実行列空間における線型従属・線型独立な行列

行列集合上で線型従属・線型独立な行列

実行列空間実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である有限\(p\)個の行列\begin{equation*}A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、これらの行列の線型結合とは、何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}という形で表される行列です。

行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型結合\(k_{1}A_{1}+\cdots+k_{p}A_{p}\)がどのような行列になるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。したがって、行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合をすべて集めることで得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) =\left\{
k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これを行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の線型スパンと呼びます。

行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それを行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つならば、行列\(A\)は行列集合\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型従属である（linearly dependent on \(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)）であると言います。線型「従属」と呼ばれる理由は、\(A\)は\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の線型結合として表現されるという意味において\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の従属下にあるからです。

線型スパンの定義を踏まえると、行列\(A\)が行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型従属であることは、\begin{equation*}A\in \mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、行列\(A\)が行列集合\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型従属であることとは、\(A\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) \)の要素であることを意味します。

繰り返しになりますが、行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上で線型従属であることとは、\(A\)を\(A_{1},\cdots,A_{p}\)の何らかの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(A\)が\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型従属ではない場合には、行列\(A\)は行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型独立である（linearly independent on \(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)）と言います。これは、\(A\)を\(A_{1},\cdots,A_{p}\)のいかなる線型結合としても表現できないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A\not=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。線型「独立」と呼ばれる理由は、\(A\)は\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の線型結合としてされ得ないという意味において\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)から独立しているからです。

線型スパンの定義を踏まえると、行列\(A\)が行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型独立であることは、\begin{equation*}A\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、行列\(A\)が行列集合\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)上で線型独立であることとは、\(A\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) \)の要素ではないことを意味します。

線型従属・線型独立な行列集合

複数かつ有限\(p\)個の行列を要素として持つ行列集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つの行列が他の\(p-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} ,\ \exists k_{1},\cdots
,k_{i-1},k_{i+1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A_{i}=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{i-1}A_{i-1}+k_{i+1}A_{i+1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つならば、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots,A_{p}\right\} \)は線型従属である（linearly dependent）とか、行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)は線型従属であるなどと言います。

線型スパンの定義を踏まえると、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型従属であることは、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :A_{i}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ A_{1},\cdots ,A_{i-1},A_{i+1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つの行列が残りの行列からなる行列集合の線型スパンの要素であることを意味します。

繰り返しになりますが、2つ以上の行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)に関して、これらが線型従属であることとは、その中の少なくとも1つがその他の行列の線型結合として表すことができることを意味します。このことは\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在すること、すなわち従属関係があることを意味します。「線型従属」という用語の由来は以上の通りです。

繰り返しになりますが、複数かつ有限\(p\)個の行列を要素として持つ行列集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つの行列が他の\(p-1\)個の行列の線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} ,\ \exists k_{1},\cdots
,k_{i-1},k_{i+1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A_{i}=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{i-1}A_{i-1}+k_{i+1}A_{i+1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型従属ではない場合には、\(\left\{A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)は線型独立である（linearly independent ）と言います。これは、\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)の中のどの行列も他の\(p-1\)個の行列の線型結合として表現できないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} ,\ \forall k_{1},\cdots
,k_{i-1},k_{i+1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A_{i}\not=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{i-1}A_{i-1}+k_{i+1}A_{i+1}+\cdots
+k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

線型スパンの定義を踏まえると、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型独立であることは、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :A_{i}\not\in \mathrm{span}\left(
\left\{ A_{1},\cdots ,A_{i-1},A_{i+1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型独立であることとは、その中のどの行列も残りの行列からなる行列集合の線型スパンの要素ではないことを意味します。

繰り返しになりますが、2つ以上の行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)に関して、これらが線型独立であることとは、その中からどの行列を選んだ場合でも、それは他の行列の線型結合として表すことができないことを意味します。このことは\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在しないこと、すなわち互いに独立していることを意味します。「線型独立」という用語の由来は以上の通りです。

