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ベクトル空間

部分ベクトル空間の定義と具体例

目次

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ベクトル空間の部分ベクトル空間

体\(K\)上のベクトル空間\(\left( K,V\right) \)にはベクトル加法とスカラー乗法が定義されており、これらの演算はベクトル空間の公理を満たします。さて、\(V\)の非空な部分集合\(X\)を任意に選びます。その要素である2つのベクトル\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset V\)ゆえに\(x,y\in V\)であるため、\(\left( K,V\right) \)上に定義されているベクトル加法のもとでベクトル和\(x+y\in V\)をとることができます。また、スカラー\(a\in K\)とベクトル\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset V\)ゆえに\(x\in V\)であるため、\(\left( K,V\right) \)上に定義されたスカラー乗法のもとでスカラー倍\(ax\in V\)をとることができます。以上を踏まえると、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)と\(V\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、ベクトルがとり得る範囲を\(V\)から\(X\)へと制限して得られる\(\left( K,X\right) \)がベクトル空間であるか検討可能です。つまり、\(X\)が\(\left( K,V\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じているとともに\(\left( K,X\right) \)がベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:a\left( bx\right)
=\left( a\cdot b\right) x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in X:1x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in X:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}がいずれも成立するか検討できます。以上の条件がいずれも満たされる場合、\(\left(K,X\right) \)のことをもとのベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間(subvector space)や部分空間(subspace)などと呼びます。体が\(K\)であることが文脈から明らかである場合、部分空間をシンプルに\(X\)と表記することもできます。

ベクトル空間は必ず部分ベクトル空間を持ちます。以下の例より明らかです。

例(部分ベクトル空間)
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が任意に与えられたとき、ベクトル空間の定義より\(V\not=\phi \)です。\(V\)は\(V\)自身の部分集合ですが、\(\left( K,V\right) \)はベクトル空間の公理系を満たすため、\(\left( K,V\right) \)は\(\left(K,V\right) \)自身の部分ベクトル空間です。この例は、任意のベクトル空間は部分ベクトル空間を持つことを示唆しています。

ベクトル空間の部分ベクトル空間は1つだけであるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(部分ベクトル空間)
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が任意に与えられたとき、先の例より、\(\left(K,V\right) \)自身は\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間です。ベクトル空間の定義より、\(V\)はゼロベクトル\(0\)を要素として持ちます。そこで、\(V\)の非空の部分集合として\(\left\{ 0\right\} \)に注目します。\(\left( K,\left\{ 0\right\} \right) \)はゼロベクトル空間であるためベクトル空間の公理を満たします。したがって\(\left( K,\left\{ 0\right\} \right) \)もまた\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間です。この例は、ベクトル空間が複数の異なる部分ベクトル空間を持ち得ることを示唆しています。特に、\(V\)がゼロベクトル空間でない場合、\(\left( K,V\right) \)と\(\left(K,\left\{ 0\right\} \right) \)は異なる\(\left(K,V\right) \)の部分ベクトル空間であるため、ゼロベクトル空間とは異なる任意のベクトル空間は複数の異なる部分ベクトル空間を持ちます。

ベクトル空間の部分集合は部分ベクトル空間であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(部分ベクトル空間ではない部分集合)
ゼロベクトル空間ではないベクトル空間\(\left( K,V\right) \)を任意に選びます。ベクトル空間の定義より\(V\)はゼロベクトル\(0\)を要素として持ちます。\(V\)はゼロベクトル空間ではないため\(V\backslash \left\{ 0\right\} \)は空集合ではありません。ただ、\(V\backslash \left\{ 0\right\} \)はゼロベクトルを要素として持たないため\(\left(K,V\backslash \left\{ 0\right\} \right) \)はベクトル空間の公理を満たさず、したがって\(\left(K,V\backslash \left\{ 0\right\} \right) \)は\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間ではありません。

 

部分ベクトル空間であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、ベクトル空間\(\left(K,V\right) \)と\(V\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間であることとは、\(X\)が\(\left(K,V\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じているとともに\(\left( K,X\right) \)がベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall x,y,z\in X:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall x\in X:x+0=x \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall x\in X,\ \exists -x\in X:x+(-x)=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall x,y,\in X:x+y=y+x \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:a\left( bx\right)
=\left( a\cdot b\right) x \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in X:1x=x \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in X:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in X:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つことを意味します。ただし、これらの条件が成立することを1つ1つ確認するのは大変です。ただ、実際には、\(X\)が\(\left( K,V\right) \)上に定義されているベクトル加法とスカラー乗法のもとで閉じていることを保証できれば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間であることが保証されます。

命題(部分ベクトル空間であるための必要十分条件)
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられたとき、部分集合\(X\subset V\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間であるための必要十分条件である。ただし、\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)における演算は\(\left( K,V\right) \)上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法である。
証明

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上の命題は部分ベクトル空間であるための必要十分条件を与えられているため、ベクトル空間の部分集合が部分ベクトル空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、ベクトル空間\(\left(K,V\right) \)が与えられたとき、部分集合\(X\subset V\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\phi \\
&&\left( b\right) \ \exists x,y\in X:x+y\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in K,\ \exists x\in X:ax\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)が空集合であるか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

先の命題を以下の形に言い変えることもできます。

命題(部分ベクトル空間であるための必要十分条件)
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられたとき、部分集合\(X\subset V\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間であるための必要十分条件である。ただし、\(\left( a\right) \)における\(0\)は\(V\)中のゼロベクトルであり、\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)における演算は\(\left( K,V\right) \)上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法である。
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上の命題は部分ベクトル空間であるための必要十分条件を与えられているため、ベクトル空間の部分集合が部分ベクトル空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、ベクトル空間\(\left(K,V\right) \)が与えられたとき、部分集合\(X\subset V\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists x,y\in X:x+y\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists a\in K,\ \exists x\in X:ax\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)がベクトル加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

先の命題をさらに以下の形に言い変えることもできます。

命題(部分ベクトル空間であるための必要十分条件)
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が与えられたとき、部分集合\(X\subset V\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x,y\in X:ax+by\in X
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間であるための必要十分条件である。ただし、\(\left( a\right) \)における\(0\)は\(V\)中のゼロベクトルであり、\(\left( b\right) \)における演算は\(\left( K,V\right) \)上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法である。
証明

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上の命題は部分ベクトル空間であるための必要十分条件を与えられているため、ベクトル空間の部分集合が部分ベクトル空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、ベクトル空間\(\left(K,V\right) \)が与えられたとき、部分集合\(X\subset V\)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists a,b\in K,\ \exists x,y\in X:ax+by\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロベクトルを要素として持たないか、または\(X\)が線型結合について閉じていないことを示せば、\(\left( K,X\right) \)が\(\left( K,V\right) \)の部分ベクトル空間ではないことを示したことになります。

 

部分ベクトル空間の具体例

以下が部分ベクトル空間の具体例です。

例(実ベクトル空間の部分ベクトル空間)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下のような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{3}=0\right\}
\end{equation*}に注目します。\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です(演習問題)。
例(行列空間の部分ベクトル空間)
体\(K\)を任意に選んだ上で、\(K\)の要素を成分として持つ次数\(n\)の正方行列からなる集合\(M_{n,n}\left( K\right) \)を定義します。ベクトル加法として行列加法を、スカラー乗法として行列の