瞬間変化率としてのベクトル値関数の微分

ベクトル値関数の平均変化率と微分係数の解釈

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、変数\(x\)の値を点\(a\)から微小量\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値は\(\boldsymbol{f}\left(a\right) \)から\(\boldsymbol{f}\left( a+h\right) \)まで変化します。そこで、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における平均変化率と呼びました。

変数\(x\)の値が\(a\)から\(h\)だけ変化していくという全体のプロセスの中の異なる複数の瞬間に注目したとき、それらの瞬間における\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の変化量は同じであるとは限りません。\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値は同じペースで変化し続けているとは限らないからです。ただ、平均変化率について考える際には、それぞれの瞬間における\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の変化量の違いを無視し、プロセス全体において平均でどれくらいのペースで\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が変化したかに注目します。このような意味において、この指標は「平均変化率」と呼ばれます。

一方、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数は、\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されますが、これは\(x\)の値が\(a\)と一致する瞬間における\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値の変化を表します。このような意味において、微分係数は「瞬間変化率（instantaneous rate of change）」とも呼ばれます。両者の違いをより深く理解するため例を挙げます。

平面上を移動する物体の平均速度と瞬間速度

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上を移動する点を観察し、経過時間（秒）と点の位置（平面上の点の座標）の関係をベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として整理します。つまり、計測を始めた時点から\(t\in \mathbb{R} _{+}\)秒後の時点における点の位置ベクトル（position vector）が、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{r}\left( a+h\right) -\boldsymbol{r}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{r_{1}\left( a+h\right) -r_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{r_{2}\left( a+h\right) -r_{2}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。計測を始めた時点から\(t\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、さらにその\(h\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t+h\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t+h\right) \\
r_{2}\left( t+h\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。これらの位置の差\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t+h\right) -r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t+h\right) -r_{2}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を変位（displacement）と呼びますが、これは始点が\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり終点が\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)であるような平面線上のベクトルです。

ベクトルは向きと大きさという2つの情報を持ちますが、変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の向きは時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて点がどの向きに動いたかを表す一方、変位の大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right)\right\Vert \)は時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて点がどれくらい動いたかを表します。ただ、変位は2つの時点\(t\)と\(t+h\)の前後において点がどちらの方向にどれだけ移動したかを表す指標であり、その2つの時点の間にある\(h\)秒間に点が実際にどのように動いたかについては何も教えてくれません。例えば、\(h\)秒間に点が座標\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)から座標\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)まで真っ直ぐ等しい速さで動いた場合、真っ直ぐ速さを変えながら動いた場合、向きと速さを変えながら動いた場合などでは実際の点の動きは異なりますが、変位としては等しくなります。変位は前後の変化だけに注目した指標だからです。いずれにせよ、平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{r_{1}\left( t+h\right) -r_{1}\left( t\right) }{h} \\
\frac{r_{2}\left( t+h\right) -r_{2}\left( t\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}は変位を経過時間で割ったものであり、これを平均速度（average velocity）や速度（velocity）などと呼びます。変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left(t\right) \)は平面上のベクトルであり、経過時間\(h\)は正の実数であるため、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}\)は変位と同じ方向を持つ平面上のベクトルですが、その大きさは\(\frac{1}{h}\)になっています。つまり、平均速度は単位時間（1秒）あたりの変位であり、この\(h\)秒の間に点が平均的にどちらの方向にどれくらいのペースで動いたかを表す指標です。ただ、繰り返しになりますが、そもそも変異\(\boldsymbol{r}\left(t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)は2つの時点の間にある\(h\)秒間に点が実際にどのように動いたかについては何も教えてくれないため、平均速度\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}\)も同様です。点の実際の動きを正確に描写するためには、より短い経過時間\(h\)の中での点の動きを観察した上で、その平均速度\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left(t\right) }{h}\)を見る必要があります。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{r_{1}\left( t+h\right) -r_{1}\left(
t\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{r_{2}\left( t+h\right) -r_{2}\left(
t\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{dr_{1}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{2}\left( t\right) }{dt}\end{array}\right)
\end{equation*}をとれば、それは計測を始めた時点から\(t\)秒後の時点における瞬間的な平均速度が得られますが、これを時点\(t\)における瞬間速度（instaneous velocity）や速度ベクトル（velocity vector）などと呼びます。瞬間速度もまた平面上のベクトルですが、これは、時点\(t\)における点の動きを正確に記述しています。

時点\(t\)における瞬間速度\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{dr_{1}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{2}\left( t\right) }{dt}\end{array}\right)
\end{equation*}はベクトルであるため、向きと大きさを持っています。つまり、ベクトルの方向は時点\(t\)において点が動いている方向を表し、ベクトルの大きさは時点\(t\)において点が動いている速さを表します。そこで、瞬間速度のノルム\begin{equation*}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}\right\Vert =\left\Vert
\left(
\begin{array}{c}
\frac{dr_{1}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{2}\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}を時点\(t\)における速さ（speed）と定義します。

