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スカラー乗法

実数\(a\in \mathbb{R} \)と\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\(a\)による\(x\)のスカラー積(scalar product)を、\begin{equation*}
a\cdot x=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right)
\end{equation*}と定義します。ただし、左辺の\(\cdot \)はスカラー積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R}\)上の乗法を表す記号です。両者は同じ記号を用いて表記されるため注意が必要です。スカラー積を\(ax\)と表記することもできます。スカラー積\(a\cdot x\)の\(a\)をスカラー(scalar)や係数(coefficient)などと呼びます。

\(\mathbb{R}\)は乗法\(\cdot \)について閉じているため、スカラー積\(a\cdot x\)の任意の成分\(a\cdot x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数であり、\(a\cdot x\)は\(\mathbb{R}^{n}\)の点であることが保証されます。したがって、\(\mathbb{R}\)の点と\(\mathbb{R}^{n}\)の点からなるそれぞれの順序対\(\left( a,x\right) \)に対して、\(\mathbb{R}^{n}\)の点であるスカラー積\(a\cdot x\)を1つずつ定める演算が定義可能です。これをスカラー乗法(scalar multiplication)と呼び、その演算子を\(\cdot :\mathbb{R}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)で表します。スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R}\)をスカラー場(scalar field)や係数体(coefficient field)などと呼びます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
a\cdot x=a\cdot x
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(\cdot \)はスカラー乗法を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は実数の乗法を表す記号です。つまり、スカラー場が\(\mathbb{R}\)であるとき、\(1\)次元ユークリッド空間の点に関するスカラー乗法は乗法と一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\cdot 2 &=&2 \\
-2\cdot 3 &=&6 \\
\frac{1}{2}\cdot 4 &=&2
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
a\cdot x=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\cdot \left( 2,3\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3\right) =\left(
2,3\right) \\
-2\cdot \left( -1,3\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left( -1\right)
,\left( -2\right) \cdot 3\right) =\left( 2,-6\right) \\
\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) \right)
=\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
a\cdot x=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2},a\cdot x_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\cdot \left( 2,3,4\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3,1\cdot 4\right)
=\left( 2,3,4\right) \\
-2\cdot \left( -1,3,2\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left(
-1\right) ,\left( -2\right) \cdot 3,\left( -2\right) \cdot 2\right) =\left(
2,-6,-4\right) \\
\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3},0\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) ,\frac{1}{2}\cdot 0\right) =\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3},0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

スカラー乗法の基本性質

スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
a\cdot \left( b\cdot x\right) &=&a\cdot \left[ b\cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \right] \quad \because x\text{の定義} \\
&=&a\cdot \left( b\cdot x_{1},\cdots ,b\cdot x_{n}\right) \quad \because
\text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot \left( b\cdot x_{1}\right) ,\cdots ,a\cdot \left( b\cdot
x_{n}\right) \right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( \left( a\cdot b\right) \cdot x_{1},\cdots ,\left( a\cdot b\right)
\cdot x_{1}\right) \quad \because \text{乗法の結合律} \\
&=&\left( a\cdot b\right) \cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad
\because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot b\right) \cdot x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(a\cdot b\)中の\(\cdot \)は実数の乗法、それ以外の\(\cdot \)はベクトル乗法を表す記号です。これは乗法とベクトル乗法の間の互換性(compatibility)と呼ばれる性質です。

命題(スカラー乗法の互換性)
スカラー場\(\mathbb{R}\)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)は、\begin{equation*}
\forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x
\end{equation*}を満たす。
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点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
1\cdot x &=&1\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because x\text{の定義} \\
&=&\left( 1\cdot x_{1},\cdots ,1\cdot x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because \text{乗法単位元の定義} \\
&=&x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
1\cdot x=x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}\)における乗法単位元である\(1\)は、スカラー乗法に関する乗法単位元でもあります。

命題(スカラー乗法の単位元)
スカラー場\(\mathbb{R}\)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)は、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1\cdot x=x
\end{equation*}を満たす。
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ゼロベクトルの生成

復習になりますが、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation}
0\cdot x=0 \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが実数の公理から示されます。つまり、任意の実数とゼロの積はゼロです。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
0\cdot x &=&0\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \quad \because x\text{の定義} \\
&=&\left( 0\cdot x_{1},\cdots ,0\cdot x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&0\quad \because \text{ゼロベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
0\cdot x=0
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルです。つまり、\(\mathbb{R}^{n}\)の任意の点のスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになります。

命題(ゼロベクトルの生成)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
0\cdot x=0
\end{equation*}が成り立つ。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルである。
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逆ベクトルの生成

復習になりますが、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation}
\left( -1\right) \cdot x=-x \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが実数の公理から示されます。つまり、実数\(x\)に乗法単位元\(1\)の加法逆元\(-1\)を掛けると\(x\)の加法逆元\(-x\)が得られます。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( -1\right) \cdot x &=&\left( -1\right) \cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \quad \because x\text{の定義} \\
&=&\left( \left( -1\right) \cdot x_{1},\cdots ,\left( -1\right) \cdot
x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&-x\quad \because \text{逆ベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -1\right) \cdot x=-x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R}^{n}\)の任意の点のスカラー\(-1\)倍をとると、もとの点の逆ベクトルが得られます。

命題(逆ベクトルの生成)
\(n\)次元空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( -1\right) \cdot x=-x
\end{equation*}が成り立つ。
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スカラー乗法に関する簡約法則

スカラー場が\(\mathbb{R}\)であるとき、\(\mathbb{R}^{n}\)はスカラー乗法\(\cdot \)について閉じているため、\(\mathbb{R}^{n}\)の点\(x,y\)に対して\(0\)ではない実数\(a\)をそれぞれかけて得られる\(a\cdot x\)と\(a\cdot y\)はともに\(\mathbb{R}^{n}\)の点です。仮にこれらの点が等しければ\(x\)と\(y\)が等しくなります。これをスカラー乗法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。これは直感的には自明な主張ですが、念のために証明しておきましょう。

具体的には、\(a\cdot x=a\cdot y\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)と\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
x& =1\cdot x\quad \because 1\text{はベクトル乗法の単位元} \\
& =\left( a\cdot a^{-1}\right) \cdot x\quad \because a\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =\left( a^{-1}\cdot a\right) \cdot x\quad \because \text{乗法の交換律} \\
& =a^{-1}\cdot \left( a\cdot x\right) \quad \because \text{乗法とベクトル乗法の互換性} \\
& =a^{-1}\cdot \left( a\cdot y\right) \quad \because a\cdot x=a\cdot y \\
& =\left( a^{-1}\cdot a\right) \cdot y\quad \because \text{乗法とベクトル乗法の互換性} \\
& =\left( a\cdot a^{-1}\right) \cdot y\quad \because \text{乗法の交換律} \\
& =1\cdot y\quad \because a\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =y\quad \because 1\text{はベクトル乗法の単位元}
\end{align*}すなわち\(x=y\)が成り立ちます。

命題(ベクトル乗法の簡約法則)
非ゼロのスカラー\(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)と\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
a\cdot x=a\cdot y\Rightarrow x=y
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題において\(a\)は\(0 \)とは異なる実数と定められていますが、\(a=0\)の場合、上の恒真式は成立しません。\(\mathbb{R}^{n}\)の任意の点のスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになるため、\(a=0\)の場合、\(x\not=y\)を満たす点\(x,y\)についても\(a\cdot x=a\cdot y\ \left( =0\right) \)が成り立ちます。しかし\(x\not=y\)であるため、この場合には上の恒真式は成り立ちません。

次回はスカラー除法について解説します。

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