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DIFFERENTIATION OF CURVE

ベクトル値関数の微分の定義

目次

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ベクトル値関数の平均変化率

実数の集合\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の点をとる写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を議論の対象とします。このような写像を実変数のベクトル値関数(vector-valued function of a vectorvariable)や曲線(curve)などと呼びます。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の点\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため、その第\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \)と表記するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係を満たす\(m\)個の1変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を得ます。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(f\)の成分関数(component function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、その定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。このような点を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\left( \frac{f_{1}\left(
a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h},\cdots ,\frac{f_{m}\left( a+h\right)
-f_{m}\left( a\right) }{h}\right)
\end{equation*}を、\(x\)が\(a\)から\(a+h\)まで変化するときの\(f\left( x\right) \)の平均変化率(average rate ofchange)と呼びます。

例(平均変化率)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。そこで、変数\(x\)が点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率をとると、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\left( \frac{f_{1}\left(
a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h},\frac{f_{2}\left( a+h\right)
-f_{2}\left( a\right) }{h}\right) \\
&=&\left( \frac{\left[ \left( a+h\right) ^{2}-\left( a+h\right) \right] -\left( a^{2}-a\right) }{h},\frac{\left[ \left( a+h\right) +1\right] -\left(
a+1\right) }{h}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{2ah+h^{2}-h}{h},\frac{h}{h}\right) \\
&=&\left( 2a+h-1,1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\left( 2a+h-1,1\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。例えば、点\(a=1\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h} &=&\left( 2\cdot
1+h-1,1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( 1+h,1\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(a=-3\)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( -3+h\right) -f\left( -3\right) }{h} &=&\left( 2\left(
-3\right) +h-1,1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left( -7+h,1\right)
\end{eqnarray*}です。

 

ベクトル値関数の微分係数

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。変数\(x\)が点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化したときの平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\left( \frac{f_{1}\left(
a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h},\cdots ,\frac{f_{m}\left( a+h\right)
-f_{m}\left( a\right) }{h}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)のときの極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow
0}\left( \frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h},\cdots ,\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\right)
\end{equation*}をとります。この極限は存在する(\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この極限を\(f\)の\(a\)における微分係数(differentialcoefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(a),\quad \frac{df(a)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(a),\quad \left.
\frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を満たすものとして微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は定義されるということです。微分係数\(f^{\prime }\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は\(a\)において微分可能(differentiable at \(a\))であると言います。

 

ベクトル値関数の微分と成分関数の微分の関係

定義より、ベクトル値関数の微分と成分関数の微分の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(ベクトル値関数の微分と成分関数の微分の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\)において微分可能であることは、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であるとともに、それらの微分係数の間には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}^{\prime }\left( a\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の命題により、ベクトル値関数の微分に関する議論を1変数関数である成分関数の微分に関する議論に置き換えて考えることができることが明らかになりました。

例(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか判定します。成分関数\(f_{1}\left( x\right) =x^{2}-x\)は多項式関数であるため微分可能であり、点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left( x^{2}-x\right)
\right\vert _{x=a}\quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\left. 2x-1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&2a-1
\end{eqnarray*}となります。成分関数\(f_{2}\left( x\right) =x+1\)もまた多項式関数であるため微分可能であり、点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left( x+1\right)
\right\vert _{x=a}\quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、もとの関数\(f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right)
,f_{2}^{\prime }\left( a\right) \right) \\
&=&\left( 2a-1,1\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるか判定します。成分関数\(f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x}\)は有理関数であるため微分可能であり、点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x}\right) \right\vert _{x=a}\quad \because f_{1}\text{の定義}
\\
&=&\left. -\frac{1}{x^{2}}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{有理関数の微分} \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。成分関数\(f_{2}\left( x\right) =\sin \left( x\right) \)は正弦関数であるため微分可能であり、点\(a\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\right\vert _{x=a}\quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\left. \cos \left( x\right) \right\vert _{x=a}\quad \because \text{正弦関数の微分} \\
&=&\cos \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、ベクトル値関数\(f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( a\right)
,f_{2}^{\prime }\left( a\right) \right) \\
&=&\left( -\frac{1}{a^{2}},\cos \left( a\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。

