\begin{equation*}
\left( 1+x^{2}\right) y^{\prime }=x
\end{equation*}の一般解を求めてください。
\left( 1+x^{2}\right) y^{\prime }=x
\end{equation*}の一般解を求めてください。
問題（初期値問題）
以下の初期値問題\begin{equation*}
y^{\prime }=xe^{x},\quad y\left( 1\right) =3
\end{equation*}の解を求めてください。
y^{\prime }=xe^{x},\quad y\left( 1\right) =3
\end{equation*}の解を求めてください。
問題（初期値問題）
以下の初期値問題\begin{equation*}
y^{\prime }=2\sin \left( x\right) \cos \left( x\right) ,\quad y\left(
0\right) =1
\end{equation*}の解を求めてください。
y^{\prime }=2\sin \left( x\right) \cos \left( x\right) ,\quad y\left(
0\right) =1
\end{equation*}の解を求めてください。
問題（初期値問題）
以下の初期値問題\begin{equation*}
\left( x^{2}-1\right) y^{\prime }=1,\quad y\left( 2\right) =0
\end{equation*}の解を求めてください。
\left( x^{2}-1\right) y^{\prime }=1,\quad y\left( 2\right) =0
\end{equation*}の解を求めてください。
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