球面座標系（空間における極座標系）

球面座標系

\(n\)次元空間ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するそれぞれの点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の位置を特定するために、点\(\boldsymbol{x}\)に対して付与される数の組を\(\boldsymbol{x}\)の座標（coordinates）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して座標を付与する方法は一意的ではありません。それぞれの点に対してどのようなルールのもとで座標を付与するか、そのルールに相当する概念を座標系（coordinate system）と呼びます。ここでは、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における極座標系（polar coordinate system）の1つである球面座標系（spherical coordinate system）について解説します。なお、以降では列ベクトルと行ベクトルを同一視した上で、主に列ベクトルを用いて議論を行います。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)に直交座標系にもとづく座標を導入すれば直交座標平面が得られます。直交座標平面における原点\(O\)の座標は\(\left( 0,0,0\right) \)ですが、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)に球面座標系にもとづく座標を導入する場合には、この原点\(O\)を極（polar）と呼びます。また、直交座標系における\(x\)軸の正の部分、\(y\)軸の正の部分、\(z\)軸の正の部分をそれぞれ球面座標系において\(x\)軸（\(x\) axix）、\(y\)軸（\(y\) axis）、\(z\)軸（\(z\) axis）と呼びます。

空間上に存在する点\(P\)が与えられた状況を想定します（上図）。点\(P\)から\(xy\)平面へ下ろした垂線の足を点\(Q\)と呼びます。線分\(OP\)の長さが\(\rho \)であり、線分\(OQ\)と\(x\)軸のなす角が\(\theta \)であり、線分\(OP\)と\(z\)軸のなす角が\(\phi \)である場合、球面座標系のもとでは、点\(P\)の座標を、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\rho \\
\theta \\
\phi
\end{array}\right)
\end{equation*}と定めます。このような座標を点\(P\)の球面座標（spherical coordinates）と呼びます。球面座標の第1成分である\(\rho \)を動径（radial distance）と呼び、第2成分である\(\theta \)を方位角（azimuthal angle）と呼び、第3成分である\(\phi \)を極角（polar angle）と呼びます。

線分\(OP\)の長さは非負の実数として定まるため、点\(P\)の動径\(\rho \)は非負の実数として定まります。すなわち、\begin{equation*}\rho \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。

線分\(OQ\)と\(x\)軸のなす角の大きさを反時計回りに計測する状況において方位角\(\theta \)を正の実数で表記するのであれば、方位角は以下の条件\begin{equation*}0\leq \theta <2\pi
\end{equation*}を満たします。

線分\(OP\)と\(z\)軸のなす角の大きさを時計回りに計測する状況において極角\(\phi \)を正の実数で表記するのであれば、極角は以下の条件\begin{equation*}0\leq \phi \leq \pi
\end{equation*}を満たします。

点\(P\)が極\(O\)と一致する場合の動径は\(r=0\)ですが、この場合には方位角\(\theta \)と極角\(\phi \)は任意の値をとるものと定めます。つまり、極\(O\)の球面座標を、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\theta \\
\phi
\end{array}\right) \quad \left( \theta \in \lbrack 0,2\pi )\wedge \phi \in \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}と定めるということです。

球面座標を直交座標へ変換する

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に直交座標を導入した場合の原点\(O\)と、球面座標を導入した場合の極\(O\)を同一視します。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y,z\right) \)である一方で球面座標が\(\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \)であるものとします。動径\(\rho \)は線分\(OP\)の長さに相当するため、\begin{equation*}\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。線分\(OQ\)の長さを、\begin{equation*}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}と表記するのであれば、正弦および余弦の定義より、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) =\dfrac{x}{r} \\
\sin \left( \theta \right) =\dfrac{y}{r} \\
\cos \left( \phi \right) =\dfrac{z}{\rho } \\
\sin \left( \phi \right) =\dfrac{r}{\rho }\end{array}\right.
\end{equation*}がいずれも成り立つため、これらを解くことにより、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。

直交座標を球面座標へ変換する

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)であり、球面座標が\(\left( \rho ,\theta ,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\)である場合には、以下の関係\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\rho \sin \left( \phi \right) \cos \left( \theta \right) \\
\rho \sin \left( \phi \right) \sin \left( \theta \right) \\
\rho \cos \left( \phi \right)
\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。加えて、\begin{equation*}
\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\end{equation*}が成り立つため、\(\rho >0\)の場合には、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\cos \left( \phi \right) =\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
\end{equation*}を得ます。さらに、\(x\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos
\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{y}{x}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。\(x=0\)の場合に点\(P\)は\(yz\)平面上に位置するため、\begin{equation*}\phi =\frac{\pi }{2}
\end{equation*}となります。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y,z\right) \)である場合、これを球面座標\(\left( \rho ,\theta ,\phi\right) \)へ変換する際には、上の命題中の\(\left( a\right) \)から動径\(\rho \)を特定し、\(\left( b\right) \)から方位角\(\theta \)を特定し、\(\left( c\right) \)から極角\(\phi \)を特定することになります。ただし、正接関数\(\tan \)は単射ではないため、\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{y}{x}
\end{equation*}を満たす\(\theta \)の値、すなわち、\begin{equation*}\theta =\arctan \left( \frac{y}{x}\right)
\end{equation*}は一意的に定まりません。また、余弦関数\(\cos \)は単射ではないため、\begin{equation*}\cos \left( \phi \right) =\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
\end{equation*}を満たす\(\phi \)の値、すなわち、\begin{equation*}\phi =\arccos \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)
\end{equation*}も一意的に定まりません。以上の条件を満たす\(\theta ,\phi \)を特定した上で、その中から、\begin{eqnarray*}\theta &\in &[0,2\pi ) \\
\phi &\in &\left[ 0,\pi \right] \end{eqnarray*}を満たすものを選ぶことになります。

演習問題