先の命題は、ベクトル値関数が微分可能ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において微分可能ではない場合、もとのベクトル値関数もまた点\(a\)において微分可能ではありません。

例(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \left\vert x\right\vert ,\cos \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\(f_{1}\left( x\right)=\left\vert x\right\vert \)は絶対値関数であるため点\(0\)において微分可能ではないため、先の命題より、ベクトル値関数\(f\)もまた点\(0\)において微分可能ではありません。

 

微分可能な点の候補に関する留意点

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(a\in X\)における微分可能性を定義する際に、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることを前提として話を進めましたが、その理由を以下で解説します。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の点\(a\in X\)における微分係数は以下の極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}として定義されます。上の極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ずある1つのユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そもそも以上のような検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合でも\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)の値が常に存在する必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されているため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されています。したがって、このような場合には\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な値へ収束するか検証可能です。

では、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(X\)の点ではあるものの、\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合にはどのような問題が起こるでしょうか。例えば、有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の端点である点\(s\)における平均変化率\begin{equation*}\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}
\end{equation*}をとると、\(f\left( s+h\right) \)は\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されておらず、したがって上の平均変化率もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)において定義されていません。この場合、\(h\)が\(0\)より小さい値をとりながら\(h\)へ限りなく近づく場合の\(f\left( x\right) \)の挙動を調べることができず、したがって、\(h\rightarrow 0\)の場合に平均変化率が収束するか検証できません。言い換えると、関数\(f\)が点\(s\)において微分可能であるか検証できないということです。関数\(f\)が定義域のもう一方の端点である\(t\)において微分可能であるか検討できない理由も同様です。ちなみに、有界な閉区間の端点における微分可能性を考える際には、ベクトル値関数の片側極限にもとづいて定義される微分概念を利用します。詳細は場を改めて解説します。

 

ベクトル値関数の微分係数の一意性

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)は、平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)を変数\(h\)に関するベクトル値関数とみなした上での\(h\rightarrow 0\)の場合の極限として定義されます。一般に、ベクトル値関数が点において収束する場合にはそこでの極限が1つのユークリッド空間上の点として定まるため、ベクトル値関数の極限として定義される微分係数もまた1つの点として定まります。

命題(ベクトル値関数の微分係数の一意性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるとき、微分係数\(f^{\prime}\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は1つの点として定まる。

 

ベクトル値関数の導関数

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように微分係数は常に1つのユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの微分係数\(f^{\prime }\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の導関数(derivative)と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }(x),\quad \frac{df(x)}{dx},\quad \frac{d}{dx}f(x)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、ベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が微分可能ではない点が存在する場合、導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と導関数\(f^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で微分可能(differentiable on \(X\))であるとか微分可能である(differentiable)などと言います。

例(ベクトル値関数の導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left( 2a-1,1\right)
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left( 2x-1,1\right)
\end{equation*}を定めます。

例(ベクトル値関数の導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left( -\frac{1}{a^{2}},\cos \left( a\right)
\right)
\end{equation*}となります。したがって、\(f\)の導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x^{2}},\cos \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めます。

例(ベクトル値関数の導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \left\vert x\right\vert ,\cos \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\(f_{1}\left( x\right)=\left\vert x\right\vert \)は絶対値関数であるため点\(0\)において微分可能ではない一方で、それ以外の\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において微分可能です。成分関数\(f_{2}\left(x\right) =\cos \left( x\right) \)は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能です。したがって、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではない一方で\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( x\right)
,f_{2}^{\prime }\left( x\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の微分の関係} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}\left\vert x\right\vert ,\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{x}{\left\vert x\right\vert },-\sin \left( x\right) \right)
\quad \because \text{絶対値関数および余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x+4,x^{2}-4x+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3\cos \left( x\right) ,4\sin \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( e^{x}\sin \left( x\right) ,e^{x}\cos \left(
x\right) ,-e^{2x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(ベクトル値関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x\ln \left( x\right) ,5e^{x},\cos \left( x\right)
-\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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