ベクトル値関数の内積の微分
定義域を共有する2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられれば、それぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +\cdots +f_{m}\left( x\right)
g_{m}\left( x\right) \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}を値として定める実数値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限なベクトル\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\frac{df_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
\frac{d\boldsymbol{g}\left( a\right) }{dx} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{dg_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\frac{dg_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がそれぞれ存在します。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( a\right) }{dx}
&=&\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx}\cdot \boldsymbol{g}\left(
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \frac{d\boldsymbol{g}\left(
a\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\frac{df_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\frac{dg_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\frac{dg_{m}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx}g_{1}\left( a\right) +\cdots +\frac{df_{m}\left( a\right) }{dx}g_{m}\left( a\right) +f_{1}\left( a\right) \frac{dg_{1}\left( a\right) }{dx}+\cdots +f_{m}\left( a\right) \frac{dg_{m}\left(
a\right) }{dx}
\end{eqnarray*}として定まることが保証されます。
a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \frac{d\boldsymbol{g}\left(
a\right) }{dx}
\end{equation*}を満たす。
つまり、点\(a\)において微分可能なベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の内積の形をしている実数値関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)が与えられた場合、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の内積の形をしている実数値関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)の微分可能性を検討する際には、関数の微分可能性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、それぞれが微分可能であることを確認すればよいということになります。
x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \frac{d\boldsymbol{g}\left(
x\right) }{dx}
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{2}\)および\(5x\)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( x^{2},5x\right) \)は微分可能です。また、1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、微分可能なベクトル値関数どうしの内積として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
5\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
+5x\cos \left( x\right) \\
&=&7x\cos \left( x\right) +5\sin \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
ベクトル値関数の内積の片側微分
片側微分についても同様の命題が成り立ちます。
\end{equation*}を満たす。また、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において左側微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\frac{d\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( a\right) }{dx^{-}}=\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dx^{-}}\cdot \boldsymbol{g}\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) \cdot \frac{d\boldsymbol{g}\left( a\right) }{dx^{-}}
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を定めます。また、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\frac{d\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left(x\right) }{dx^{-}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{d\left( \boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}\right) \left( x\right) }{dx^{-}}=\frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx^{-}}\cdot \boldsymbol{g}\left( x\right) +\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \frac{d\boldsymbol{g}\left( x\right) }{dx^{-}}
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)で微分可能であるため、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。同様の理由により、ベクトル値関数\(\left( x+1,x-1\right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right]\)上で微分可能です。したがって、\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能なベクトル値関数どうしの内積である\(f\)もまた\(\left[0,\pi \right] \)上で微分可能です。導関数\(\frac{df}{dx}\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-\left( x+1\right) \sin \left( x\right) +\left( x-1\right) \cos \left(
x\right) +\cos \left( x\right) +\sin \left( x\right) \\
&=&-x\sin \left( x\right) +x\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( 0\right) }{dx^{+}} &=&\left. \frac{d}{dx^{+}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx^{+}}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( 0\right) \\
\cos \left( 0\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0+1 \\
0-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0+1 \\
0-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-1+1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( \pi \right) }{dx^{-}} &=&\left. \frac{d}{dx^{-}}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \frac{d}{dx^{-}}\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( x\right) \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \pi \right) \\
\cos \left( \pi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\pi +1 \\
\pi -1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi \right) \\
\sin \left( \pi \right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
\pi +1 \\
\pi -1\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&-\left( \pi -1\right) -1 \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x^{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
2x \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
-\frac{1}{x} \\
\frac{2}{x^{2}}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{3}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
6x+8 \\
4x^{2}+2x-3 \\
5x\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-3 \\
2x+4 \\
x^{3}-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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