n次元空間において内積という概念を定義した上で、その性質について解説します。
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内積

実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)と\(y\)の内積(inner product)を、\begin{equation*}
\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}
\end{equation*}と定義します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x,y\)の任意の成分\(x_{i},y_{i}\)は実数であり、さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じているため、上のように定義される内積\(\left\langle x,y\right\rangle \)は常に実数です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して内積\(\left\langle x,y\right\rangle \)を定める写像\(\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これを内積関数(inner product function)と呼びます。

例(内積)
\(1\)次元の実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}
\left\langle x,y\right\rangle =x\cdot y
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上に定義された乗法を表す記号です。つまり、\(\mathbb{R} \)において内積と乗法は等しくなります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\langle 1,4\right\rangle &=&1\cdot 4=4 \\
\left\langle -1,8\right\rangle &=&\left( -1\right) \cdot 8=-8 \\
\left\langle \frac{4}{5},\frac{1}{10}\right\rangle &=&\frac{4}{5}\cdot
\frac{1}{10}=\frac{2}{25}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(内積)
\(2\)次元の実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
\left\langle x,y\right\rangle =x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left\langle \left( 1,2\right) ,\left( 3,1\right) \right\rangle &=&1\cdot
3+2\cdot 1=5 \\
\left\langle \left( -1,7\right) ,\left( 3,2\right) \right\rangle &=&\left(
-1\right) \cdot 3+7\cdot 2=11 \\
\left\langle \left( \frac{2}{3},-1\right) ,\left( -\frac{1}{2},-2\right)
\right\rangle &=&\frac{2}{3}\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) +\left(
-1\right) \cdot \left( -2\right) =\frac{5}{3}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

内積空間としての実ベクトル空間

実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle x,x\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}\quad
\because \text{内積の定義} \\
&\geq &0\quad \because x_{i}\cdot x_{i}\geq 0
\end{eqnarray*}となります。つまり、同じ点どうしの内積は非負の実数になります。これは非負性(non-negativity)と呼ばれる性質です。

命題(内積の非負性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( I_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\langle x,x\right\rangle \geq 0
\end{equation*}
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実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle x,x\right\rangle =0 &\Leftrightarrow &\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot
x_{i}=0\quad \because \text{内積の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\cdot
x_{i}=0\quad \because x_{i}\cdot x_{i}\geq 0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=0 \\
&\Leftrightarrow &x=0\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、同じ点どうしの内積の値が\(0\)であることと、その点がゼロベクトルであることは必要十分です。これは定性(definiteness)と呼ばれる性質です。

命題(内積の定性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( I_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left\langle x,x\right\rangle =0\Leftrightarrow x=0\right] \end{equation*}
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実ベクトル空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle x+y,z\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}+y_{i}\right)
\cdot z_{i}\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot z_{i}+y_{i}\cdot z_{i}\right) \quad
\because \text{分配律} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot z_{i}+\sum_{i=1}^{n}y_{i}\cdot z_{i} \\
&=&\left\langle x,z\right\rangle +\left\langle y,z\right\rangle
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これを第一引数に関する加法性(additivity in first slot)と呼びます。

命題(内積の加法性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( I_{3}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:\left\langle x+y,z\right\rangle =\left\langle x,z\right\rangle
+\left\langle y,z\right\rangle
\end{equation*}
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実ベクトル空間のスカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle a\cdot x,y\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}\left( a\cdot
x_{i}\right) \cdot y_{i}\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}a\cdot \left( x_{i}\cdot y_{i}\right) \quad \because \text{結合律} \\
&=&a\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i} \\
&=&a\cdot \left\langle x,y\right\rangle \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}となります。これを第一引数に関する斉次性(homogeneity in first slot)と呼びます。

命題(内積の斉次性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( I_{4}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\langle a\cdot x,y\right\rangle =a\cdot \left\langle
x,y\right\rangle
\end{equation*}
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実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle x,y\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\quad
\because \text{内積の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}y_{i}\cdot x_{i}\quad \because \text{交換律} \\
&=&\left\langle y,x\right\rangle
\end{eqnarray*}となります。これを対称性(symmetry)と呼びます。

命題(内積の対称性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( I_{5}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\langle x,y\right\rangle =\left\langle y,x\right\rangle
\end{equation*}
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実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)とは限らない一般の集合\(X\)が与えられたとき、写像\(\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これが上の\(\left( I_{1}\right) \)から\(\left( I_{5}\right) \)に相当する性質を満たすとき、それらの組\(\left( X,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right) \)を内積空間(inner product space)や計量ベクトル空間(metric vector space)などと呼びます。上で示したように、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において内積\(\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \)を適切な形で定義すればそれは\(\left( I_{1}\right) \)から\(\left( I_{5}\right) \)を満たします。したがって、実ベクトル空間は内積空間の1つの例です。逆に、実ベクトル空間の一般化が内積空間です。内積空間については場を改めて詳しく解説します。

命題(内積空間としての実ベクトル空間)
実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)である。写像\(\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像を、\begin{equation*}
\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}
\end{equation*}と定めるとき、\(\left( \mathbb{R} ^{n},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right) \)は内積空間となる。
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内積に関するその他の性質

実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle 0,x\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}0\cdot x_{i}\quad \because
\text{内積の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\langle 0,x\right\rangle =0
\end{equation*}となります。つまり、任意の点とゼロベクトルの内積はゼロです。同様にして、\begin{equation*}
\left\langle x,0\right\rangle =0
\end{equation*}もまた成り立ちます。

命題(ゼロベクトルとの内積)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\langle 0,x\right\rangle =\left\langle x,0\right\rangle =0
\end{equation*}
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内積は第二引数に関しても加法性を満たします。実ベクトル空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle x,y+z\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot \left(
y_{i}+z_{i}\right) \quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}\cdot y_{i}+x_{i}\cdot z_{i}\right) \quad
\because \text{分配律} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}+\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot z_{i} \\
&=&\left\langle x,y\right\rangle +\left\langle x,z\right\rangle
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これを第二引数に関する加法性(additivity in second slot)と呼びます。

命題(内積の加法性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:\left\langle x,y+z\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle
+\left\langle x,z\right\rangle
\end{equation*}
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内積は第二引数に関しても斉次性を満たします。実ベクトル空間のスカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\langle x,a\cdot y\right\rangle &=&\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot \left(
a\cdot y_{i}\right) \quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}a\cdot \left( x_{i}\cdot y_{i}\right) \quad \because \text{交換律、結合律} \\
&=&a\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i} \\
&=&a\cdot \left\langle x,y\right\rangle \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}となります。これを第二引数に関する斉次性(homogeneity in second slot)と呼びます。

命題(内積の斉次性)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において以下が成り立つ。\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}: \left\langle x,a\cdot y\right\rangle =a\cdot \left\langle x,y\right\rangle
\end{equation*}が成り立つ。

次回はノルムについて解説します。

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