等加速度直線運動と自由落下

直線上を移動する点の変位・瞬間速度・瞬間加速度

直線上を移動する点の位置の変位、瞬間速度、瞬間加速度およびそれらの関係について簡単に復習します。

直線上を移動する点を観察し、経過時間と点の位置（数直線上での点の位置を表す座標）の関係を関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として整理します。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の位置（position）を表す座標が、\begin{equation*}f\left( t\right)
\end{equation*}という実数として表されるということです。時間の単位として「秒」を採用し、長さの単位として「メートル」を採用します。

時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)および正の実数\(h>0\)を選んだとき、時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけての点の位置の変位（displacement）は、\begin{equation*}f\left( t+h\right) -f\left( t\right)
\end{equation*}と定義されます。これは、時点\(t\)と時点\(t+h\)を比較したとき、その前後において点がどちらの方向にどれだけ動いたかを表す指標です。さらに、変位\(f\left( t+h\right) -f\left( t\right) \)を経過時間\(h\)で割ることで得られる指標\begin{equation*}\frac{f\left( t+h\right) -f\left( t\right) }{h}
\end{equation*}を平均速度（average velocity）と呼びます。これは単位時間（1秒）あたりの変位であり、時点\(t\)から時点\(t+h\)までの\(h\)秒間に点が平均的にどちらの方向にどれくらいのペースで動いたかを表す指標です。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において微分可能である場合には点\(t\)における微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( t\right) }{dt}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( t+h\right)
-f\left( t\right) }{h}
\end{equation*}が得られますが、これを時点\(t\)における点の瞬間速度（instaneous velocity）と呼びます。これは時点\(t\)という瞬間において点がどちらの方向へどれだけ動いているかを表す指標です。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であるならば、それぞれの時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の瞬間速度\(\frac{df\left( t\right) }{dt}\)を特定する導関数\begin{equation*}\frac{df}{dt}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。さらに、関数\(f\)が連続である場合には純変化量定理（微分積分学の第2定理）が要求する条件が満たされるため、\(a<b\)を満たす2つの時点\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( t\right) }{dt}dt
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、瞬間速度を与える関数\(\frac{df}{dt}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分したとき、得られた定積分（右辺）は、時点\(a\)から時点\(b\)へかけての点の位置の変位（左辺）であるということです。

改めて整理すると、それぞれの時点における点の位置を特定する関数\(f\)を点\(t\)において微分すれば時点\(t\)における点の瞬間速度\(\frac{df\left( t\right) }{dt}\)が得られる一方で、瞬間速度を特定する導関数\(\frac{df}{dt}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分すれば時点\(a\)から時点\(b\)へかけての点の位置の変位\(f\left( b\right) -f\left( a\right) \)が得られます。

先の議論から明らかになったように、それぞれの時点\(t\)における点の位置\(f\left( t\right) \)を特定する関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)の導関数\begin{equation*}\frac{df}{dt}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は、それぞれの時点\(t\)における点の瞬間速度\(\frac{df\left( t\right) }{dt}\)を特定します。時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)および正の実数\(h>0\)を選んだとき、時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけての瞬間速度の差は、\begin{equation*}\frac{df\left( t+h\right) }{dt}-\frac{df\left( t\right) }{dt}
\end{equation*}ですが、これは、時点\(t\)と時点\(t+h\)を比較したとき、その前後において点の瞬間速度がどちらの方向（増加もしくは減少）にどれだけ変化したかを表す指標です。瞬間速度の差\(\frac{df\left( t+h\right) }{dt}-\frac{df\left( t\right) }{dt}\)を経過時間\(h\)で割ることで得られる指標\begin{equation*}\frac{\frac{df\left( t+h\right) }{dt}-\frac{df\left( t\right) }{dt}}{h}
\end{equation*}を平均加速度（average acceleration）と呼びます。これは単位時間（1秒）あたりの瞬間速度の変化であり、時点\(t\)から時点\(t+h\)までの\(h\)秒間に点の瞬間速度が平均的にどちらの方向（増加もしくは減少）にどれくらいのペースで変化したかを表す指標です。

導関数\(\frac{df}{dt}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)において微分可能である場合には点\(t\)における微分係数\begin{equation*}\frac{d}{dt}\left( \frac{df\left( t\right) }{dt}\right) =\lim_{h\rightarrow
0}\frac{\frac{df\left( t+h\right) }{dt}-\frac{df\left( t\right) }{dt}}{h}
\end{equation*}すなわち関数\(f\)の点\(t\)における2階微分係数\begin{equation*}\frac{d^{2}f\left( t\right) }{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\left( \frac{df\left(
t\right) }{dt}\right)
\end{equation*}が得られますが、これを時点\(t\)における点の瞬間加速度（instantaneous acceleration）と呼びます。これは時点\(t\)という瞬間において点の瞬間速度がどちらの方向（増加もしくは減少）へどれだけ変化しているかを表す指標です。

導関数\(\frac{df}{dt}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であるならば、それぞれの時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の瞬間加速度\(\frac{d^{2}f\left( t\right) }{dt^{2}}\)を特定する導関数\begin{equation*}\frac{d^{2}f}{dt^{2}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在することが保証されます。これは関数\(f\)の2階導関数に相当します。さらに、関数\(\frac{df}{dt}\)が連続である場合には純変化定理（微分積分学の第2定理）が要求する条件が満たされるため、\(a<b\)を満たす2つの時点\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\frac{df\left( b\right) }{dt}-\frac{df\left( a\right) }{dt}=\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f\left( t\right) }{dt^{2}}dt
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、瞬間加速度を与える関数\(\frac{d^{2}f}{dt^{2}}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分したとき、得られた定積分（右辺）は、時点\(a\)から時点\(b\)へかけての点の瞬間速度の変化であるということです。

