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行列

行列の線型結合と線型スパン

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行列の線型結合

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上には行列加法\(+\)と行列スカラー乗法\(\cdot \)が定義されており、それらの演算について閉じています。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A,B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :A+B\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \mathbb{R} ,\ \forall A\in B:kA\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。では、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の行列に対してこれらの演算を組み合せる形で適用するとどうなるでしょうか。有限\(p\)個ずつのスカラーと行列\begin{eqnarray}k_{1},\cdots ,k_{p} &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (1) \\
A_{1},\cdots ,A_{p} &\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}をそれぞれ任意に選ぶと、\(\left( b\right) \)より、\begin{eqnarray*}k_{1}A_{1} &\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \\
&&\vdots \\
k_{p}A_{p} &\in &M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。つまり、有限個のスカラーと行列\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)をそれぞれ任意に選んだとき、そこから1つの行列\(\left( 3\right) \)が常に定義可能であるということです。そこで、\(\left( 3\right) \)として定義される行列を\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合(linear combination)や一次結合などと呼びます。

行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合\(k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\)がどのような行列になるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\)の選び方に依存します。同じ行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)を対象としていても、その線型結合は一意的ではないということです。

行列の線型結合を考える際に、結合する行列の個数\(p\)は有限である限りにおいて任意です。例えば、1個の行列\(A_{1}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型結合は何らかのスカラー\(k_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表され、2個の行列\(A_{1},A_{2}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型結合は何らかのスカラー\(k_{1},k_{2}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表され、3個の行列\(A_{1},A_{2},A_{3}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型結合は何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表されます。4個以上の行列についても同様です。

行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、スカラー\(0,\cdots ,0\in \mathbb{R} \)のもとでの線型結合は、\begin{equation*}0A_{1}+\cdots +0A_{p}=0
\end{equation*}となり、その結果はゼロ行列になります。つまり、ゼロ行列は任意の行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合として表現可能です。

例(正方行列の線型結合)
3個の\(2\times 2\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}
\\
C &=&\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}k_{1}A+k_{2}B+k_{3}C &=&k_{1}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}+k_{3}\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
k_{1}a_{11}+k_{2}b_{11}+k_{3}c_{11} & k_{1}a_{12}+k_{2}b_{12}+k_{3}c_{12} \\
k_{1}a_{21}+k_{2}b_{21}+k_{3}c_{21} & k_{1}a_{22}+k_{2}b_{22}+k_{3}c_{22}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と定義される\(2\times 2\)行列です。
例(行列の線型結合)
3個の\(3\times 2\)行列\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}
\\
B &=&\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32}\end{pmatrix}
\\
C &=&\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22} \\
c_{31} & c_{32}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}k_{1}A+k_{2}B+k_{3}C &=&k_{1}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
b_{31} & b_{32}\end{pmatrix}+k_{3}\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22} \\
c_{31} & c_{32}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
k_{1}a_{11}+k_{2}b_{11}+k_{3}c_{11} & k_{1}a_{12}+k_{2}b_{12}+k_{3}c_{12} \\
k_{1}a_{21}+k_{2}b_{21}+k_{3}c_{21} & k_{1}a_{22}+k_{2}b_{22}+k_{3}c_{22} \\
k_{1}a_{31}+k_{2}b_{31}+k_{3}c_{31} & k_{1}a_{32}+k_{2}b_{32}+k_{3}c_{32}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と定義される\(3\times 2\)行列です。
例(行ベクトルの線型結合)
3個の行ベクトル\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \\
B &=&\left( b_{1},\cdots ,b_{n}\right) \\
C &=&\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right)
\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A+k_{2}B+k_{3}C \\
&=&k_{1}\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) +k_{2}\left( b_{1},\cdots
,b_{n}\right) +k_{3}\left( c_{1},\cdots ,c_{n}\right) \\
&=&\left( k_{1}a_{1}+k_{2}b_{1}+k_{3}c_{1},\cdots
,k_{1}a_{n}+k_{2}b_{n}+k_{3}c_{n}\right)
\end{eqnarray*}と定義される行ベクトルです。