空間上を移動する物体の平均速度と瞬間速度

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上を移動する点を観察し、経過時間（秒）と点の位置（空間上の点の座標）の関係をベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{r}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として整理します。つまり、計測を始めた時点から\(t\in \mathbb{R} _{+}\)秒後の時点における点の位置ベクトル（position vector）が、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right) \\
r_{3}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるということです。このとき、平均変化率\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{r}\left( a+h\right) -\boldsymbol{r}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{r_{1}\left( a+h\right) -r_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{r_{2}\left( a+h\right) -r_{2}\left( a\right) }{h} \\
\frac{r_{3}\left( a+h\right) -r_{3}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}はどのような意味を持つ指標でしょうか。計測を始めた時点から\(t\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t\right) \\
r_{3}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であり、さらにその\(h\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}\boldsymbol{r}\left( t+h\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t+h\right) \\
r_{2}\left( t+h\right) \\
r_{3}\left( t+h\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。これらの位置の差\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
r_{1}\left( t+h\right) -r_{1}\left( t\right) \\
r_{2}\left( t+h\right) -r_{2}\left( t\right) \\
r_{3}\left( t+h\right) -r_{3}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を変位（displacement）と呼びますが、これは始点が\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)であり終点が\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)であるような空間線上のベクトルです。

ベクトルは向きと大きさという2つの情報を持ちますが、変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)の向きは時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて点がどの向きに動いたかを表す一方、変位の大きさ\(\left\Vert \boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right)\right\Vert \)は時点\(t\)から時点\(t+h\)にかけて点がどれくらい動いたかを表します。ただ、変位は2つの時点\(t\)と\(t+h\)の前後において点がどちらの方向にどれだけ移動したかを表す指標であり、その2つの時点の間にある\(h\)秒間に点が実際にどのように動いたかについては何も教えてくれません。例えば、\(h\)秒間に点が座標\(\boldsymbol{r}\left( t\right) \)から座標\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) \)まで真っ直ぐ等しい速さで動いた場合、真っ直ぐ速さを変えながら動いた場合、向きと速さを変えながら動いた場合などでは実際の点の動きは異なりますが、変位としては等しくなります。変位は前後の変化だけに注目した指標だからです。いずれにせよ、平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{r}\left( a+h\right) -\boldsymbol{r}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{r_{1}\left( a+h\right) -r_{1}\left( a\right) }{h} \\
\frac{r_{2}\left( a+h\right) -r_{2}\left( a\right) }{h} \\
\frac{r_{3}\left( a+h\right) -r_{3}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}は変位を経過時間で割ったものであり、これを平均速度（average velocity）や速度（velocity）などと呼びます。変位\(\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left(t\right) \)は空間上のベクトルであり、経過時間\(h\)は正の実数であるため、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}\)は変位と同じ方向を持つ空間上のベクトルですが、その大きさは\(\frac{1}{h}\)になっています。つまり、平均速度は単位時間（1秒）あたりの変位であり、この\(h\)秒の間に点が平均的にどちらの方向にどれくらいのペースで動いたかを表す指標です。ただ、繰り返しになりますが、そもそも変異\(\boldsymbol{r}\left(t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) \)は2つの時点の間にある\(h\)秒間に点が実際にどのように動いたかについては何も教えてくれないため、平均速度\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}\)も同様です。点の実際の動きを正確に描写するためには、より短い経過時間\(h\)の中での点の動きを観察した上で、その平均速度\(\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left(t\right) }{h}\)を見る必要があります。最終的に\(h\)を\(0\)に限りなく近付ければ、すなわち、微分係数\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{r}\left( t+h\right) -\boldsymbol{r}\left( t\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{r_{1}\left( t+h\right) -r_{1}\left(
t\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{r_{2}\left( t+h\right) -r_{2}\left(
t\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{r_{3}\left( t+h\right) -r_{3}\left(
t\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{dr_{1}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{2}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{3}\left( t\right) }{dt}\end{array}\right)
\end{equation*}をとれば、それは計測を始めた時点から\(t\)秒後の時点における瞬間的な平均速度が得られますが、これを時点\(t\)における瞬間速度（instaneous velocity）や速度ベクトル（velocity vector）などと呼びます。瞬間速度もまた空間上のベクトルですが、これは、時点\(t\)における点の動きを正確に記述しています。

時点\(t\)における瞬間速度\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{dr_{1}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{2}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{3}\left( t\right) }{dt}\end{array}\right)
\end{equation*}はベクトルであるため、向きと大きさを持っています。つまり、ベクトルの方向は時点\(t\)において点が動いている方向を表し、ベクトルの大きさは時点\(t\)において点が動いている速さを表します。そこで、瞬間速度のノルム\begin{equation*}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{r}\left( t\right) }{dt}\right\Vert =\left\Vert
\left(
\begin{array}{c}
\frac{dr_{1}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{2}\left( t\right) }{dt} \\
\frac{dr_{3}\left( t\right) }{dt}\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}を時点\(t\)における速さ（speed）と定義します。

演習問題