部分空間（部分ベクトル空間）の定義と具体例

ベクトル空間の部分ベクトル空間

体\(K\)上のベクトル空間\(V \)が与えられているものとします。つまり、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算がベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in V:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in V,\ \exists -x\in V:x+\left( -x\right)
=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in V:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in V:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in V:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たすということです。

ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\subset V\)が与えられた状況を想定します。その要素である2つのベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset V\)ゆえに\(x,y\in V\)であるため、もとのベクトル空間\(\left( K,V\right) \)上に定義されているベクトル加法\(+\)のもとでベクトル和\(x+y\in V\)をとることができます。つまり、\begin{equation*}\forall x,y\in X:x+y\in V
\end{equation*}が成り立つということです。また、スカラー\(a\in K\)とベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset V\)ゆえに\(x\in V\)であるため、もとのベクトル空間\(\left( K,V\right) \)上に定義されたスカラー乗法\(\cdot \)のもとでスカラー倍\(ax\in V\)をとることができます。つまり、\begin{equation*}\forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in V
\end{equation*}が成り立つということです。

以上を踏まえると、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\subset V\)が与えられたとき、ベクトルがとり得る範囲を\(V\)から\(X\)へと制限することで得られる、\begin{equation*}\left( K,X\right)
\end{equation*}がベクトル空間であるか検討できます。つまり、\(\left( K,X\right) \)がベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じているとともにベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in X:1x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in X:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}がいずれも成立するか検討できます。以上の条件がすべて満たされる場合、\begin{equation*}
\left( K,X\right)
\end{equation*}のことをもとのベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間（subspace）や線型部分空間（linear subspace）などと呼びます。体\(K\)が文脈から明らかである場合、部分空間をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記することもできます。

部分空間であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、ベクトル空間\(\left(K,V\right) \)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、\(X\)が\(V\)の部分空間であることとは、\(X\)が\(V\)上に定義されているベクトル加法\(+\)とスカラー乗法のもとで閉じているとともにベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in X:1x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in X:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。ただし、これらの条件が成立することを1つ1つ確認するのは面倒です。

実際には、\(\left( K,X\right) \)が\(\left(K,V\right) \)上に定義されているベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じていることだけ確認できれば、\(\left(K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分空間であることが保証されます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、ベクトル空間の部分集合\(X\subset V\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\phi \\
&&\left( b\right) \ \exists x,y\in X:x+y\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in K,\ \exists x\in X:ax\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)が空集合であるか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

先の命題を以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、ベクトル空間の部分集合\(X\subset V\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists x,y\in X:x+y\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in K,\ \exists x\in X:ax\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

先の命題をさらに以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、ベクトル空間の部分集合\(X\subset V\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists a,b\in K,\ \exists x,y\in X:ax+by\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)が線型結合について閉じていないことを示せば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

部分空間の具体例：ゼロ部分空間

ベクトル空間\(V\)が与えられたとき、ベクトル空間の公理の1つである、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
0\in V
\end{equation*}を得るため、ゼロベクトルだけを要素として持つ\(V\)の非空な部分集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\}
\end{equation*}をとることができます。これは\(V\)の非空な部分集合であるため\(V\)の部分空間であるか検討できますが、実際、これは\(V\)の部分空間です。このような部分空間をゼロ部分空間（zero subspace）と呼びます。

部分空間の具体例：全体空間

ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられたとき、ベクトル空間の公理の1つである、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
0\in V
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
V\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、任意の集合は自身の部分集合であるため、\begin{equation*}
V\subset V
\end{equation*}です。以上より、\(V\)は\(V \)自身の非空な部分集合であるため\(V\)の部分空間であるか検討できますが、実際、これは\(V\)の部分空間です。このような部分空間を全体空間（entire space）と呼びます。

部分空間の具体例：n次元ベクトル空間の部分空間

体\(K\)上の\(n\)次元ベクトル空間\(\left( K,K^{n}\right) \)はベクトル空間ですが、その部分空間をいくつか提示します。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)が原点を通過する場合、これは何らかの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と表現されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が原点を通過する場合、これは何らかの線型独立な非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と表現されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。

部分空間の具体例：行列空間の部分空間

体\(K\)上の行列空間\(\left(K,M_{m,n}\left( K\right) \right) \)はベクトル空間ですが、その部分空間をいくつか提示します。

実行列空間\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素は実数を成分として持つ正方行列ですが、その中でも対称行列からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ A=A^{t}\right\}
\end{equation*}となります。これは\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。

実行列空間\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素は実数を成分として持つ正方行列ですが、その中でも交代行列からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ A=-\left( A^{t}\right) \right\}
\end{equation*}となります。これは\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。

部分空間の具体例：点列空間の部分空間

体\(K\)上の点列空間\(\left(K,K^{\infty }\right) \)はベクトル空間です。ただし、\begin{equation*}K^{\infty }=\left\{ \left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\ |\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in K\right\}
\end{equation*}です。点列空間の部分空間を提示します。

実数列空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{\infty }\right) \)の要素は実数を成分として持つ数列ですが、その中でも有限な実数へ収束する数列からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left\{ x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\in \mathbb{R} ^{\infty }\ |\ \exists L\in \mathbb{R} :\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=L\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{\infty }\)の部分空間です。

部分空間の具体例：写像空間の部分空間

体\(K\)上の写像空間\(\left(K,K^{X}\right) \)はベクトル空間です。ただし、\begin{equation*}K^{X}=\left\{ f:X\rightarrow K\right\}
\end{equation*}です。写像空間の部分空間をいくつか提示します。

非空の集合\(X\subset \mathbb{R} \)上に定義された実数値関数からなる写像空間\begin{equation*}\mathbb{R} ^{X}=\left\{ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \right\} \end{equation*}はベクトル空間ですが、その中でも連続関数からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ f\in \mathbb{R} ^{X}\ |\ f\text{は}X\text{上で連続}\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{X}\)の部分空間です。

非空の開集合\(X\subset \mathbb{R} \)上に定義された実数値関数からなる写像空間\begin{equation*}\mathbb{R} ^{X}=\left\{ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \right\} \end{equation*}はベクトル空間ですが、その中でも微分可能な関数からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ f\in \mathbb{R} ^{X}\ |\ f\text{は}X\text{上で微分可能}\right\}
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} ^{X}\)の部分空間です。

演習問題