例(列ベクトルの線型結合)
3個の列ベクトル\begin{eqnarray*}
A &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) \\
B &=&\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right) \\
C &=&\left(
\begin{array}{c}
c_{1} \\
\vdots \\
c_{m}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A+k_{2}B+k_{3}C \\
&=&k_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) +k_{2}\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{m}\end{array}\right) +k_{3}\left(
\begin{array}{c}
c_{1} \\
\vdots \\
c_{m}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
k_{1}a_{1}+k_{2}b_{1}+k_{3}c_{1} \\
\vdots \\
k_{1}a_{n}+k_{2}b_{n}+k_{3}c_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定義される列ベクトルです。

例(実数の線型結合)
3個の実数\begin{eqnarray*}
A &=&\left( a\right) \\
B &=&\left( b\right) \\
C &=&\left( c\right)
\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A+k_{2}B+k_{3}C \\
&=&k_{1}\left( a\right) +k_{2}\left( b\right) +k_{3}\left( c\right) \\
&=&\left( k_{1}a+k_{2}b+k_{3}c\right)
\end{eqnarray*}と定義される実数です。

例(行列の行の線型結合)
\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(i\ \left( =1,2,\cdots ,m\right) \)番目の行は\(n\)次元の行ベクトル\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}であるため、行どうしの線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)の行どうしの線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +k_{2}\mathrm{row}\left( A,2\right) +\cdots
+k_{m}\mathrm{row}\left( A,m\right) \\
&=&k_{1}\left( a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}\right) +k_{2}\left(
a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}\right) +\cdots +k_{m}\left(
a_{m1},a_{m2},\cdots ,a_{mn}\right)
\end{eqnarray*}と表現される\(n\)次元の行ベクトルです。
例(行列の列の線型結合)
\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(j\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)番目の列は\(m\)次元の列ベクトル\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、列どうしの線型結合が定義可能です。具体的には、行列\(A\)の列どうしの線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +k_{2}\mathrm{col}\left( A,2\right) +\cdots
+k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) \\
&=&k_{1}\left(
\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m1}\end{array}\right) +k_{2}\left(
\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m2}\end{array}\right) +\cdots +k_{n}\left(
\begin{array}{c}
a_{1n} \\
a_{2n} \\
\vdots \\
a_{mn}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表現される\(m\)次元の列ベクトルです。

 

行列の線型スパン

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられた状況において、その要素である有限\(p\)個の行列\begin{equation*}A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を選んだとき、これらの行列の線型結合は何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表すことができます。この線型結合がどのような行列になるかはスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\)の選び方に依存します。したがって、行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型結合をすべて集めることで得られる集合は、\begin{equation*}\left\{ k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これを行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型スパン(linear span)や線型包(linear hull)などと呼び、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right) =\left\{ k_{1}A_{1}+\cdots
+k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記します。明らかに、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right) \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\(Y\)が与えられたとき、それを何らかの行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型スパンとして表現できる場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :Y=\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)は集合\(Y\)を張る(span)とか生成する(generate)などと言います。また、集合\(Y\)を張る行列からなる集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\}
\end{equation*}のことを、集合\(Y\)を張る集合(spanning set for \(Y\))や生成する集合(generating set)などと呼びます。線型スパンの定義より、このとき、\(Y\)の要素である行列はいずれも行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の何らかの線型結合として表現できます。つまり、\begin{equation*}\forall A\in Y,\ \exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つということです。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)もまた\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合であるため、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張る行列を考えることもできます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\exists A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) =\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right)
\end{equation*}が成り立つとき、行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を張ると言います。これは、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する行列はいずれも行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の何らかの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\forall A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) ,\ \exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

