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ベクトル加法とスカラー乗法

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にベクトル加法\(+\)と呼ばれる演算を定義した上で、それが以下の性質を満たすことを示しました。

命題(ベクトル加法の性質)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}を満たす。

また、スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にスカラー乗法\(\cdot \)と呼ばれる演算を定義した上で、それが以下の性質を満たすことを示しました。

命題(スカラー乗法の性質)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1\cdot x=x
\end{eqnarray*}を満たす。

では、ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。以下で考えます。

 

ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}a\cdot \left( x+y\right) &=&a\cdot \left[ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
+\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \right] \quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&a\cdot \left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( a\cdot \left( x_{1}+y_{1}\right) ,\cdots ,a\cdot \left(
x_{n}+y_{n}\right) \right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot x_{1}+a\cdot y_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}+a\cdot y_{n}\right)
\quad \because \text{加法および乗法の性質} \\
&=&\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right) +\left( a\cdot
y_{1},\cdots ,a\cdot y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&a\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +a\cdot \left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&a\cdot x+a\cdot y\quad \because x,y\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル和のスカラー積はスカラー積のベクトル和と一致します。これをベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition)と呼びます。

命題(ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間には、\begin{equation*}\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y
\end{equation*}が成り立つ。

 

加法に関するスカラー乗法の分配律

スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}\left( a+b\right) \cdot x &=&\left( a+b\right) \cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \quad \because x\text{の定義} \\
&=&\left( \left( a+b\right) \cdot x_{1},\cdots ,\left( a+b\right) \cdot
x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot x_{1}+b\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}+b\cdot x_{n}\right)
\quad \because \text{加法および乗法の性質} \\
&=&\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right) +\left( b\cdot
x_{1},\cdots ,b\cdot x_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&a\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +b\cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&a\cdot x+b\cdot x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(+\)は加法、右辺の\(+\)はベクトル加法です。これを加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to addition)と呼びます。

命題(加法に関するスカラー乗法の分配律)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間には、\begin{equation*}\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{equation*}が成り立つ。

 

実ベクトル空間

ベクトル加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left(V_{6}\right) \)を満たし、さらにベクトル加法とスカラー乗法の間に\(\left(V_{7}\right) \)と\(\left( V_{8}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間(vectorspace with a scalar field \(\mathbb{R} \))であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実ベクトル空間(real vector space)と呼びます。通常、実ベクトル空間を\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot \right) \)と表記しますが、実ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに\(\mathbb{R} ^{n}\)と表記できます。

命題(ベクトル空間としての(n)次元空間)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は実数空間\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1\cdot x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{eqnarray*}が成り立つ。

 

部分空間

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot \right) \)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)に関して\(\left( \mathbb{R} ,X,+,\cdot \right) \)が実ベクトル空間であるならば、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right)
\cdot x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:1\cdot x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{eqnarray*}がすべて成り立つならば、\(X\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間(subspace)と呼びます。

例(部分空間)
\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)自身の部分集合です。\(\mathbb{R} ^{n}\)は実ベクトル空間であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。
例(部分空間)
ゼロベクトルだけからなる集合\(\left\{ 0\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。\(\left( \mathbb{R} ,\left\{ 0\right\} ,+,\cdot \right) \)は\(\left( X_{1}\right) \)から\(\left( X_{8}\right) \)までを明らかに満たすため、\(\left\{0\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることを示すために\(\left( X_{1}\right) \)から\(\left( X_{8}\right) \)までの条件がすべて成り立つことを示すのは面倒です。実は、\(X\)が空集合であるとともに、\(X\)がベクトル加法とスカラー乗法について閉じているのであれば、そしてその場合にのみ、\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間となります。

命題(部分空間の特徴づけ)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:a\cdot x\in X
\end{eqnarray*}が成り立つことは、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるための必要十分条件である。
証明

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例(部分空間)
\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合を、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},0,0\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と定義します。まず、\begin{equation*}
\left( 0,0,0\right) \in X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x+y &=&\left( x_{1},0,0\right) +\left( y_{1},0,0\right) \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left( x_{1}+y_{2},0,0\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&\in &X\quad \because x_{1}+x_{2}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、\(a\in \mathbb{R} \)と\(x\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}a\cdot x &=&a\cdot \left( x_{1},0,0\right) \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left( a\cdot x_{1},a\cdot 0,a\cdot 0\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot x_{1},0,0\right) \\
&\in &X\quad \because a\cdot x_{1}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって先の命題より\(X\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。

 

演習問題

問題(実ベクトル空間)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{4}\)を、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-1,0,-3\right) \\
y &=&\left( 1,-1,-1,3\right) \\
z &=&\left( 1,3,-2,2\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義するとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 2x-3y \\
&&\left( b\right) \ 5x-3y-4z \\
&&\left( c\right) \ -x+2y-2z
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
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問題(部分空間)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:a\cdot x\in X
\end{eqnarray*}が成り立つことは\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるための必要十分条件であることを証明してください。
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問題(部分空間)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:a\cdot x+b\cdot y\in X
\end{eqnarray*}が成り立つことは\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるための必要十分条件であることを証明してください。
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次回は内積について解説します。

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