内積
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、これらのベクトルの対応する成分どうしを掛けることにより得られるベクトルを、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\left( x_{1}\cdot y_{1},\cdots
,x_{n}\cdot y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{x}\)の内積（inner product）やドット積（dot product）などと呼びます。ただし、左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。もしくは、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の内積を、\begin{equation*}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle
\end{equation*}と表記する流儀もあります。このような表記を用いれば内積と乗法を混同する恐れがありません。
ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その任意の成分\(x_{i},y_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数ですが、実数空間\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じているため、\(\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot y_{i}\right) \)すなわち内積\(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\)が1つの実数として定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、それらの内積\(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \)を定める関数\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。このような関数を内積関数（inner product function）と呼びます。
\boldsymbol{y} &=&y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それらの内積は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=x\cdot y
\end{equation*}と定義されます。ただし、左辺の\(\cdot \)は内積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は乗法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間において内積と乗法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1\cdot 4 &=&1\cdot 4=4 \\
\left( -1\right) \cdot 8 &=&\left( -1\right) \cdot 8=-8 \\
\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{10} &=&\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{10}=\frac{2}{25}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それらの内積は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) \cdot \left( 3,1\right) &=&1\cdot 3+2\cdot 1=5 \\
\left( -1,7\right) \cdot \left( 3,2\right) &=&\left( -1\right) \cdot
3+7\cdot 2=11 \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) \cdot \left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\frac{2}{3}\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) +\left( -1\right) \cdot \left(
-2\right) =\frac{5}{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、それらの内積は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot
y_{2}+x_{3}\cdot y_{3}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) \cdot \left( 3,4,5\right) &=&\left( 1\cdot 3,2\cdot
4,3\cdot 5\right) =\left( 3,8,15\right) \\
\left( -1,4,2\right) \cdot \left( 0,1,-7\right) &=&\left( -1\cdot 0,4\cdot
1,2\cdot \left( -7\right) \right) =\left( 0,4,-14\right) \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) \cdot \left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot 0,\frac{1}{3}\cdot \left( -2\right) ,\frac{1}{4}\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \right) =\left( 0,-\frac{2}{3},-\frac{1}{8}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
内積は同一の空間に属する2つのベクトルに対してのみ定義されます。異なる空間に属するベクトルどうしに内積を適用することはできません。
内積とノルムの関係
内積とノルムの間には以下の関係が成立します。
\end{equation*}が成り立つ。
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \cdot \left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) } \\
\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert &=&\sqrt{\left(
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) \cdot \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) }
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
内積の非負性
内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}\geq 0
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の非負性（non-negativity）と呼びます。これは、同じベクトルどうしの内積は非負であることを意味します。
\left( I_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ。
内積の定性
内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の定性（definiteness）と呼びます。これは、同じベクトルどうしの内積の値が\(0\)であることと、そのベクトルがゼロベクトルであることが必要十分であることを意味します。
\left( I_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
内積の加法性
内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \cdot \boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{z}
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第一引数に関する加法性（additivity in first slot）と呼びます。つまり、ベクトル和とベクトルの内積は、内積どうしのベクトル和と一致するということです。
\left( I_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \cdot \boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{z}
\end{equation*}が成り立つ。
内積は以下の性質\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \left( \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第二引数に関する加法性（additivity in second slot）と呼びます。つまり、ベクトルとベクトル和の内積もまた、内積どうしのベクトル和と一致するということです。
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \left( \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right) =\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}
\end{equation*}が成り立つ。
内積の斉次性
内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{4}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{y}=a\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第一引数に関する斉次性（homogeneity in first slot）と呼びます。つまり、つまり、ベクトルのスカラー倍とベクトルの内積は、内積のスカラー倍と一致するということです。
\left( I_{4}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{y}=a\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
内積は以下の性質\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \left( a\boldsymbol{y}\right) =a\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の第二引数に関する斉次性（homogeneity in second slot）と呼びます。つまり、ベクトルとベクトルのスカラー倍の内積もまた、内積のスカラー倍と一致するということです。
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \left( a\boldsymbol{y}\right) =a\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
内積の対称性
内積は以下の性質\begin{equation*}
\left( I_{5}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たします。以上の性質を内積の対称性（symmetry）と呼びます。本来、2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)を成分とする順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) ,\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \)は異なるものとして区別するため、\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)に対して内積関数が定める値\(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\)と\(\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \)に対して内積関数が定める値\(\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{x}\)もまた区別されるべきですが、対称律はこれらが等しいことを保証します。
\left( I_{5}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ。
内積空間としての\(n\)次元空間
これまで明らかになった内積の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( I_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}\geq 0 \\
&&\left( I_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right) \\
&&\left( I_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \cdot \boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{z} \\
&&\left( I_{4}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{y}=a\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right) \\
&&\left( I_{5}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}となります。
内積関数\(\cdot :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( I_{1}\right) \)から\(\left( I_{5}\right) \)までの性質を満たすことは、内積関数が定義された\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が内積空間（inner product space）もしくは計量ベクトル空間（metric vector space）であることを意味します。
ゼロベクトルとの内積
任意のベクトルとゼロベクトルの内積は\(0\)になります。
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{0}\cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{0}=0
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\boldsymbol{y} &=&\left( 4,1,-2,5\right)
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。内積\(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\)を求めてください。
\boldsymbol{y} &=&\left( 3,7,1\right)
\end{eqnarray*}として与えられているとき、内積\(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\)を求めてください。
\boldsymbol{e}_{2} &=&\left( 0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&&\vdots \\
\boldsymbol{e}_{n} &=&\left( 0,0,0,\cdots ,1\right)
\end{eqnarray*}です。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}=\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)および任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{e}_{i}=x_{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを意味し、第一引数に関する斉次性とは、任意のスカラー\(a\in \mathbb{R} \)と任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に関して、\begin{equation*}\left( a\boldsymbol{x}\right) \cdot \boldsymbol{y}=a\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。一方、任意のスカラー\(a\in \mathbb{R} \)と任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}\)に関して、\begin{equation*}\left( a\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \cdot \boldsymbol{z}=a\left(
\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}\right) +\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{z}
\end{equation*}が成り立つ場合、内積は第一引数に関して線型性（linearity）を満たすと言います。以上を踏まえたとき、内積が第一引数に関して加法性と斉次性をともに満たすことは線型性を満たすための必要十分であることを証明してください。
\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
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