例(正方行列の線型スパン)
以下の4個の\(2\times 2\)行列\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}, \\
A_{3} &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\quad A_{4}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の線型結合は何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}+k_{4}A_{4} \\
&=&k_{1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}+k_{3}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix}+k_{4}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
k_{1} & k_{2} \\
k_{3} & k_{4}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表現される\(2\times 2\)行列です。したがって、先の行列\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)の線型スパンは、\begin{eqnarray*}&&\mathrm{span}\left( A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right) \\
&=&\left\{ k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}+k_{4}A_{4}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
k_{1} & k_{2} \\
k_{3} & k_{4}\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}となります。以上の事実は、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)上の任意の行列が先の行列\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。つまり、\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\} \)によって張られるということです。
例(行列の線型スパン)
以下の6個の\(3\times 2\)行列\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}, \\
A_{4} &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix},\quad A_{5}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix},\quad A_{6}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},k_{3},k_{4},k_{5},k_{6}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}+k_{4}A_{4}+k_{5}A_{5}+k_{6}A_{6} \\
&=&k_{1}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+k_{3}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}
\\
&&+k_{4}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
0 & 0\end{pmatrix}+k_{5}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
1 & 0\end{pmatrix}+k_{6}\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
k_{1} & k_{2} \\
k_{3} & k_{4} \\
k_{5} & k_{6}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と表現される\(3\times 2\)行列です。したがって、先の行列\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\)の線型スパンは、\begin{eqnarray*}&&\mathrm{span}\left( A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\right) \\
&=&\left\{
k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+k_{3}A_{3}+k_{4}A_{4}+k_{5}A_{5}+k_{6}A_{6}\in
M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},k_{3},k_{4},k_{5},k_{6}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
k_{1} & k_{2} \\
k_{3} & k_{4} \\
k_{5} & k_{6}\end{pmatrix}\in M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},k_{3},k_{4},k_{5},k_{6}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}となります。以上の事実は、\(M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right) \)上の任意の行列が先の行列\(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。つまり、\(M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\right\} \)によって張られるということです。
例(行ベクトルの線型スパン)
\(n\)個の行ベクトル\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\left( 1,0,\cdots ,0\right) \\
A_{2} &=&\left( 0,1,\cdots ,0\right) \\
&&\vdots \\
A_{n} &=&\left( 0,0,\cdots ,0\right)
\end{eqnarray*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+\cdots +k_{n}A_{n} \\
&=&k_{1}\left( 1,0,\cdots ,0\right) +k_{2}\left( 0,1,\cdots ,0\right)
+\cdots +k_{n}\left( 0,0,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}\right)
\end{eqnarray*}と表現される行ベクトルです。したがって、先の行ベクトル\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の線型スパンは、\begin{eqnarray*}&&\mathrm{span}\left( A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\right) \\
&=&\left\{ k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+\cdots +k_{n}A_{n}\in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}となります。以上の事実は、\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)上の任意の行ベクトルが先の行ベクトル\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。つまり、\(M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\right\} \)によって張られるということです。
例(列ベクトルの線型スパン)
\(m\)個の列ベクトル\begin{equation*}A_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\quad A_{2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\quad \cdots ,\quad A_{m}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}&&k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+\cdots +k_{m}A_{m} \\
&=&k_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +k_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +k_{m}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
k_{2} \\
\vdots \\
k_{m}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表現される列ベクトルです。したがって、先の列ベクトル\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)の線型スパンは、\begin{eqnarray*}&&\mathrm{span}\left( A_{1},A_{2},\cdots ,A_{m}\right) \\
&=&\left\{ k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}+\cdots +k_{m}A_{m}\in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
k_{1} \\
k_{2} \\
\vdots \\
k_{m}\end{array}\right) \in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{eqnarray*}となります。以上の事実は、\(M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \)上の任意の列ベクトルが先の列ベクトル\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{m}\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。つまり、\(M_{1,m}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\left\{ A_{1},A_{2},\cdots ,A_{m}\right\} \)によって張られるということです。
例(実数の線型スパン)
\(1\)個の実数\begin{equation*}A=\left( 1\right)
\end{equation*}の線型結合は、何らかのスカラー\(k\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}kA &=&k\left( 1\right) \\
&=&\left( k\right)
\end{eqnarray*}と表現される実数です。したがって、先の実数\(A\)の線型スパンは、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( A\right) &=&\left\{ kA\in M_{1,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( k\right) \in M_{1,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&M_{1,1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となります。以上の事実は、\(\mathbb{R} \)上の任意の実数が先の実数\(A\)の線型結合として表現可能であることも同時に意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)は\(\left\{ A\right\} \)によって張られるということです。
例(行列の行空間)
\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(i\ \left( =1,2,\cdots ,m\right) \)番目の行は\(n\)次元の行ベクトル\begin{equation*}\mathrm{row}\left( A,i\right) =\left( a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}\right)
\end{equation*}であるため、すべての行の線型スパン\begin{eqnarray*}
&&\mathrm{span}\left( \mathrm{row}\left( A,1\right) ,\mathrm{row}\left(
A,2\right) ,\cdots ,\mathrm{row}\left( A,m\right) \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{row}\left( A,1\right) +k_{2}\mathrm{row}\left(
A,2\right) +\cdots +k_{m}\mathrm{row}\left( A,w\right) \in M_{1,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}が定義可能です。これを行列\(A\)の行空間(row space)と呼びます。
例(行列の列空間)
\(m\times n\)行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}が与えられたとき、その\(j\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)番目の列は\(m\)次元の列ベクトル\begin{equation*}\mathrm{col}\left( A,j\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1j} \\
a_{2j} \\
\vdots \\
a_{mj}\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、すべての列の線型スパン\begin{eqnarray*}
&&\mathrm{span}\left( \mathrm{col}\left( A,1\right) ,\mathrm{col}\left(
A,2\right) ,\cdots ,\mathrm{col}\left( A,n\right) \right) \\
&=&\left\{ k_{1}\mathrm{col}\left( A,1\right) +k_{2}\mathrm{col}\left(
A,2\right) +\cdots +k_{n}\mathrm{col}\left( A,n\right) \in M_{m,1}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}が定義可能です。これを行列\(A\)の列空間(row space)と呼びます。

