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ベクトルのスカラー乗法

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ベクトルのスカラー乗法

実数\(a\in \mathbb{R} \)と\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)による\(x\)のスカラー積(scalarproduct)を、\begin{equation*}
a\cdot x=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right)
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(\cdot \)はスカラー積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号です。両者は同じ記号を用いて表記されるため注意が必要です。スカラー積を\(ax\)と表記することもできます。スカラー積\(a\cdot x\)の\(a\)をスカラー(scalar)や係数(coefficient)などと呼び、スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場(scalarfield)や係数体(coefficient field)などと呼びます。

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー積\(a\cdot x\)の任意の成分\(a\cdot x_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(a\cdot x\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R} \)の点と\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( a,x\right) \)に対して、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるスカラー積\(a\cdot x\)を定める二項演算\(\cdot \)が定義可能です。これをスカラー乗法(scalar multiplication)と呼びます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(1\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー積は、\begin{equation*}a\cdot x=a\cdot x
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)はスカラー乗法を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は実数の乗法を表す記号です。つまり、スカラー場が\(\mathbb{R} \)であるとき、\(1\)次元空間の点に関するスカラー乗法は乗法と一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1\cdot 2 &=&2 \\
-2\cdot 3 &=&6 \\
\frac{1}{2}\cdot 4 &=&2
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(2\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー積は、\begin{equation*}a\cdot x=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\cdot \left( 2,3\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3\right) =\left(
2,3\right) \\
-2\cdot \left( -1,3\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left(
-1\right) ,\left( -2\right) \cdot 3\right) =\left( 2,-6\right) \\
\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) \right)
=\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(3\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー積は、\begin{equation*}a\cdot x=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2},a\cdot x_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\cdot \left( 2,3,4\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3,1\cdot 4\right)
=\left( 2,3,4\right) \\
-2\cdot \left( -1,3,2\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left(
-1\right) ,\left( -2\right) \cdot 3,\left( -2\right) \cdot 2\right) =\left(
2,-6,-4\right) \\
\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3},0\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) ,\frac{1}{2}\cdot 0\right) =\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3},0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

スカラー乗法の互換性

スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、右辺の\(a\cdot b\)中の\(\cdot \)は乗法であり、それ以外の\(\cdot \)はベクトル乗法を表す記号です。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性(compatibility)と呼びます。

命題(スカラー乗法の互換性)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)は、\begin{equation*}\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x
\end{equation*}を満たす。

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例(スカラー乗法の互換性)
スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と1次元ユークリッド空間の\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、スカラー乗法より、\begin{equation}a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、先に指摘したように、スカラー場が\(\mathbb{R} \)である場合には\(1\)次元空間の点に関するスカラー乗法は乗法と一致するため、\(\left( 1\right) \)中の\(\cdot \)はいずれも乗法と一致します。すると\(\left( 1\right) \)は乗法に関する結合律とみなすことができます。つまり、スカラー乗法の互換性は乗法の結合律の一般化です。

 

イチ(スカラー乗法単位元)

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1\cdot x=x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、乗法単位元である\(1\)はスカラー乗法に関する単位元でもあります。

命題(スカラー乗法単位元)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)は、\begin{equation*}\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1\cdot x=x
\end{equation*}を満たす。

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ゼロベクトルのスカラー倍

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)のスカラー倍は、\begin{equation*}a\cdot 0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロベクトルのスカラー倍はゼロベクトルになります。

命題(ゼロベクトルのスカラー倍)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の間には、\begin{equation*}a\cdot 0=0
\end{equation*}が成り立つ。

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ベクトルのスカラーゼロ倍

点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0\cdot x=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルです。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点のスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになります。

命題(ベクトルのスカラーゼロ倍)
点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}0\cdot x=0
\end{equation*}が成り立つ。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルである。
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スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a\cdot x=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、点のスカラー倍がゼロベクトルと一致する場合、スカラーがゼロであるか、点がゼロベクトルであるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( a\not=0\wedge x\not=0\right) \Rightarrow a\cdot x\not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロであるようなスカラーと非ゼロベクトルであるような点のスカラー倍は非ゼロベクトルになります。

問題(スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}a\cdot x=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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逆ベクトルの生成

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) \cdot x=a\cdot \left( -x\right) =-\left( a\cdot x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルの負のスカラー倍、逆ベクトルのスカラー倍、スカラー倍の逆ベクトルはいずれも一致するということです。特に、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) \cdot x=1\cdot \left( -x\right) =-\left( 1\cdot x\right)
\end{equation*}となります。

命題(逆ベクトルの生成)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) \cdot x=a\cdot \left( -x\right) =-\left( a\cdot x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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演習問題

問題(スカラー乗法)
点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)を、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-7,1\right) \\
y &=&\left( -3,0,4\right) \\
z &=&\left( 0,5,-8\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義するとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 3x-4y \\
&&\left( b\right) \ 2x+3y-5z
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(スカラー乗法)
点\(x,y\in \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\left( 4,x\right) =y\cdot \left( 2,3\right)
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)と\(y\)を求めてください。
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問題(スカラー乗法)
スカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\left( -1,3,3\right) =a\cdot \left( 1,1,0\right) +b\cdot \left(
0,0,-1\right) +c\cdot \left( 0,1,1\right)
\end{equation*}を満たすものとします。\(a,b,c\)を求めてください。
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問題(内積)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、第\(i\)成分が\(1\)であり他の成分が\(0 \)であるようなベクトルを\(e_{i}\in \mathbb{R} ^{n}\)で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,0,\cdots ,0\right) \\
e_{2} &=&\left( 0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&&\vdots \\
e_{n} &=&\left( 0,0,0,\cdots ,1\right)
\end{eqnarray*}です。このとき、任意の点\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x=x_{1}\cdot e_{1}+x_{2}\cdot e_{2}+\cdots +x_{n}\cdot e_{n}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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次回はスカラー除法について解説します。

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