正方行列の定義とその分類（三角行列・対角行列・単位行列）

正方行列

行の個数と列の個数が一致する行列、すなわち\(n\times n\)行列\begin{equation*}A=\left( a_{ij}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を次数\(n\)の正方行列（square matrix of order \(n\)）と呼びます。次数\(n\)の正方行列からなる集合\(M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)については、それを\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)と表記することもできます。

三角行列

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行番号と列番号が一致する成分\begin{equation*}a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}
\end{equation*}を\(A\)の対角成分（diagonal elements）と呼びます。また、対角成分の集まりを対角線（diagonal）や主対角線（main diagonal）などと呼びます。一方、対角成分ではない成分を\(A\)の非対角成分（non-diagonal elements）と呼びます。定義より、正方行列\(A\)の対角成分は下図において\(\ast \)が記されている成分です。それ以外のすべての成分は非対角成分です。\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11}^{\ast } & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}^{\ast } & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}^{\ast }\end{pmatrix}\end{equation*}

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の対角線よりも下側の成分がいずれも\(0\)である場合には、つまり、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\left( i>j\Rightarrow
a_{ij}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を上三角行列（upper triangular matrix）と呼びます。定義より、上三角行列\(A\)を、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の対角線よりも上側の成分がいずれも\(0\)である場合には、つまり、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\left( i<j\Rightarrow
a_{ij}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を下三角行列（upper triangular matrix）と呼びます。定義より、下三角行列\(A\)を、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。

対角行列

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非対角成分がすべて\(0\)である場合には、つまり、\begin{equation*}\forall i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\left( i\not=j\Rightarrow
a_{ij}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を対角行列（diagonal matrix）と呼びます。定義より、対角行列\(A\)を、\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。

単位行列

正方行列\(A=\left( a_{ij}\right) \in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)が対角行列であるとともに、そのすべての対角成分が\(1\)である場合には、つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow a_{ij}=0\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} :\left(
i=j\Rightarrow a_{ij}=1\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(A\)を単位行列（unit matrix）と呼び、これを\(I_{n}\)または\(I\)で表記します。定義より、単位行列\(I_{n}\)を、\begin{equation*}I_{n}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}と表記できます。ただし、\(I_{n}\)は\(n\)次の正方行列です。

等しい正方行列

2つの正方行列\(\left( a_{ij}\right),\left( b_{ij}\right) \)が同一の次数を持つとともに対応する成分がすべて等しい場合には\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)は等しい（equal）といい、そのことを、\begin{equation*}\left( a_{ij}\right) =\left( b_{ij}\right)
\end{equation*}と表記します。具体的には、同一の行列集合\(M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)に属する2つの正方行列\begin{eqnarray*}\left( a_{ij}\right) &\in &M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \\
\left( b_{ij}\right) &\in &M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}を選んだとき、それらの間に、\begin{equation*}
\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{ij}=b_{ij}
\end{equation*}が成り立つ場合には、そのことを\(\left( a_{ij}\right)=\left( b_{ij}\right) \)で表すということです。

2つの正方行列\(\left( a_{ij}\right),\left( b_{ij}\right) \)が等しくない場合、そのことを\(\left(a_{ij}\right) \not=\left( b_{ij}\right) \)で表します。これは、\(\left( a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)が異なる次数を持つ場合や、\(\left(a_{ij}\right) \)と\(\left( b_{ij}\right) \)が同じ次数を持つものの対応する成分の中に一致しないものが存在する場合に相当します。

正方行列に対する行列演算

同じ大きさの正方行列\(A,B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、行列加法の定義より、それらの行列和\(A+B\)や行列差\(A-B\)もまた同じ大きさの正方行列になることが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}\forall A,B &\in &M_{n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \\
\forall A,B &\in &M_{n}\left( \mathbb{R} \right) :A-B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)とスカラー\(k\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、行列のスカラー乗法の定義より、スカラー倍\(kA\)もまた\(A\)と同じ大きさの正方行列になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \forall k\in \mathbb{R} :kA\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

同じ大きさの正方行列\(A,B\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、行列乗法の定義より、2つの行列積\(AB,BA\)はいずれも定義可能であるとともに、これらもまた\(A\)や\(B\)と同じ大きさの正方行列になることが保証されます。つまり、\begin{eqnarray*}\forall A,B &\in &M_{n}\left( \mathbb{R} \right) :AB\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \\
\forall A,B &\in &M_{n}\left( \mathbb{R} \right) :BA\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、行列の転置の定義より、その転置\(A^{t}\)もまた\(A\)と同じ大きさの正方行列になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) :A^{t}\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

結論をまとめると、正方行列を対象とした場合、行列加法、行列減法、スカラー乗法、行列乗法、転置などの演算を自由に行うことができるとともに、得られた行列がもとの正方行列と同じ大きさの正方行列になることが保証されます。

正方行列の累乗（ベキ）

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\(A\)どうしを何回掛けても同じ大きさの正方行列が得られることを踏まえた上で、\begin{eqnarray*}A^{1} &=&A \\
A^{2} &=&AA \\
A^{3} &=&A^{2}A \\
A^{4} &=&A^{3}A \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などの表記を導入します。また、\begin{equation*}
A^{0}=I_{n}
\end{equation*}と定めます。ただし、\(I_{n}\)は大きさ\(n\)の単位行列です。

正方行列を変数とする多項式関数

正方行列\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、それに対してスカラー積やベクトル加法、ベクトル乗法を適用して得られる行列もまた\(A\)と同じ大きさの正方行列になることが保証されるため、スカラー\(k_{0},k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}k_{0}I_{n}+k_{1}A+k_{2}A^{2}+\cdots +k_{n}A^{n}\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(I_{n}\)は大きさ\(n\)の単位行列です。このような事情を踏まえると、それぞれの\(A\in M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( A\right) =k_{0}I_{n}+k_{1}A+k_{2}A^{2}+\cdots +k_{n}A^{n}
\end{equation*}を定める多項式関数\begin{equation*}
f:M_{n}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow M_{n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。

演習問題