 

集合の線型スパン

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられた状況において、非空の部分集合\begin{equation*}X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を任意に選びます。\(X\)は非空であるため、その要素である行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in X\)を選ぶことができますが、その線型結合は何らかのスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と表すことができます。

非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である行列の線型結合をすべて網羅するためにはどのように考えればよいでしょうか。まずは、集合\(X\)の中から取り出す行列の個数\(p\in \mathbb{N} \)によって場合を分ける必要があります。結合する行列の個数\(p\)が決まったら、次は\(p\)個の行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in X\)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。結合する行列の個数\(p\)と行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)が決まったら、最後に\(p\)個のスカラー\(k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \)として何を選ぶかによって場合を分ける必要があります。このように考えると、集合\(X\)の要素である行列の線型結合をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\mathrm{span}\left( X\right) &=&\left\{ k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ p\in \mathbb{N} \wedge A_{1},\cdots ,A_{p}\in X\wedge k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \sum_{i=1}^{p}k_{i}A_{i}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ p\in \mathbb{N} \wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,p\right\} :\left( A_{i}\in X\wedge
k_{i}\in \mathbb{R} \right) \right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。これを\(X\)の線型スパン(linear span)や線型包(linear hull)などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\(Y\)が与えられたとき、それを何らかの集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型スパンとして表現できる場合には、すなわち、\begin{equation}\exists X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) :Y=\mathrm{span}\left( X\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、集合\(X\)のことを集合\(Y\)を張る集合(spanning set for \(Y\))や生成する集合(generating set)などと呼びます。線型スパンの定義より、このとき、\(Y\)の要素である行列はいずれも\(X\)の要素である行列の何らかの線型結合として表現できます。つまり、\begin{equation*}\forall A\in Y,\ \exists p\in \mathbb{N} ,\ \exists A_{1},\cdots ,A_{p}\in X,\ \exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}が成り立つということです。\(\left( 1\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\forall A\in \mathrm{span}\left( X\right) ,\ \exists p\in \mathbb{N} ,\ \exists A_{1},\cdots ,A_{p}\in X,\ \exists k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} :A=k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}
\end{equation*}もまた成り立ちます。

繰り返しになりますが、有限\(p\)個の行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型スパンは、\begin{equation}\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right) =\left\{ k_{1}A_{1}+\cdots
+k_{p}A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義される\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合です。これらの行列を要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\}
\end{equation*}を構成すれば、その線型スパン\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right)
\end{equation*}をとることができますが、これは\(\left( 1\right) \)と一致することが保証されます。

