実数空間をスカラー場とするn次元空間上にベクトル加法とスカラー乗法を定義したとき、これを実ベクトル空間と呼びます。
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実ベクトル空間

\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上にベクトル加法\(+\)と呼ばれる演算を定義した上で、以下の性質を満たすことを示しました。

命題(ベクトル加法の性質)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}
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また、スカラー場\(\mathbb{R}\)と\(\mathbb{R}^{n}\)上にスカラー乗法\(\cdot \)と呼ばれる演算を定義した上で、以下の性質を満たすことを示しました。

命題(スカラー乗法の性質)
スカラー場\(\mathbb{R}\)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} :1\cdot x=x
\end{eqnarray*}
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ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。そこで、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
a\cdot \left( x+y\right) &=&a\cdot \left[ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
+\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \right] \quad \because x,y\text{の定義} \\
&=&a\cdot \left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&\left( a\cdot \left( x_{1}+y_{1}\right) ,\cdots ,a\cdot \left(
x_{n}+y_{n}\right) \right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot x_{1}+a\cdot y_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}+a\cdot y_{n}\right)
\quad \because \text{加法と乗法に関する分配律} \\
&=&\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right) +\left( a\cdot
y_{1},\cdots ,a\cdot y_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&a\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +a\cdot \left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&a\cdot x+a\cdot y\quad \because x,y\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル和のスカラー積は、スカラー積のベクトル和と一致します。これをベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition)と呼びます。

命題(ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律)
スカラー場\(\mathbb{R}\)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間には、\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y
\end{equation*}が成り立つ。
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スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( a+b\right) \cdot x &=&\left( a+b\right) \cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \quad \because x\text{の定義} \\
&=&\left( \left( a+b\right) \cdot x_{1},\cdots ,\left( a+b\right) \cdot
x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&\left( a\cdot x_{1}+b\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}+b\cdot x_{n}\right)
\quad \because \text{加法と乗法に関する分配律} \\
&=&\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right) +\left( b\cdot
x_{1},\cdots ,b\cdot x_{n}\right) \quad \because \text{ベクトル加法の定義} \\
&=&a\cdot \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +b\cdot \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \quad \because \text{スカラー乗法の定義} \\
&=&a\cdot x+b\cdot x\quad \because x\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(+\)は加法、右辺の\(+\)はベクトル加法です。これを加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to addition)と呼びます。

命題(加法に関するスカラー乗法の分配律)
スカラー場\(\mathbb{R}\)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間には、\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{equation*}が成り立つ。
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ベクトル加法が\(\left( V_{1}\right)\)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left( V_{6}\right) \)を満たし、さらにベクトル加法とスカラー乗法の間に\(\left( V_{7}\right) \)と\(\left( V_{8}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R}^{n}\)が\(\mathbb{R}\)をスカラー場とするベクトル空間(vector space with a scalar field \(\mathbb{R}\))であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実ベクトル空間(real vector space)と呼びます。実ベクトル空間を\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R}^{n},+,\cdot \right) \)と表記しますが、実ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに\(\mathbb{R}^{n}\)で表します。

命題(ベクトル空間としての(n)次元空間)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R}^{n}\)は実数空間\(\mathbb{R}\)をスカラー場とするベクトル空間である。
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次回は内積について解説します。

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