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ベクトル減法

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)と\(y\)のベクトル差(vector difference)もしくは(difference)を、\begin{equation*}
x-y=x+\left( -y\right)
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差を表す記号であり、右辺の\(+\)はベクトル和を表す記号です。より具体的には、\begin{eqnarray*}
x-y &=&x+\left( -y\right) \quad \because \text{ベクトル差の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( -\left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right) \right) \quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( -y_{1},\cdots ,-y_{n}\right)
\quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( -y_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left( -y_{n}\right)
\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義} \\
&=&\left( x_{1}-y_{1},\cdots ,x_{n}-y_{n}\right) \quad \because \text{差の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x-y=\left( x_{1}-y_{1},\cdots ,x_{n}-y_{n}\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差を表す記号であり、右辺の\(-\)は実数どうしのを表す記号です。\(\mathbb{R}\)は減法\(-\)について閉じているため、ベクトル差\(x-y\)の任意の成分\(x_{i}-y_{i}\)は実数であることから、\(x-y\)が\(\mathbb{R}^{n}\)の点であることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R}^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるベクトル差\(x-y\)を定める二項演算\(-\)が定義可能です。これをベクトル減法(vector subtraction)と呼びます。\(\mathbb{R}^{n}\)はベクトル減法\(-\)について閉じています。\(\left( x,y\right) \)に対して\(-\)を適用することを、\(x\)から\(y\)を引く(subtract)と言います。

例(ベクトル減法)
\(1\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
x-y=x-y
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(-\)はベクトル減法を表す記号であり、右辺の\(-\)は実数どうしの減法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において、ベクトル減法と減法は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1-4 &=&-3 \\
\left( -1\right) -8 &=&-9 \\
\frac{4}{5}-\frac{1}{10} &=&\frac{7}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル減法)
\(2\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x-y=\left( x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) -\left( 3,1\right) &=&\left( 1-3,2-1\right) =\left(
-2,1\right) \\
\left( -1,7\right) -\left( 3,2\right) &=&\left( \left( -1\right)
-3,7-2\right) =\left( -4,5\right) \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) -\left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\left( \frac{2}{3}-\left( -\frac{1}{2}\right) ,\left( -1\right) -\left( -2\right) \right)
=\left( \frac{7}{6},1\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ベクトル減法)
\(3\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
x-y=\left( x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2},x_{3}-y_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) -\left( 3,4,5\right) &=&\left( 1-3,2-4,3-5\right)
=\left( -2,-2,-2\right) \\
\left( -1,4,2\right) -\left( 0,1,-7\right) &=&\left( -1-0,4-1,2-\left(
-7\right) \right) =\left( -1,3,9\right) \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) -\left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}-0,\frac{1}{3}-\left( -2\right) ,\frac{1}{4}-\left( -\frac{1}{2}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},\frac{7}{3},\frac{3}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

ゼロベクトルとのベクトル減法

\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の差は、\begin{eqnarray*}
x-0 &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) -\left( 0,\cdots ,0\right) \quad
\because x,0\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}-0,\cdots ,x_{n}-0\right) \quad \because \text{ベクトル減法の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{減法の性質} \\
&=&x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x-0=x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}^{n}\)の点からゼロベクトルを引いても変化は起こりません。

命題(ゼロベクトルとのベクトル減法)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x-0=x
\end{equation*}が成り立つ。
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同様にして以下を導くことができます(演習問題にします)。つまり、ゼロベクトルから\(\mathbb{R}^{n}\)の点を引くとその逆ベクトルが得られます。

命題(ゼロベクトルとのベクトル減法)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
0-x=-x
\end{equation*}が成り立つ。
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ベクトル和やベクトル差の逆ベクトル

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
-\left( x+y\right) &=&-\left( \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left(
y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \right) \quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&-\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( -\left( x_{1}+y_{1}\right) ,\cdots ,-\left( x_{n}+y_{n}\right)
\right) \quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( -x_{1}-y_{1},\cdots ,-x_{n}-y_{n}\right) \quad \because \text{加法逆元の性質} \\
&=&-x-y\quad \because \text{ベクトル減法の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
-\left( x+y\right) =-x-y
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(ベクトル和の逆ベクトル)
\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( x+y\right) =-x-y
\end{equation*}が成り立つ。
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同様にして、以下を導くことができます(演習問題にします)。

命題(ベクトル差の逆ベクトル)
\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( x-y\right) =y-x
\end{equation*}が成り立つ。
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次回はスカラー乗法について解説します。

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