命題(集合の線型スパンと集合の線型スパンの関係)
有限\(p\)個の行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ A_{1},\cdots ,A_{p}\right\} \right) =\mathrm{span}\left( A_{1},\cdots ,A_{p}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の命題より、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の要素である行列\(A_{1},\cdots ,A_{p}\)の線型スパンはいずれも\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\(\left\{ A_{1},\cdots,A_{p}\right\} \)の線型スパンとして表現可能であることが明らかになりました。つまり、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合の線型スパンは行列の線型スパンよりも一般的な概念であるということです。そこで、以降では\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合の線型スパンを用います。

 

線型スパンは部分空間

繰り返しになりますが、実行列空間の非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の線型スパンとは、\(X\)の要素である行列の線型結合をすべて集めてできる集合であり、具体的には、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\left\{ k_{1}A_{1}+\cdots +k_{p}A_{p}\in
M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ p\in \mathbb{N} \wedge A_{1},\cdots ,A_{p}\in X\wedge k_{1},\cdots ,k_{p}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と定義されます。これは\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合であるため\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるか検討できますが、実際、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間になることが保証されます。

命題(線型スパンは部分空間)
実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選ぶ。その線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間である。
証明

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線型スパンの代替的な定義

実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、その線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であることが明らかになりました。では、これはどのような性質を満たす部分空間でしょうか。順番に考えます。

線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)は、自身を生成するもととなった集合\(X\)を部分集合として持ちます。

命題(線型スパンの性質)
実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選ぶ。その線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるとともに、\begin{equation*}X\subset \mathrm{span}\left( X\right)
\end{equation*}を満たす。

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実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、\(X\)を部分集合として持つ\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間を集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、この集合族は以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :Y_{\lambda }\text{は}M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \text{の部分空間} \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :X\subset Y_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義されるということです。

\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)自身は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であるとともに\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)はこの集合族の要素の1つです。先の命題より、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)もまたこの集合族の要素の1つですが、実は、線型スパン\(\mathrm{span}\left( X\right) \)はこの集合族の要素の中でも最小の集合です。つまり、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathrm{span}\left( X\right) \subset
Y_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。すると、集合族の共通部分の定義より、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( X\right) \subset \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}を得ます。さらに、これとは逆に、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }Y_{\lambda }\subset \mathrm{span}\left( X\right)
\end{equation*}もまた成り立つことが示されるため、結局、\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}を得ます。

命題(線型スパンの代替的な定義)
実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合族\(\left\{ Y_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :Y_{\lambda }\text{は}M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \text{の部分空間} \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :X\subset Y_{\lambda }
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義する。このとき、線型スパン\(\mathrm{span}\left(X\right) \)は集合族\(\left\{ Y_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}Y_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つ。

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実行列空間\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の非空な部分集合\(X\subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(X\)を部分集合として持つ\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間を集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ Y_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。上の命題を踏まえると、この集合族の要素であり、なおかつこの集合族の共通部分であるような\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合として\(X\)の線型スパンという概念を定義することができます。つまり、\(X\)を部分集合として持つ\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間からなる集合族が明らかであれば、行列の線型結合などの概念を経由することなく、\(X\)の線型スパンという概念を定義できるということです。

 

演習問題

問題(行列の線型結合)
実行列空間\(M_{3,2}\left( \mathbb{R} \right) \)における以下の行列\begin{eqnarray*}A_{1} &=&\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0 \\
4 & 4\end{pmatrix}
\\
A_{2} &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0 \\
5 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}とスカラー\begin{eqnarray*}
k_{1} &=&\frac{1}{2} \\
k_{2} &=&1
\end{eqnarray*}に関する線型結合\begin{equation*}
k_{1}A_{1}+k_{2}A_{2}
\end{equation*}を求めてください。

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問題(行列の線型結合)
実行列空間\(M_{2}\left( \mathbb{R} \right) \)における以下の行列\begin{equation*}A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & -1\end{pmatrix}\end{equation*}を以下の3つの行列\begin{eqnarray*}
A_{1} &=&\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
A_{2} &=&\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 1\end{pmatrix}
\\
A_{3} &=&\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
0 & -1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}の線型結合として表してください。

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