ベクトル空間を張るベクトル集合
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}x_{1},\cdots ,x_{m}\in V
\end{equation*}が与えられたとき、これらの線型結合とは、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V
\end{equation*}という形で表されるベクトルです。
ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in V\)の線型結合\(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)の選び方に依存します。したがって、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) =\left\{
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in V\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\}
\end{equation*}となります。これをベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の線型スパンと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) \subset V
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル\(x\in V\)が与えられたとき、それをベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(x\)はベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}x\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。
ベクトル\(x\in V\)が与えられたとき、それをベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)のいかなる線型結合としても表現できないならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:x\not=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(x\)はベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}x\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。
複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in K:\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)は線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0
\end{equation*}に対して、以下の条件\begin{equation*}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。なお、ゼロベクトルだけからなる集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\} \subset V
\end{equation*}は線型従属であるものとみなします。
複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}が与えられたとき、この中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in K:x_{i}\not=a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)は線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\not\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0
\end{equation*}の解が、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}を満たす\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)だけであることは、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型独立であるための必要十分条件です。なお、非ゼロベクトル\(x\in V\backslash \left\{ 0\right\} \)だけからなる集合\begin{equation*}\left\{ x\right\} \subset V
\end{equation*}は線型独立であるものとみなします。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分集合\(X\subset V\)が与えられたとき、それに対してあるベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V\)が存在して、\(X\)の要素であるすべてのベクトルが\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:x\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\}
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X\subset \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は集合\(X\)を張ると言います。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)は自身の部分集合であるため、\(V\)を張るベクトル集合について考えることもできます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V\)が\(V\)を張ることとは、\begin{equation*}\forall x\in V:x\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\}
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
V\subset \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、以下の関係\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) \subset V
\end{equation*}は常に成り立つため、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が\(V\)を張ることと、\begin{equation*}V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\end{equation*}で表記します。その上で、\(n\)個のベクトルを要素として持つ以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底と呼びます。標準基底の要素であるベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)を標準基底ベクトルと呼びます。標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ります。つまり、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{e}_{1}\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \right) \end{equation*}が成り立ちます。さらに、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1}\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は線型独立です（演習問題）。
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。その上で、以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ります。つまり、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \right) \end{equation*}が成り立ちます。さらに、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)は線型独立です（演習問題）。\(c\)の選び方は任意であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合は無数に存在することが明らかになりました。
\end{equation*}で表記します。その上で、\(mn\)個の行列を要素として持つ以下の行列集合\begin{equation*}\left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底と呼びます。標準基底の要素である行列\(E_{11},\cdots ,E_{mn}\)を標準基底行列と呼びます。標準基底\(\left\{E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張ります。つまり、\begin{equation*}M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) =\mathrm{span}\left( \left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\(\left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} \)は線型独立です（演習問題）。
