実行列空間の部分空間

実行列空間の部分空間

実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。つまり、行列加法と行列スカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
\cdot &:&\mathbb{R} \times M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算はベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall A,B,C\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists -A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+\left( -A\right) =0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B=B+A \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :1A=A \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :k\left( A+B\right) =kA+kB \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{eqnarray*}を満たすということです。慣例にしたがい、スカラー乗法\(\cdot \)の記号を省略します。また、実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)をシンプルに、\begin{equation*}M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表記することもできます。

実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)を念頭においた上で、非空な集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられた状況を想定します。その要素である2つの行列\(A,B\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)ゆえに\(A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に定義されている行列加法のもとで行列和\(A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をとることができます。つまり、\begin{equation*}\forall A,B\in X:A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。また、スカラー\(k\in \mathbb{R} \)と行列\(A\in X\)を任意に選んだとき、\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)ゆえに\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に定義されたスカラー乗法のもとでスカラー倍\(kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)をとることができます。つまり、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

以上を踏まえると、実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)に加えて非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行列がとり得る範囲を\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から\(X\)へと制限して得られる、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,X\right)
\end{equation*}が実行列空間であるか検討できます。つまり、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が行列加法\(+\)と行列スカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じているとともにベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A,B\in X:A+B\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:kA\in X
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall A,B,C\in X:\left( A+B\right) +C=A+\left(
B+C\right) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall A\in X:A+0=A \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall A\in X,\ \exists -A\in X:A+\left( -A\right)
=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall A,B\in X:A+B=B+A \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:1A=A \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in X:k\left( A+B\right) =kA+kB \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{eqnarray*}がいずれも成立するか検討できます。以上の条件がいずれも満たされる場合、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,X\right)
\end{equation*}のことを実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分空間（subspace）や線型部分空間（linear subspace）などと呼びます。部分空間をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記することもできます。

部分空間であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、\(X\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であることとは、\(X\)が\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されている行列加法\(+\)と行列スカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じているとともにベクトル空間の公理を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A,B\in X:A+B\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:kA\in A
\end{eqnarray*}がともに成立するとともに、さらに、\begin{eqnarray*}
&&\left( X_{1}\right) \ \forall A,B,C\in X:\left( A+B\right) +C=A+\left(
B+C\right) \\
&&\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall A\in X:A+0=A \\
&&\left( X_{3}\right) \ \forall A\in X,\ \exists -A\in X:A+\left( -A\right)
=0 \\
&&\left( X_{4}\right) \ \forall A,B\in X:A+B=B+A \\
&&\left( X_{5}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:k_{1}\left( k_{2}A\right) =\left( k_{1}k_{2}\right) A \\
&&\left( X_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:1A=A \\
&&\left( X_{7}\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A,B\in X:k\left( A+B\right) =kA+kB \\
&&\left( X_{8}\right) \ \forall k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in X:\left( k_{1}+k_{2}\right) A=k_{1}A+k_{2}A
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。ただし、これらの条件が成立することを1つ1つ確認するのは面倒です。

実際には、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に定義されている行列加法\(+\)と行列スカラー乗法\(\cdot \)のもとで閉じていることだけ確認できれば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分空間であることが保証されます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実行列空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実行列空間の部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X=\phi \\
&&\left( b\right) \ \exists A,B\in X:A+B\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists k\in \mathbb{R} ,\ \exists A\in X:kA\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)が空集合であるか、または\(X\)が行列加法か行列スカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

先の命題を以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実行列空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実行列空間の部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists A,B\in X:A+B\not\in X \\
&&\left( c\right) \ \exists k\in \mathbb{R} ,\ \exists A\in X:kA\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロ行列を要素として持たないか、または\(X\)が行列加法かスカラー乗法の少なくとも一方について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

先の命題をさらに以下の形に言い変えることもできます。

上の命題は部分空間であるための必要十分条件を与えられているため、実行列空間の部分集合が部分空間ではないことを判定する際にも利用できます。具体的には、実行列空間の部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)について、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\not\in X \\
&&\left( b\right) \ \exists k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} ,\ \exists A,B\in X:k_{1}A+k_{2}B\not\in X
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成立すれば、すなわち、\(X\)がゼロ行列を要素として持たないか、または\(X\)が線型結合について閉じていないことを示せば、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分空間ではないことを示したことになります。

部分空間の具体例：ゼロ部分空間

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、ベクトル空間の公理の1つである、\begin{equation*}\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in X,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を得るため、ゼロ行列だけを要素として持つ\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\}
\end{equation*}をとることができます。これは\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合であるため\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるか検討できますが、実際、これは\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。このような部分空間をゼロ部分空間（zero subspace）と呼びます。

部分空間の具体例：全体空間

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、ベクトル空間の公理の1つである、\begin{equation*}\left( X_{2}\right) \ \exists 0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+0=A
\end{equation*}を踏まえると、\begin{equation*}
0\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、任意の集合は自身の部分集合であるため、\begin{equation*}
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}です。以上より、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は非空な\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合であるため\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるか検討できますが、実際、これは\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。このような部分空間を全体空間（entire space）と呼びます。

部分空間の具体例：対称行列の集合

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対称行列（symmetric matrix）であることとは、対角線に関して対称的な位置にある成分どうしが一致すること、すなわち、\begin{equation*}
\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{ij}=a_{ji}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。同じことを転置行列を用いて表現すると、\begin{equation*}
A=A^{t}
\end{equation*}となります。つまり、正方行列\(A\)が自身の転置行列\(A^{t}\)と一致する場合、\(A\)を対称行列と呼びます。

正方行列のみが対称行列になり得ることに注意してください。なぜなら、\(A\)が正方行列ではない場合、\(A\)と\(A^{t}\)は大きさが異なるため、両者が等しくなる事態は起こり得ないからです。

正方行列空間\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在するすべての対称行列からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ A=A^{t}\right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間になります。

部分空間の具体例：交代行列の集合

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が交代行列（alternating matrix）であることとは、対角線に関して対称的な位置にある成分の一方が他方の\(-1\)倍であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{ij}=-a_{ji}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。同じことを転置行列を用いて表現すると、\begin{equation*}
A=-\left( A^{t}\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
-A=A^{t}
\end{equation*}などなります。つまり、正方行列\(A\)が自身の転置行列\(A^{t}\)のスカラー\(-1\)倍と一致する場合、\(A\)を交代行列と呼びます。交代行列を歪対称行列（skew-symmetricmatrix）と呼ぶ場合もあります。

正方行列のみが交代行列になり得ることに注意してください。なぜなら、\(A\)が正方行列ではない場合、\(A\)と\(-\left( A^{t}\right) \)は大きさが異なるため、両者が等しくなる事態は起こり得ないからです。

正方行列空間\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在するすべての交代行列からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ A=-\left( A^{t}\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間になります。

部分空間の具体例：トレースがゼロの行列の集合

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)のトレース（trace）とは、\(A\)の対角線上に存在するすべての成分の和\begin{equation*}tr\left( A\right) =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}
\end{equation*}として定義されます。トレースは正方行列に対してのみ定義されることに注意してください。

正方行列空間\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)上に存在するトレースが\(0\)であるような行列からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ tr\left( A\right) =0\right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間になります。

演習問題