ベクトル減法

ベクトル減法

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}と定義されるベクトルを\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のベクトル差（vector difference）や差（difference）などと呼びます。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差、右辺の\(+\)はベクトル和、\(-\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{y}\)の逆ベクトルを表す記号です。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ベクトルの逆ベクトルが存在することが保証されるため\(-\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)です。さらに、ベクトルどうしの和はベクトルであることが保証されるため\(\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)です。以上の事実とベクトルの差の定義より、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。このことを指して、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(-\)について閉じている（\(\mathbb{R} ^{n}\) is closed under \(-\)）と言います。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対してベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}-:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。この演算をベクトル減法（vector subtraction）と呼びます。順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)に対してベクトル減法\(-\)を適用することを\(\boldsymbol{x}\)から\(\boldsymbol{y}\)を引く（subtract）と言います。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} &=&\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right) \quad \because \text{ベクトル差の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left[ -\left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right) \right] \quad \because \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( -y_{1},\cdots ,-y_{n}\right)
\quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( -y_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left( -y_{n}\right)
\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義} \\
&=&\left( x_{1}-y_{1},\cdots ,x_{n}-y_{n}\right) \quad \because \text{差の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\left( x_{1}-y_{1},\cdots ,x_{n}-y_{n}\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差、右辺の\(-\)は\(\mathbb{R} \)上の減法を表す記号です。つまり、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のベクトル差とは、それらの対応する成分を引くことにより得られるベクトルです。

ベクトル減法は同一の空間に属する2つのベクトルに対してのみ定義されます。異なる空間に属するベクトルどうしにベクトル減法を適用することはできません。

ゼロベクトルとのベクトル減法

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それとゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{0} &=&\boldsymbol{x} \\
\boldsymbol{0}-\boldsymbol{x} &=&-\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ベクトルからゼロベクトルを引いても変化は起こらず、ゼロベクトルからベクトルを引くと逆ベクトルが得られます。

ベクトル和やベクトル差の逆ベクトル

\(\mathbb{R} ^{n}\)はベクトル加法とベクトル減法について閉じているため、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらのベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)やベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)もまたベクトルになります。したがって、それらの逆ベクトルもまたベクトルですが、これらについては、\begin{eqnarray*}-\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) &=&-\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \\
-\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。つまり、ベクトル和やベクトル差の逆ベクトルはいずれもベクトル差を用いて表現できます。

演習問題