ベクトル空間を張るベクトル集合は線型独立であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}に属さないベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それを標準基底に加えることにより得られるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を構成すると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るとともに線型従属です（演習問題）。
これまでの議論では、ベクトル空間を張るベクトルの個数が有限である状況を想定しましたが、一般には、ベクトル空間を有限個のベクトルによって張れるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}です。自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、有限\(m\)個の多項式関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\in P\)を任意に選びます。これらの多項式関数からなる集合\begin{equation*}\left\{ f_{1},\cdots ,f_{m}\right\} \subset P
\end{equation*}によって\(P\)を張ることはできません（演習問題）。
ベクトル空間の基底
先に例を通じて確認したように、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)を張るベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\}\subset V\)の中には線型独立であるものと線型従属であるものの双方のパターンが存在することが明らかになりました。そこで、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)がベクトル空間\(V\)を張るとともに線型独立である場合には、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を\(V\)の基底（basis）と呼びます。また、ベクトル空間\(V\)の基底\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の要素である個々のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)を\(V\)の基底ベクトル（basis vector）と呼びます。
改めて整理すると、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset V\)がベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の基底であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が\(V\)を張ること、すなわち、\(V\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。
ベクトル空間\(V\)を張るベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset V\)が線型従属である場合には、\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は\(V\)の基底ではないことに注意してください。
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。したがって、標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底です。
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。その上で、以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義すると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。したがって、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底です。\(c\)の選び方は任意であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底は無数に存在することが明らかになりました。
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。したがって、標準基底\(\left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底です。
\end{equation*}に属さないベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それを標準基底に加えることにより得られるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張る一方で線型従属であることは先に示した通りです。したがって、\(\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底ではありません。ベクトル集合が基底であるためには線型独立である必要があるからです。
基底に含まれる要素の個数
先に例を通じて確認したように、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)を張る線型独立なベクトル集合、すなわち\(V\)の基底は無数に存在します。では、\(V\)の基底どうしを比べたとき、要素の個数が最も少ない基底には何個のベクトルが含まれているのでしょうか。
実は、ベクトル空間\(V\)が有限集合であるような基底を持つ場合、つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}を満たすベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V\)が存在する場合、\(V\)の任意の基底は有限集合であるとともに、\(V\)のすべての基底に含まれるベクトルの個数は一致します。
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(n\)個のベクトルを要素として持つため、先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の基底は\(n\)個のベクトルを要素として持ちます。
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。標準基底\(\left\{ E_{11},\cdots,E_{mn}\right\} \)は\(mn\)個の行列を要素として持つため、先の命題より、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の任意の基底は\(mn\)個の行列を要素として持ちます。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限\(n\)個の要素からなる基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を持つ場合、先の命題より、\(V\)の任意の基底が\(m\)個の要素を持ちます。つまり、線型独立なベクトルを使って\(V\)上のすべてのベクトルを表現するためには\(m\)個のベクトルが必要です。言い換えると、\(m\)個よりも少ないベクトルしか与えられておらず、なおかつそれらが線型独立である場合、それらのベクトルをいかなる形で線型結合しても、\(V\)上のすべてのベクトルを表現し尽くすことはできません。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限\(m\)個の要素からなる基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を持つ場合、\(m\)個よりも多い要素を持つベクトル集合が\(V\)を張るならば、そのベクトル集合は線型従属であることが確定します。なぜなら、そのベクトル集合が線型独立であるものと仮定すると、要素の個数が\(m\)よりも大きい\(V\)の基底が存在することとなり、それは先の命題と矛盾するからです。
,y_{n}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ n>m
\end{eqnarray*}をともに満たす任意のベクトル集合\(\left\{y_{1},\cdots ,y_{n}\right\} \subset V\)は線型従属である。
\end{equation*}に属さないベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それを標準基底に加えることにより得られるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ることは先に示した通りです。このベクトル集合の要素の個数\(n+1\)は標準基底ベクトルの個数\(n\)よりも多いため、このベクトル集合は線型従属であるはずです。実際、先に示したようにこのベクトル集合は線型従属であり、この事実は先の命題の主張と整合的です。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限\(m\)個の要素からなる基底を持つ場合、\(m\)個の要素を持つ線型独立なベクトル集合を任意に選べば、それは\(V\)の基底になることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\(\left\{ y_{1},\cdots ,y_{m}\right\} \)は\(V\)の基底である。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限\(m\)個の要素からなる基底を持つ場合、\(m\)個の要素を持つベクトル集合が\(V\)を張るならば、そのベクトル集合は\(V\)の基底になることが保証されます。
\end{equation*}を満たすならば、\(\left\{y_{1},\cdots ,y_{m}\right\} \)は線型独立である。したがって、\(\left\{ y_{1},\cdots ,y_{m}\right\} \)は\(V\)の基底である。
ベクトル空間の次元
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)を張るために必要なベクトルの個数の最小値を\(V\)の次元（dimension）と呼び、それを、\begin{equation*}\dim V
