ベクトルのスカラー乗法

ベクトルのスカラー乗法

実数と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるベクトル\begin{eqnarray*}a &\in &\mathbb{R} \\
\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}がそれぞれ与えられたとき、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)のすべての成分を\(a\)倍することにより得られるベクトルを、\begin{equation*}a\cdot \boldsymbol{x}=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)による\(\boldsymbol{x}\)のスカラー積（scalar product）と呼びます。左辺の\(\cdot \)はスカラー積を表す記号であり、右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号です。両者は同じ記号を用いて表記されるため注意が必要です。

スカラー積\(a\cdot \boldsymbol{x}\)を構成する実数\(a\)をスカラー（scalar）や係数（coefficient）などと呼び、スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場（scalarfield）や係数体（coefficient field）などと呼びます。

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー積\(a\cdot \boldsymbol{x}\)の任意の成分\(a\cdot x_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、スカラー積\(a\cdot \boldsymbol{x}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である有限なベクトルとして定まることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を得ます。\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\cdot \)について閉じているということです。このような事情を踏まえると、それぞれの順序対\(\left( a,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対してスカラー積\(a\cdot \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定める二項演算\begin{equation*}\cdot :\mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をスカラー乗法（scalar multiplication）と呼びます。

慣例として乗法を表す演算子\(\cdot \)を省略しますが、多くの場合、スカラー積を表す演算子\(\cdot \)もまた省略されます。つまりスカラー\(a\)によるベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー積を、\begin{equation*}a\boldsymbol{x}=\left( ax_{1},\cdots ,ax_{n}\right)
\end{equation*}と表記するということです。以降ではこの慣例にしたがいます。

スカラー乗法の互換性

スカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( ab\right) \boldsymbol{x}
\end{equation*}を満たします。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。

括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を規定する記号です。つまり、左辺\(a\left( b\boldsymbol{x}\right) \)は、はじめにベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(b\)倍をとった上で、得られたベクトルのスカラー\(a\)倍をとることにより得られるベクトルです。右辺\(\left( ab\right) \boldsymbol{x}\)は、はじめにスカラーどうしの積\(ab\)をとった上で、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(ab\)倍をとることにより得られるベクトルです。互換性はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

イチ（スカラー乗法単位元）

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には以下の関係\begin{equation*}1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(\boldsymbol{x}\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

ゼロベクトルのスカラー倍

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、ゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)のスカラー倍は、\begin{equation*}a\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロベクトルのスカラー倍は必ずゼロベクトルになります。

ベクトルのスカラーゼロ倍

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意のベクトルのスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになります。

スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}a\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\Rightarrow \left( a=0\vee \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトルのスカラー倍がゼロベクトルと一致する場合、スカラーがゼロであるか、ベクトルがゼロベクトルであるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( a\not=0\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{0}\right) \Rightarrow a\boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロであるようなスカラーと非ゼロベクトルのスカラー倍は非ゼロベクトルになります。

逆ベクトルの生成

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) \boldsymbol{x}=a\left( -\boldsymbol{x}\right) =-\left( a\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルの負のスカラー倍、逆ベクトルのスカラー倍、スカラー倍の逆ベクトルはいずれも一致するということです。特に、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) \boldsymbol{x}=1\left( -\boldsymbol{x}\right) =-\left( 1\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}となります。

標準基底ベクトルを用いたベクトルの表現

\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の要素である以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{i} &=&\left( 1,0\right) \\
\boldsymbol{j} &=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}を\(\mathbb{R} ^{2}\)の標準基底ベクトルと呼びます。\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\left( x_{1},0\right) +\left( 0,x_{2}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&x_{1}\left( 1,0\right) +x_{2}\left( 0,1\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&x_{1}\boldsymbol{i}+x_{2}\boldsymbol{j}\quad \because \text{標準基底ベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{i}+x_{2}\boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。

\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の要素である以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{i} &=&\left( 1,0,0\right) \\
\boldsymbol{j} &=&\left( 0,1,0\right) \\
\boldsymbol{k} &=&\left( 0,0,1\right)
\end{eqnarray*}を\(\mathbb{R} ^{3}\)の標準基底ベクトルと呼びます。\(3\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
&=&\left( x_{1},0,0\right) +\left( 0,x_{2},0\right) +\left( 0,0,x_{3}\right)
\quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&x_{1}\left( 1,0,0\right) +x_{2}\left( 0,1,0\right) +x_{3}\left(
0,0,1\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&x_{1}\boldsymbol{i}+x_{2}\boldsymbol{j}+x_{3}\boldsymbol{k}\quad \because
\text{標準基底ベクトルの定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{i}+x_{2}\boldsymbol{j}+x_{3}\boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。

演習問題