標準基底ベクトル
\(n\)次元空間ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するそれぞれの点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の位置を特定するために、点\(\boldsymbol{x}\)に対して付与される数の組を\(\boldsymbol{x}\)の座標（coordinates）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して座標を付与する方法は一意的ではありません。それぞれの点に対してどのようなルールのもとで座標を付与するか、そのルールに相当する概念を座標系（coordinate system）と呼びます。ここでは、最も基本的な座標系である直交座標系（orthogonal coordinate system）について解説します。なお、以降では列ベクトルと行ベクトルを同一視した上で、主に列ベクトルを用いて議論を行います。
第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分が\(1\)であり他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{e}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\quad \boldsymbol{e}_{n}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。以上の\(n\)個のベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底（standard basis）と呼びます。また、標準基底の要素である個々のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}を標準基底ベクトル（standard basis vectors）と呼びます。
\end{equation*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{1}=1
\end{equation*}です。慣例として、以下の表記\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=1
\end{equation*}を用います。この表記にしたがうのであれば、\(\mathbb{R} \)における標準基底は、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{i}\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{e}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。慣例として、以下の表記\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を用います。この表記にしたがうのであれば、\(\mathbb{R} ^{2}\)における標準基底は、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{i},\boldsymbol{j}\right\}
\end{equation*}となります。
\end{equation*}です。ただし、\begin{equation*}
\boldsymbol{e}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{e}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{e}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}です。慣例として、以下の表記\begin{equation*}
\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を用います。この表記にしたがうのであれば、\(\mathbb{R} ^{3}\)における標準基底は、\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\right\}
\end{equation*}となります。
ベクトルの座標と直交座標系
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)が与えられた状況を想定します。その上で、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を任意に選んだとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せが一意的に定まることが保証されます。しかも、それはベクトル\(\boldsymbol{x}\)の成分\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}=x_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)の線型結合として表現する場合、それは、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}という形で一意的に表現されます。
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)の組合せはそれぞれ一意的に定まるとともに、それは\(\boldsymbol{x}\)の成分\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)と一致する。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底を、\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。先の命題より、ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)の線型結合として表現する場合、それは、スカラー\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}という形で一意的に表現されます。そこで、これらのスカラー\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを標準基底\(\boldsymbol{e}\)に関するベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトル（coordinate vector）と呼びます。つまり、標準基底をもとにベクトル\(\boldsymbol{x}\)の位置を特定しようとする場合、\(\boldsymbol{x}\)の座標として\(\boldsymbol{x}\)の成分からなるベクトルをそのまま採用することになります。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標として標準基底\(\boldsymbol{e}\)に関する\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトル\(\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}\)を採用する場合、そのような座標系を直交座標系（orthogonal coordinate system）やカルテシアン座標系（Cartesiancoordinate system）などと呼びます。ちなみに、カルテシアンとは「デカルトの（Descartes）」という意味です。これは、直交座標系の発案者であるフランスの哲学者ルネ・デカルト（Rene Descartes）の名に由来しています。
\boldsymbol{x}=x\boldsymbol{e}_{1}
\end{equation*}と一意的に表現できるため、直交座標系のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=x
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に対しては、先の命題より、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+x_{2}\boldsymbol{e}_{2}
\end{equation*}と一意的に表現できるため、直交座標系のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に対しては、先の命題より、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+x_{2}\boldsymbol{e}_{2}+x_{3}\boldsymbol{e}_{3}
\end{equation*}と一意的に表現できるため、直交座標系のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
数直線
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)上における標準基底は、\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\left\{ \boldsymbol{e}_{1}\right\} =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\mathbb{R} \)上に存在するベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x\in \mathbb{R} \end{equation*}を標準基底を用いて表現すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x\boldsymbol{e}_{1}
\end{equation*}となり、直交座標系のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=x
\end{equation*}となります。
上図のように1本の直線を引き、この直線を\(x\)軸と呼びます。\(x\)軸上にある1つの点\(O\)を任意に選び、これを原点と呼びます。原点\(O\)の座標を\(0\)と定めます。原点\(O\)の右側にある1つの点\(X\)を任意に選び、その点の座標を\(1\)と定めます。標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)に相当します。線分\(OX\)の長さを\(x\)軸における距離の単位として採用します。その上で、点\(O\)の右側にあり、なおかつ点\(O\)からの距離が\(p\)であるような点\(P\)に座標\(p\)を対応させます。また、点\(O\)の左側にあり、なおかつ点\(O\)からの距離が\(p\)であるような点\(P\)に座標\(-p\)を対応させます。以上のルールにしたがえば、\(x\)軸上に存在するすべての点に対して直交座標系にもとづく座標を付与できます。直交座標系のもとで座標が付与された直線を数直線（Cartesian coordinates of the line）と呼びます。
直交座標平面
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上における標準基底は、\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right\}
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在するベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を標準基底を用いて表現すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+x_{2}\boldsymbol{e}_{2}
\end{equation*}となり、直交座標系のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
平面上に2本の垂直な直線を引いた上で、一方の直線を\(x\)軸と呼び、他方の直線を\(y\)軸と呼びます。\(x\)軸と\(y\)軸の交点\(O\)を原点と呼びます。先の要領で、\(x\)軸と\(y\)軸に対してそれぞれ直交座標系のもとで座標を付与します。上図において、標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)に相当し、標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{2}\)はベクトル\(\overrightarrow{OY}\)に相当します。平面上の点\(P\)から\(x\)軸に対して下ろした垂線と\(x\)軸の交点座標が\(x_{1}\)である一方で、点\(P\)から\(y\)軸に対して下ろした垂線と\(y\)軸の交点座標が\(x_{2}\)である場合、点\(P\)の座標を\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)と定めます。原点\(O\)の座標は\(\left(0,0\right) \)です。以上のルールにしたがえば、平面上に存在するすべての点に対して直交座標系にもとづく座標を付与できます。直交座標系のもとで座標が付与された平面を直交座標平面（Cartesian coordinates of the plane）と呼びます。
直交座標空間
\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上における標準基底は、\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
11\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在するベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を標準基底を用いて表現すると、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+x_{2}\boldsymbol{e}_{2}+x_{3}\boldsymbol{e}_{3}
\end{equation*}となり、直交座標系のもとでのベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標は、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
空間上において1点において交わる垂直な3本の直線を引いた上で、それらをそれぞれ\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸と呼びます。それらの交点\(O\)を原点と呼びます。先の要領で、\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸に対してそれぞれ直交座標系のもとで座標を付与します。上図において、標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{1}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)に相当し、標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{2}\)はベクトル\(\overrightarrow{OY}\)に相当し、標準基底ベクトル\(\boldsymbol{e}_{3}\)はベクトル\(\overrightarrow{OY}\)に相当します。空間上の点\(P\)から\(x\)軸に対して下ろした垂線と\(x\)軸の交点座標が\(x_{1}\)であり、点\(P\)から\(y\)軸に対して下ろした垂線と\(y\)軸の交点座標が\(x_{2}\)であり、点\(P\)から\(z\)軸に対して下ろした垂線と\(z\)軸の交点座標が\(x_{3}\)である場合、点\(P\)の座標を\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)と定めます。原点\(O\)の座標は\(\left(0,0,0\right) \)です。以上のルールにしたがえば、空間上に存在するすべての点に対して直交座標系にもとづく座標を付与できます。直交座標系のもとで座標が付与された空間を直交座標空間（Cartesian coordinates of the space）と呼びます。
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