ベルヌーイの微分方程式
2つの変数\(x,y\)の間に成立する関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、1階の常微分方程式\begin{equation}
F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられている状況を想定します。特に、常微分方程式\(\left(1\right) \)が変数\(x\)に関する関数\(g\left( x\right) ,h\left( x\right) \)を用いて以下の形\begin{equation}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{m} \quad \cdots (2)
\end{equation}すなわち、\begin{equation*}
\frac{df\left( x\right) }{dx}+g\left( x\right) f\left( x\right) =h\left(
x\right) \left[ f\left( x\right) \right] ^{m}
\end{equation*}で表現される場合には、これをベルヌーイの微分方程式（Bernoulli equation）と呼びます。
\frac{dy}{dx}-y=e^{x}y^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)を、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&-1 \\
h\left( x\right) &=&e^{x}
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{2}
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)はベルヌーイの微分方程式です。
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。関数\(g,h\)を、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&1
\end{eqnarray*}と定義すれば、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{2}
\end{equation*}と表現できるため、\(\left( 1\right) \)はベルヌーイの微分方程式です。
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{m}
\end{equation*}において、\begin{equation*}
m=1
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\left[ h\left( x\right) -g\left( x\right) \right] y
\end{equation*}となりますが、これは変数分離型の常微分方程式です。
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{m}
\end{equation*}において、\begin{equation*}
m=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right)
\end{equation*}となりますが、これは線型1階常微分方程式です。
ベルヌーイの微分方程式の解法
ベルヌーイの微分方程式\begin{equation}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況を想定します。新たな変数\begin{equation*}
z=y^{1-m}
\end{equation*}を定義すると、\begin{equation}
\frac{dz}{dx}=\left( 1-m\right) y^{-m}\frac{dy}{dx} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。
以上を踏まえた上で\(\left( 1\right) \)を変形します。具体的には、\(\left( 1\right) \)の両辺に\(\left( 1-m\right) y^{-m}\)をかけると、\begin{equation*}\left( 1-m\right) y^{-m}\frac{dy}{dx}+\left( 1-m\right) y^{-m}g\left(
x\right) y=\left( 1-m\right) y^{-m}h\left( x\right) y^{m}
\end{equation*}となりますが、これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\frac{dz}{dx}+\left( 1-m\right) y^{-m+1}g\left( x\right) =\left( 1-m\right)
h\left( x\right)
\end{equation*}を得て、さらに\(z\)の定義より、\begin{equation}\frac{dz}{dx}+\left( 1-m\right) g\left( x\right) z=\left( 1-m\right) h\left(
x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。したがって、\(\left( 1\right) \)の代わりに\(\left( 3\right) \)を解くことができます。しかも、\(\left(3\right) \)は線型1階常微分方程式であるため、線形1階常微分方程式の解法を用いて\(\left( 3\right) \)を解くことができます。
以上を踏まえた上で、ベルヌーイの微分方程式の解法を整理します。
- 1階の常微分方程式\begin{equation*}F\left( x,y,\frac{dy}{dx}\right) =0
\end{equation*}がベルヌーイの微分方程式であることを確認する。つまり、以下の条件\begin{equation}
\frac{dy}{dx}+g\left( x\right) y=h\left( x\right) y^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす関数\(g\left( x\right) ,h\left(x\right) \)を特定する。 - 以下の変数\begin{equation}z=y^{1-m} \quad \cdots (2)
\end{equation}を定義した上で、\(\left(1\right) \)を線型1階常微分方程式\begin{equation}\frac{dz}{dx}+\left( 1-m\right) g\left( x\right) z=\left( 1-m\right) h\left(
x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}に変換する。 - 線型1階常微分方程式の解法を用いて\(\left(3\right) \)を解く。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 3\right) \)の解を\(\left( 1\right) \)の解へ変換する。
\frac{dy}{dx}-y=e^{x}y^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。先に明らかになったように、これはベルヌーイ微分方程式です。そこで、\(y\not=0\)のもとで、\begin{equation}z=y^{1-2}=\frac{1}{y} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義すると、\begin{eqnarray*}
\frac{dz}{dx} &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{y}\right) \\
&=&-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\left( 1\right) \)の両辺に\(-\frac{1}{y^{2}}\)を掛けることにより、\begin{equation*}-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{y^{2}}y=-\frac{1}{y^{2}}e^{x}y^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dz}{dx}+\frac{1}{y}=-e^{x}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{dz}{dx}+z=-e^{x} \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。関数\(g,h\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&1 \\
h\left( x\right) &=&-e^{x}
\end{eqnarray*}と定義すると、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*}\frac{dz}{dx}+g\left( x\right) z=h\left( x\right)
\end{equation*}と表せるため、\(\left( 1\right) \)は線型1階微分方程式です。積分因子は、\begin{eqnarray*}\mu \left( x\right) &=&\exp \left( \int g\left( x\right) dx\right) \\
&=&\exp \left( \int 1dx\right) \\
&=&\exp \left( x\right) \\
&=&e^{x}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
z &=&\frac{\int \mu \left( x\right) h\left( x\right) dx+C}{\mu \left(
x\right) } \\
&=&\frac{\int e^{x}\left( -e^{x}\right) dx+C}{e^{x}} \\
&=&\frac{-\int e^{2x}dx+C}{e^{x}} \\
&=&\frac{-\frac{e^{2x}}{2}+C}{e^{x}} \\
&=&-\frac{e^{x}}{2}+Ce^{-x} \\
&=&\frac{-e^{x}+2Ce^{-x}}{2}
\end{eqnarray*}を得ます。これが\(\left(3\right) \)の一般解です。これと\(\left( 2\right) \)より、\(\left( 1\right) \)の一般解は、\begin{equation*}y=\frac{1}{z}=\frac{2}{-e^{x}+2Ce^{-x}}
\end{equation*}となります。ちなみに、\begin{equation*}
y=0
\end{equation*}もまた\(\left( 1\right) \)の解です。
演習問題
\frac{dy}{dx}2x-y=3x^{2}y^{3}
\end{equation*}の解を求めてください。
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=y^{2}
\end{equation*}の解を求めてください。
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