ベクトル値関数の平均変化率
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)および周辺の任意の点において定義されていることになります。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)の値は\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)から\(\boldsymbol{f}\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から\(h\)だけ動かした場合の\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の平均変化率（average rate of change）と呼びます。
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left( a\right) }{h} \\
\frac{f_{3}\left( a+h\right) -f_{3}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}です。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、点\(a\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left( a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left[ \left( a+h\right) ^{2}-\left( a+h\right) \right] -\left(
a^{2}-a\right) }{h} \\
\frac{\left[ \left( a+h\right) +1\right] -\left( a+1\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a+h-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、点\(1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( 1+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 1\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\cdot 1+h-1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1+h \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( -3+h\right) -\boldsymbol{f}\left( -3\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( -3\right) +h-1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-7+h \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、点\(a\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left( a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\cos \left( a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h} \\
\frac{\sin \left( a+h\right) -\sin \left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、例えば、点\(0\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\cos \left( h\right) -\cos \left( 0\right) }{h} \\
\frac{\sin \left( h\right) -\sin \left( 0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\cos \left( h\right) -1}{h} \\
\frac{\sin \left( h\right) }{h}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( \pi +h\right) -\boldsymbol{f}\left( \pi \right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\cos \left( \pi +h\right) -\cos \left( \pi \right) }{h} \\
\frac{\sin \left( \pi +h\right) -\sin \left( \pi \right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{\cos \left( h\right) -1}{h} \\
-\frac{\sin \left( h\right) }{h}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
ベクトル値関数の微分係数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選びます。関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ動かした場合の\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関するベクトル値関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとります。この極限は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有限なベクトルとして定まるとは限りませんが、仮に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有限なベクトルとして定まる場合、その極限を\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数（differential coefficient at \(a\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) ,\quad \frac{d\boldsymbol{f}\left(
a\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}\boldsymbol{f}\left( a\right) ,\quad \left.
\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{eqnarray*}
\frac{d\boldsymbol{f}(a)}{dx} &=&\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}を満たすものとして微分係数\(\frac{d\boldsymbol{f}(a)}{dx}\)は定義されるということです。微分係数\(\frac{d\boldsymbol{f}(a)}{dx}\)が存在する場合、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能（differentiable at \(a\)）であると言います。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されます。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left(
a\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{3}\left( a+h\right) -f_{3}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されます。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{equation}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
2a+h-1 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
2a+h-1 \\
1\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\left( 2a+h-1\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
2a-1 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、例えば、点\(1\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( 1\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
2-1 \\
1\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(-3\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( -3\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
-6-1 \\
1\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-7 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に求めたように、点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{equation}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{\cos \left( a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h} \\
\frac{\sin \left( a+h\right) -\sin \left( a\right) }{h}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。\(h\rightarrow 0\)のときの極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\cos \left( a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h} \\
\frac{\sin \left( a+h\right) -\sin \left( a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\cos \left( a+h\right) -\cos \left(
a\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\sin \left( a+h\right) -\sin \left(
a\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( a\right) \\
\cos \left( a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( a\right) \\
\cos \left( a\right)
\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、例えば、点\(0\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( \pi \right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。
ベクトル値関数の微分可能性と成分関数の微分可能性の関係
1変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の微分可能性と、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である1変数の実数値関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)の微分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\frac{df_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、ベクトル値関数の微分可能性に関する議論を、実数値関数である成分関数の微分可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。つまり、ベクトル値関数の微分可能性を判定する際に実数値関数の微分に関する知識を動員できます。
\begin{array}{c}
1+x^{3} \\
xe^{-x} \\
\sin \left( 2x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =1+x^{3}
\end{equation*}の点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} &=&\left. \frac{d}{dx}\left(
1+x^{3}\right) \right\vert _{x=a}\quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\left. 3x^{2}\right\vert _{x=a} \\
&=&3a^{2}
\end{eqnarray*}となります。また、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =xe^{-x}
\end{equation*}の点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{df_{2}\left( a\right) }{dx} &=&\left. \frac{d}{dx}\left(
xe^{-x}\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. e^{-x}-xe^{-x}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. e^{-x}\left( 1-x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&e^{-a}\left( 1-a\right)
\end{eqnarray*}となります。また、成分関数\begin{equation*}
f_{3}\left( x\right) =\sin \left( 2x\right)
\end{equation*}の点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{df_{3}\left( a\right) }{dx} &=&\left. \frac{d}{dx}\sin \left(
2x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. 2\cos \left( 2x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&2\cos \left( 2a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( a\right) }{dx} \\
\frac{df_{3}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
3a^{2} \\
e^{-a}\left( 1-a\right) \\
2\cos \left( 2a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
