実ベクトル空間

ベクトル加法とスカラー乗法

ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定める二項演算\begin{equation*}
+:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義し、これをベクトル加法と呼びました。その上で、ベクトル加法が以下の性質を満たすことを示しました。

スカラーとベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( a,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}a\cdot \boldsymbol{x}=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定める二項演算\begin{equation*}
\cdot :\mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義し、これをスカラー乗法と呼びました。ただし、スカラー乗法の記号\(\cdot \)は省略されるのが慣例です。その上で、スカラー乗法が以下の性質を満たすことを示しました。

では、ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。順番に解説します。

ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質をベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition）と呼びます。つまり、ベクトル和のスカラー倍（左辺）はスカラー倍どうしのベクトル和（右辺）と一致するということです。

加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。つまり、スカラーどうしの和に関するベクトルのスカラー倍（左辺）はスカラー倍どうしのベクトル和（右辺）と一致するということです。

実ベクトル空間

これまで明らかになったベクトル加法およびスカラー乗法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}となります。

ベクトル加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left(V_{6}\right) \)を満たし、さらにベクトル加法とスカラー乗法の間に\(\left(V_{7}\right) \)と\(\left( V_{8}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間（vector space with a scalar field \(\mathbb{R} \)）であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実ベクトル空間（real vector space）と呼びます。

通常、実ベクトル空間を、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot \right)
\end{equation*}と表記しますが、実ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記できます。

実ベクトル空間の部分空間

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)にはベクトル加法とスカラー乗法が定義されており、これらの演算はベクトル空間としての以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( V_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left( ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}を満たします。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)を任意に選びます。その要素である2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法のもとでベクトル和\begin{equation*}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}をとることができます。また、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されたスカラー乗法のもとでスカラー積\begin{equation*}a\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}をとることができます。

以上を踏まえると、実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、ベクトルがとり得る範囲を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(X\)へと制限することにより得られる得られる\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,X\right)
\end{equation*}がベクトル空間としての性質を満たすか検討可能です。つまり、\(X\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じているとともに\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)がベクトル空間としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in X,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists -\boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left(
ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}がいずれも成立するか検討できます。以上の条件がいずれも満たされる場合、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)をもとの実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間（subspace）と呼びます。誤解の恐れがない場合には、部分空間をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記することもできます。

以下は実ベクトル空間の部分空間の具体例です。

実ベクトル空間の部分集合は部分空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。

部分空間であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)と\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であることとは、\(X\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じているとともに\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)がベクトル空間としての性質を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{0}\in X,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists -\boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0} \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:a\left( b\boldsymbol{x}\right) =\left(
ab\right) \boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:a\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) =a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y} \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( a+b\right) \boldsymbol{x}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つことを意味します。ただし、これらの条件が成立することを1つ1つ確認するのは大変です。ただ、実際には、\(X\)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じていることを保証できれば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であることが保証されます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\phi \\
&&\left( b\right) \ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)が空集合であるか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

先の命題を以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{0}\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in X:a\boldsymbol{x}\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

先の命題をさらに以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実ベクトル空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{0}\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists a,b\in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)が線型結合について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

演習問題