ベクトル値関数の微分可能性と連続性

微分可能なベクトル値関数は連続

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であることとは、そこでの微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\lim_{x\rightarrow a}\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。一方、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続であることは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\)において微分可能である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題（微分可能なベクトル値関数は連続）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続である。

証明

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例（微分可能なベクトル値関数は連続）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、\(X\)上の点はいずれも\(X\)の内点です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上の任意の点において微分可能であるならば、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)上の任意の点において連続です。以上より、開集合\(X\)上に定義された微分可能な関数は\(X\)上において連続であることが明らかになりました。例えば、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)が、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}X &=&\left( a,b\right) \\
X &=&\left( a,+\infty \right) \\
X &=&\left( -\infty ,b\right) \\
X &=&\left( -\infty ,+\infty \right) =\mathbb{R} \end{eqnarray*}などと表される場合、これらはいずれも\(X\)上の開集合であるため、同様の議論が成立します。

例（微分可能な関数は連続）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合です。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a} \\
\left. \frac{d}{dx}x^{2}\right\vert _{x=a}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. 1\right\vert _{x=a} \\
\left. 2x\right\vert _{x=a}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2a\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において微分可能です。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様であるため、\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能です。したがって、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上において連続であるはずです。実際、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}x \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}x^{2}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a \\
a^{2}\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( a\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続です。任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において同様であるため、\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

連続なベクトル値関数は微分可能であるとは限らない

ベクトル値関数は微分可能な点において連続であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、ベクトル値関数は連続な点において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（連続だが微分可能ではないベクトル値関数）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}は絶対値関数であるため点\(0\)において連続です。もう一方の成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x\right) =x
\end{equation*}は恒等関数であるため点\(0\)において連続です。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において連続です。その一方で、成分関数\(f_{1}\)は絶対値関数であるため点\(0\)において微分可能ではなく、したがってベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(0\)において微分可能ではありません。

ベクトル値関数が微分可能ではないことの証明

ベクトル値関数は微分可能な点において連続であることが明らかになりました。対偶より、ベクトル値関数は連続ではない点において微分可能ではありません。したがって、ベクトル値関数が何らかの点において微分可能ではないことを示すために、その点において連続ではないことを示す手法が有効です。

例（ベクトル値関数が微分可能ではないことの証明）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。\(x\rightarrow 0\)の場合の片側極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow
0-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束せず、したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において連続ではありません。ゆえに先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

片側微分可能なベクトル値関数は片側連続

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点\(x\)において定義されているということです。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能であることとは、点\(a\)における右側微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。一方、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続であることとは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\)において右側微分可能である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続であることが保証されます。

命題（右側微分可能なベクトル値関数は右側連続）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとする。ただし、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続である。

証明

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左側微分可能性と左側連続性の間にも同様の関係が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)以下の周辺の任意の点\(x\)において定義されているということです。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側微分可能であることとは、点\(a\)における左側微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{x-a}
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。一方、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側連続であることとは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\)において左側微分可能である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続であることが保証されます。

命題（左側微分可能なベクトル値関数は左側連続）

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとする。ただし、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側微分可能であるならば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続である。

証明

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片側連続なベクトル値関数は片側微分可能であるとは限らない

ベクトル値関数は右側微分可能な点において右側連続であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、ベクトル値は右側連続な点において右側微分可能であるとは限りません。同様に、ベクトル値は左側連続な点において左側微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例（片側連続だが片側微分可能ではないベクトル値関数）

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left(
0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{1-0}{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{1-0}{h}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
+\infty \\
+\infty
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。他方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1 \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続です。

ベクトル値関数が片側微分可能でないことの証明

ベクトル値関数は右側微分可能な点において右側連続であることが明らかになりました。対偶より、ベクトル値関数は右側連続ではない点において右側微分可能ではありません。したがって、ベクトル値関数が何らかの点において右側微分可能ではないことを示すために、その点において右側連続ではないことを示す手法が有効です。同様に、ベクトル値関数が何らかの点において左側微分可能ではないことを示すために、その点において左側連続ではないことを示す手法が有効です。

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