線型従属・線型独立であることの判定方法

繰り返しになりますが、有限\(p\ \left( \geq 2\right) \)個の行列を要素として持つ行列集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が線型従属であることとは、この中の少なくとも1つの行列について、それを他の\(p-1\)個の行列の線型結合として表現できることを意味します。逆に、この中の任意の行列について、それを他の\(p-1\)個の行列の線型結合として表現できない場合、先の行列集合は線型独立です。

ただし、以上の定義にもとづいて行列集合が線型従属ないし線型独立であることを確認する作業は煩雑になりがちです。実際、3個の異なる行列を要素として持つ行列集合\begin{equation*}
\left\{ A,B,C\right\}
\end{equation*}を対象とした場合でさえ、これが線型独立であることを示すためには、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{を}B,C\text{の線型結合として表現できない} \\
&&\left( b\right) \ B\text{を}A,C\text{の線型結合として表現できない} \\
&&\left( c\right) \ C\text{を}A,B\text{の線型結合として表現できない}
\end{eqnarray*}が成り立つことをすべて確認する必要があります。より扱いやすい判定条件が存在すれば、より望ましいということになります。

行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、その要素である行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合は何らかのスカラーの組\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表現される行列です。では、この線型結合がゼロ行列と一致するようなスカラーの組、すなわち、変数\(k_{1},\cdots ,k_{p}\)に関する以下の方程式\begin{equation}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}に解\(k_{1},\cdots ,k_{p}\)は存在するでしょうか。すべてのスカラーがゼロである場合、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :k_{i}=0
\end{equation*}である場合には\(\left( 1\right) \)は明らかに成り立ちます。一方、ゼロではないスカラーを含む何らかのスカラーの組のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :k_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの組\(k_{1},\cdots ,k_{p}\)のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型従属になることが保証されます。逆の議論も成立するため以下を得ます。

有限\(p\ \left( \geq 2\right) \)個の行列を要素として持つ行列集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられたとき、そこから変数\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。以下の条件\begin{equation}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :k_{i}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)は明らかに方程式\(\left(1\right) \)の解です。加えて、先の命題より、以下の条件\begin{equation}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :k_{i}\not=0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす解\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)が存在することは、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。であるならば、方程式\(\left( 1\right) \)に対して\(\left( 3\right) \)を満たす解が存在しないことは、すなわち方程式\(\left( 1\right) \)の解が\(\left( 2\right) \)を満たすものに限定されることは、行列集合\(\left\{ A_{1},\cdots,A_{p}\right\} \)が線型従属ではないこと（線型独立であること）でないことと必要十分です。ゆえに以下を得ます。

線型従属・線型独立な行列

これまでは有限かつ複数個の行列を要素として持つ行列集合\begin{equation*}
\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}について、それが線型従属ないし線型独立であることの意味を定義するとともに、それを判定する方法を解説してきました。

では、1つの行列だけを要素として持つ行列集合\begin{equation*}
\left\{ A\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}について、それが線型従属ないし線型独立であることをどのように定義すべきでしょうか。この集合\(\left\{ A\right\} \)には行列が1つだけしか含まれていないため、その中の1つが他の行列の線型結合として表現できるか判定することさえできません。ただ、変数\(k\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}kA=0
\end{equation*}を定義したとき、これが\(0\)とは異なる解\(k\)を持つかどうかは判定できます。

行列集合\(\left\{ A\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から方程式\begin{equation}kA=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義したとき、\begin{equation*}
k\not=0\Leftrightarrow A=0
\end{equation*}という関係が成り立つため、方程式\(\left( 1\right) \)が非ゼロの解\(k\)を持つことと\(A\)がゼロ行列であることは必要十分です。同時に、\begin{equation*}k=0\Leftrightarrow A\not=0
\end{equation*}という関係も成り立つため、方程式\(\left( 1\right) \)がゼロ解\(k\)だけを持つことと\(A\)が非ゼロ行列であることは必要十分です。

以上の事情を踏まえた上で、ゼロ行列だけを要素として持つ行列集合\begin{equation*}
\left\{ 0\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}については、これを線型従属であるものと定義します。一方、非ゼロ行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、それだけを要素としてベクトル集合\begin{equation*}\left\{ A\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}については、これを線型独立であるものと定義します。