\end{equation*}で表記します。
先に明らかにしたように、ベクトル空間\(V\)が有限\(m\)個の要素からなる基底を持つ場合、\(V\)の基底はいずれも\(m\)個の要素からなる集合であるため、\(V\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(m\)です。では、線型従属なベクトルを考察対象に含めた場合にはどうなるでしょうか。つまり、ベクトル空間\(V\)を張る線型従属なベクトル集合の中には、要素の個数が\(m\)よりも少ないものが存在するのでしょうか。存在しません。
\end{equation*}を満たす線型従属なベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ y_{1},\cdots ,y_{n}\right\} \subset V
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{equation*}
n>m
\end{equation*}が成り立つ。
繰り返しになりますが、ベクトル空間\(V\)が有限\(m\)個の要素からなる基底を持つ場合、\(V\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(m\)です。さらに、上の命題より、\(V\)を張るために必要な「線型従属」なベクトルの個数の最小値は\(m\)を上回ります。したがって、\(V\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値、すなわち\(V\)の次元は\(m\)であることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つ。
ベクトル空間\(V\)の次元が\(m\)であることは、\(V\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値が\(m\)であることを意味します。つまり、\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots,x_{m}\)を適切に選べば、\(V\)上の任意のベクトルはいずれも\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合として表現可能です。
加えて、それらのベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)からなるベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が線型独立であることが確定しています。つまり、\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は\(V\)の基底であるということです。なぜなら、線型従属なベクトルによって\(V\)を張ろうとすると、必要なベクトルの個数は必ず\(m\)を超えてしまうからです。加えて、\(V\)の基底はいずれも\(m\)個の要素を持つため、\(V\)の次元\(m\)は\(V\)の基底に含まれるベクトルの個数でもあります。また、\(m\)個のベクトルからなる線型独立なベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を構成すると、これは\(V\)の基底になることが確定しています。\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)とは異なるベクトル\(v\)を任意に選んでベクトル集合\(\left\{ v,x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を構成すると、これは線型従属になってしまいます。したがって、\(V\)の次元\(m\)は\(V\)において選ぶことができる線型独立なベクトルの個数の最大値でもあります。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の次元が有限な非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)として定まる場合、すなわち、\(V\)から最大で有限\(m\)個の線型独立なベクトルを選ぶことができる場合、そのことを、\begin{equation*}\dim V=m
\end{equation*}で表記で表記し、この場合、ベクトル空間\(V\)は有限次元\(n\)（finite dimension \(n\)）であるとか、\(n\)次元（\(n\) dimensional）であるなどと言います。
先に例を通じて明らかにしたように、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)から選ぶことができる線型独立なベクトルの個数は有限に収まるとは限りません。ベクトル空間\(V\)から無限個の線型独立なベクトルを選ぶことができる場合、そのことを、\begin{equation*}\dim V=+\infty
\end{equation*}で表記します。この場合、ベクトル空間\(V\)は無限次元（infinite dimension）であると言います。
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は\(n\)個のベクトルを要素として持つため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の基底は\(n\)個のベクトルを要素として持ちます。したがって、\begin{equation*}\dim \mathbb{R} ^{n}=n
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張るとともに線型独立であることは先に示した通りです。標準基底\(\left\{ E_{11},\cdots,E_{mn}\right\} \)は\(mn\)個の行列を要素として持つため、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の任意の基底は\(mn\)個の行列を要素として持ちます。したがって、\begin{equation*}\dim M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) =mn
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}です。先に確認したように、\(P\)から無限個の線型独立な多項式関数を選ぶことができます。したがって、\begin{equation*}\dim P=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底であることを示すとともに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元を明らかにしてください。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
4\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底でしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
1 \\
4 \\
7\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
5 \\
8\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
3 \\
6 \\
9\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底でしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
7\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{3}\)の基底でしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3 \\
a\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
a \\
0 \\
-1 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
a^{2} \\
7\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
a \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-2 \\
3 \\
a^{3}\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が線型従属であるために\(a\)が満たすべき条件を特定してください。
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底であることを示すとともに、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の次元を明らかにしてください。
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{n}\right) \)はベクトル空間です。\(P_{n}\)の部分集合\begin{equation*}\left\{ 1,x,x^{2},\cdots ,x^{n}\right\} \subset P_{n}
\end{equation*}を\(P_{n}\)の標準基底と呼びます。\(P_{n}\)の標準基底が\(P_{n}\)の基底であることを示すとともに、\(P_{n}\)の次元を明らかにしてください。
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{2}\right) \)はベクトル空間です。\(P_{2}\)の部分集合\begin{equation*}\left\{ x,1-x,1+x-x^{2}\right\} \subset P_{2}
\end{equation*}が\(P_{2}\)の基底であることを示してください。
\end{equation*}です。このベクトル空間\(P\)からは無限個の線型独立なベクトル（多項式関数）を選ぶことができることを示してください。
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