改めて整理すると、それぞれの時点における点の瞬間速度を特定する導関数\(\frac{df}{dt}\)を点\(t\)において微分すれば時点\(t\)における点の瞬間加速度\(\frac{d^{2}f\left( t\right) }{dt^{2}}\)が得られる一方で、瞬間加速度を特定する2階導関数\(\frac{d^{2}f\left(t\right) }{dt^{2}}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分すれば時点\(a\)から時点\(b\)へかけての点の瞬間速度の変化\(\frac{df\left( b\right) }{dt}-\frac{df\left( a\right) }{dt}\)が得られます。

等加速度直線運動

直線上を移動する点を観察し、それぞれの時点における点の位置を特定する関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られたものとします。つまり、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の位置を表す座標は\(f\left( t\right) \)です。この関数\(f\)が\(2\)階微分可能である場合には2階導関数\begin{equation*}\frac{d^{2}f}{dt^{2}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在しますが、これはそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における点の瞬間加速度\(\frac{d^{2}f\left( t\right) }{dt^{2}}\)を特定する関数です。

直線上を移動する点の瞬間加速度が任意の時点において一定である場合、そのような運動を等加速度直線運動（uniformly accelerated linear motion）と呼びます。瞬間加速度が一定であることは、瞬間加速度を特定する関数\(\frac{d^{2}f}{dt^{2}}\)が定数関数であることを意味します。つまり、以下の条件\begin{equation}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall t\in \mathbb{R} _{+}:\frac{d^{2}f\left( t\right) }{dt^{2}}=a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。これは、任意の時点における加速度が定数\(a\)と一致することを意味します。

瞬間加速度\(a\in \mathbb{R} \)の等加速度直線運動を想定します。時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、時点\(0\)から時点\(t\)にかけての瞬間速度の変化は、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( t\right) }{dt}-\frac{df\left( 0\right) }{dt} &=&\int_{0}^{t}\frac{d^{2}f\left( s\right) }{ds^{2}}ds\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{0}^{t}ads\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ as\right] _{0}^{t} \\
&=&at-0 \\
&=&at
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\frac{df\left( t\right) }{dt}=\frac{df\left( 0\right) }{dt}+at
\end{equation*}を得ます。つまり、初期時点\(0\)における瞬間速度\(\frac{df\left( 0\right) }{dt}\)と瞬間加速度を表す定数\(a\)が与えられれば、上の関係を用いて時点\(t\)における瞬間速度\(\frac{df\left( t\right) }{dt}\)を特定できるということです。

特に、初期時点\(0\)において点が停止している場合には、\begin{equation*}\frac{df\left( 0\right) }{dt}=0
\end{equation*}であるため、この場合、時点\(t\)における瞬間速度は、\begin{equation*}\frac{df\left( t\right) }{dt}=at
\end{equation*}となります。

等加速度直線運動の瞬間加速度が\(a\in \mathbb{R} \)である場合、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における瞬間速度は、\begin{equation}\frac{df\left( t\right) }{dt}=\frac{df\left( 0\right) }{dt}+at \quad \cdots (1)
\end{equation}として定まることが明らかになりました。時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、時点\(0\)から時点\(t\)にかけての点の位置の変位は、\begin{eqnarray*}f\left( t\right) -f\left( 0\right) &=&\int_{0}^{t}\frac{df\left( s\right) }{ds}ds\quad \because \text{純変化量定理}
\\
&=&\int_{0}^{t}\left( \frac{df\left( 0\right) }{ds}+as\right) ds\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\left[ \frac{df\left( 0\right) }{ds}s+\frac{1}{2}as^{2}\right] _{0}^{t} \\
&=&\left( \frac{df\left( 0\right) }{dt}t+\frac{1}{2}at^{2}\right) -\left(
0+0\right) \\
&=&\frac{df\left( 0\right) }{dt}t+\frac{1}{2}at^{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f\left( t\right) =f\left( 0\right) +\frac{df\left( 0\right) }{dt}t+\frac{1}{2}at^{2}
\end{equation*}を得ます。つまり、初期時点\(0\)における位置\(f\left( 0\right) \)と瞬間速度\(\frac{df\left( 0\right) }{dt}\)および瞬間加速度を表す定数\(a\)が与えられれば、上の関係を用いて時点\(t\)における位置\(f\left( t\right) \)を特定できるということです。

特に、初期時点\(0\)における位置が数直線の原点である場合には、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}であるため、この場合、時点\(t\)における位置は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\frac{df\left( 0\right) }{dt}t+\frac{1}{2}at^{2}
\end{equation*}となります。また、初期時点\(0\)において点が停止している場合には、\begin{equation*}\frac{df\left( 0\right) }{dt}=0
\end{equation*}であるため、この場合、時点\(t\)における位置は、\begin{equation*}f\left( t\right) =f\left( 0\right) +\frac{1}{2}at^{2}
\end{equation*}となります。また、初期時点\(0\)における位置が数直線の原点であるとともに、初期時点\(0\)において点が停止している場合には、\begin{equation*}f\left( 0\right) =\frac{df\left( 0\right) }{dt}=0
\end{equation*}であるため、この場合、時点\(t\)における位置は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\frac{1}{2}at^{2}
\end{equation*}となります。