ベクトル値関数の内積の微分

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において微分可能であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
\cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(f\cdot g\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( f\cdot g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
\cdot g\left( x\right) +f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x\right) \cdot \left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{2}\)および\(5x\)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( x^{2},5x\right) \)は微分可能です。また、1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、微分可能なベクトル値関数どうしの内積として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{2},5x\right) \cdot
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) +\left(
x^{2},5x\right) \cdot \frac{d}{dx}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) \\
&=&\left( 2x,5\right) \cdot \left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) +\left( x^{2},5x\right) \cdot \left( -\sin \left( x\right)
,\cos \left( x\right) \right) \\
&=&2x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
+5x\cos \left( x\right) \\
&=&7x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において右側微分可能であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left(
a+0\right) \cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において左側微分可能であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left(
a-0\right) \cdot g\left( a\right) +f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(f\cdot g\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left( f\cdot g\right) _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =f_{+}^{\prime }\left(
x\right) \cdot g\left( x\right) +f\left( x\right) \cdot g_{+}^{\prime
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。また、\(f,g\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(f\cdot g\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( f\cdot g\right) _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =f_{-}^{\prime }\left(
x\right) \cdot g\left( x\right) +f\left( x\right) \cdot g_{-}^{\prime
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\cdot \left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(\pi \)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)の任意の点において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。同様の理由により、ベクトル値関数\(\left(x+1,x-1\right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。したがって、\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能なベクトル値関数どうしの内積である\(f\)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) \cdot \left( x+1,x-1\right) +\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
x+1,x-1\right) \\
&=&\left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) \cdot \left(
x+1,x-1\right) +\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\cdot \left( 1,1\right) \\
&=&-\left( x+1\right) \sin \left( x\right) +\left( x-1\right) \cos \left(
x\right) +\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) \\
&=&-x\sin \left( x\right) +x\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left[ \left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right) \right] _{+}^{\prime }\cdot \left(
x+1,x-1\right) +\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\cdot \left[ \left( x+1,x-1\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}
\\
&=&\left. -x\sin \left( x\right) +x\cos \left( x\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \left[ \left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] _{-}^{\prime }\cdot \left(
x+1,x-1\right) +\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\cdot \left[ \left( x+1,x-1\right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi
} \\
&=&\left. -x\sin \left( x\right) +x\cos \left( x\right) \right\vert _{x=\pi }
\\
&=&-\pi \sin \left( \pi \right) +\pi \cos \left( \pi \right) \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x^{3}\right) \cdot \left( 2x,3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{2}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 6x+8,4x^{2}+2x-3,5x\right) \cdot \left(
x^{2}-3,2x+4,x^{3}-3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。