先の命題はベクトル値関数が微分可能であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が微分可能ではないことを判定する上でも有用です。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において微分可能ではない場合、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において微分可能ではありません。なぜなら、そのような成分関数が存在することは、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が微分可能であることと矛盾するからです。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}は絶対値関数であるため点\(0\)において微分可能ではありません。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=1 \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h}=-1
\end{eqnarray*}となり、両者は異なるからです。したがって先の命題より、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(0\)において微分可能ではありません。
微分可能な点の候補に関する留意点
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(a\in X\)における微分可能性を定義する際に、点\(a\)が関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の内点であることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数は、以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。この極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関するベクトル値関数とみなした場合に、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left(a\right) }{h}\)が必ず1つの有限なベクトルへ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上の検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合にも、その経路上の任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。つまり、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。点\(a\)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の内点である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)および周辺の任意の点において定義されていることになるため、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left(a\right) }{h}\)もまた定義されていることになります。したがってこの場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)が有限なベクトルへ収束するか検証できます。
では、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)上に内点ではない点が存在する場合、そのような点において関数\(\boldsymbol{f}\)を微分できないのでしょうか。具体例として、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(a,b\)はともに定義域の内点ではなく境界点であるため、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)および\(b\)において微分可能であるか検討することさえできません。このような点における微分可能性を検討する際には「片側微分」と呼ばれる微分概念を利用することになります。片側微分については場を改めて解説します。
もしくは、定義域の内点と境界点の双方を同時に対象する一般的な形で微分を定義することもできるのですが、本稿では慣例にしたがい、微分の対象を定義域の内点に限定し、境界点に関しては片側微分で対処することとします。
ベクトル値関数は微分可能であるとは限らない
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であるか検証できず、したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能ではありません。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能ではないということです。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\sin \left( x\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において定義されていないため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点ではない場合には、点\(a\)における平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left(a\right) }{h}\)は\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において定義されているとは言えません。したがって、この場合には\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であるか検証できないため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}が与えられているものとします。定義域\(\left[ a,b\right] \)の左側の端点\(a\)は定義域の内点ではありません。実際、\(x<a\)を満たす任意の\(x\)において\(\boldsymbol{f}\)は定義されていないため、点\(a\)における平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)において定義されておらず、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left(a\right) }{h}\)の挙動を調べることさえできません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能ではありません。同様の理由により、\(\boldsymbol{f}\)は定義域の右側の端点\(b\)において微分可能ではありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ点\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点である場合においても、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x\right\vert\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の内点であるため、\(\boldsymbol{f}\)が点\(0\)において微分可能であるか検討できます。\(\boldsymbol{f}\)の点\(0\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h}
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h} \\
\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left\vert h\right\vert }{h} \\
\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left\vert h\right\vert }{h} \\
\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left(
\begin{array}{c}
\frac{\left\vert h\right\vert }{h} \\
\frac{\left\vert h\right\vert }{h}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left(0\right) }{h}\)は\(h\rightarrow 0\)のときに有限なベクトルへ収束しません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能ではないことが明らかになりました。
ベクトル値関数の微分係数の一意性
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数\(\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}\)は、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h}\)を変数\(h\)に関するベクトル値関数とみなした上で\(h\rightarrow 0\)とした場合の極限として定義されます。一般に、ベクトル値関数が収束する場合にはそこでの極限が1つのベクトルとして定まるため、ベクトル値関数の極限として定義される微分係数もまた1つのベクトルとして定まります。
ベクトル値関数の導関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の内点\(a\in X\)において微分可能であることとは、点\(a\)における微分係数に相当する有限なベクトル\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように微分係数は常に1つの有限なベクトルとして定まります。このような事情を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)が微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの微分係数\(\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の導関数（derivative）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }(x),\quad \frac{d\boldsymbol{f}(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}\boldsymbol{f}(x)
\end{equation*}などで表記します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に内点ではない点が存在する場合や、\(X\)の中に関数\(\boldsymbol{f}\)が微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(\boldsymbol{f}\)の導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}\)は、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)が微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)と導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)上で微分可能（differentiable on \(X\)）であるとか微分可能である（differentiable）などと言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が微分可能であることと、そのすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が微分可能であることは必要十分であるため、すべての成分関数\(f_{i}\)が微分可能な点がそのままベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が微分可能な点になります。つまり、すべての成分関数\(f_{i}\)の導関数\(\frac{df_{i}}{dx}\)の定義域の共通部分をとればベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}\)の定義域が得られます。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上において微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\left( x^{2}-x\right) \\
\frac{d}{dx}\left( x+1\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上において微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \\
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}は絶対値関数であるため点\(0\)において微分可能ではなく、したがって\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能です。もう一方の成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で微分可能です。したがって、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と\(\mathbb{R} \)の共通部分である\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dx}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\left\vert x\right\vert \\
\frac{d}{dx}\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-\sin \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
\begin{array}{c}
4x-9 \\
3-x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
2x^{2}-16x+35 \\
\frac{1}{x+2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
3x+4 \\
x^{2}-4x+3\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
3\cos \left( x\right) \\
4\sin \left( x\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\sin \left( x\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
e^{x}\sin \left( x\right) \\
e^{x}\cos \left( x\right) \\
-e^{2x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
x\ln \left( x\right) \\
5e^{x} \\
\cos \left( x\right) -\sin \left( x\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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