ベクトル値関数の内積の微分
定義域を共有する2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの実数\(x\in X\)に対して以下の実数\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +\cdots +f_{m}\left( x\right)
g_{m}\left( x\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}を値として定める実数値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{eqnarray*}
f_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
g_{i} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{eqnarray*}は\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の成分関数です。
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の微分係数の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( a\right)
&=&\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}\left(
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left(
a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( a\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( a\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
g_{m}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成立します。
したがって、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の内積の形をしている実数値関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、それぞれが微分可能であることを確認すればよいということになります。
命題（ベクトル値関数の内積の微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから実数値関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を満たす。
例（ベクトル値関数の内積の微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right)^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( x\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を定めます。
例（ベクトル値関数の内積の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{2}\)および\(5x\)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( x^{2},5x\right) \)は微分可能です。また、1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、微分可能なベクトル値関数どうしの内積として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
+5x\cos \left( x\right) \\
&=&7x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{2}\)および\(5x\)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( x^{2},5x\right) \)は微分可能です。また、1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、微分可能なベクトル値関数どうしの内積として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
+5x\cos \left( x\right) \\
&=&7x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
ベクトル値関数の内積の片側微分
片側微分についても同様の命題が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数の内積の片側微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において右側微分可能であるならば\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( a+0\right)
=\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) \cdot \boldsymbol{g}\left(
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left(
a+0\right)
\end{equation*}を満たす。 - 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに点\(a\)において左側微分可能であるならば\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) ^{\prime }\left( a-0\right)
=\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) \cdot \boldsymbol{g}\left(
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{g}^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}を満たす。
例（ベクトル値関数の内積の片側微分）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) _{+}^{\prime }\left(
x\right) =\boldsymbol{f}_{+}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}_{+}^{\prime }
\end{equation*}を定めます。また、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) _{-}^{\prime }\left(
x\right) =\boldsymbol{f}_{-}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}_{-}^{\prime }
\end{equation*}を定めます。
x\right) =\boldsymbol{f}_{+}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}_{+}^{\prime }
\end{equation*}を定めます。また、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) _{-}^{\prime }\left(
x\right) =\boldsymbol{f}_{-}^{\prime }\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}_{-}^{\prime }
\end{equation*}を定めます。
例（ベクトル値関数の内積の片側微分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)で微分可能であるため、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。同様の理由により、ベクトル値関数\(\left( x+1,x-1\right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right]\)上で微分可能です。したがって、\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能なベクトル値関数どうしの内積である\(f\)もまた\(\left[0,\pi \right] \)上で微分可能です。導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-\left( x+1\right) \sin \left( x\right) +\left( x-1\right) \cos \left(
x\right) +\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) \\
&=&-x\sin \left( x\right) +x\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d^{+}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0+1 \\
0-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0+1 \\
0-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-1+1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d^{-}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\pi +1 \\
\pi -1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi \right) \\
\sin \left( \pi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\pi +1 \\
\pi -1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-\left( \pi -1\right) -1 \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)で微分可能であるため、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。同様の理由により、ベクトル値関数\(\left( x+1,x-1\right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right]\)上で微分可能です。したがって、\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能なベクトル値関数どうしの内積である\(f\)もまた\(\left[0,\pi \right] \)上で微分可能です。導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-\left( x+1\right) \sin \left( x\right) +\left( x-1\right) \cos \left(
x\right) +\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) \\
&=&-x\sin \left( x\right) +x\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d^{+}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0+1 \\
0-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0+1 \\
0-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-1+1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d^{-}}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\pi +1 \\
\pi -1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi \right) \\
\sin \left( \pi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\pi +1 \\
\pi -1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-\left( \pi -1\right) -1 \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（ベクトル値関数の内積の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x^{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
2x \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x^{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
2x \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（ベクトル値関数の内積の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{x} \\
\frac{2}{x^{2}}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{3}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
-\frac{1}{x} \\
\frac{2}{x^{2}}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{3}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（ベクトル値関数の内積の微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
問題（位置ベクトルと接ベクトルが直交するための条件）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{r}:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は微分可能であるものとします。さらに、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall t\in T:\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t\right) \right\Vert =c
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)のノルムは常に一定であるということです。この場合、任意の\(t\in T\)において\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)が直交することを示してください。
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)のノルムは常に一定であるということです。この場合、任意の\(t\in T\)において\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)と\(\boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \)が直交することを示してください。
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