片側極限にもとづく微分概念を導入する動機
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとる1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a \in X^{i}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能であることとは、\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まることを意味します。ベクトル値関数の極限の定義より、微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)が有限なベクトルとして定まることは、平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を変数\(h\)に関するベクトル値関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路を辿って\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left(a\right) }{h}\)が必ず1つの有限なベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(a\right) \)へ限りなく近づくことを意味します。ただ、そのような検証を行うためには、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(\frac{\boldsymbol{f}\left(a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があります。点\(a\)が定義域\(X\)の内点である場合、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(\boldsymbol{f}\left( a+h\right) \)が定義されているため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left(a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)もまた定義されています。したがって、点\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の内点である場合には、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{\boldsymbol{f}\left(a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)が有限なベクトルへ収束するか検証可能です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(a\in X\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における微分可能性をどのように定義すればよいのでしょうか。具体例として、\(s<t\)を満たす実数\(s,t\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。
定義域\(\left[ s,t\right] \)の左側の端点\(s\)に注目すると、\(\boldsymbol{f}\)は点\(s\)より小さい任意の点\(x\)において定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)について定義されていません。つまり、\(h\)は正の値のみをとり得るため、点\(s\)における微分係数として、\(h\)が正の値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を採用せざるを得ません。これを通常の微分係数と区別して右側微分係数と呼びます。
定義域の右側の端点\(t\)についても同様に考えます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(t\)より大きい任意の点\(x\)において定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)は\(h>0\)を満たす任意の\(h\)について定義されていません。つまり、\(h\)は負の値のみをとり得るため、点\(t\)における微分係数として、\(h\)が負の値をとりながら\(0\)へ限りなく近づく場合の左側極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}を採用せざるを得ません。これを通常の微分係数と区別して左側微分係数と呼びます。
以上の議論では、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域が有界閉区間である場合、定義域の端点における微分可能性をどのように定義すればよいかという問題意識を背景に、片側極限にもとづく微分概念を導入しました。ただ、このような微分概念の適用範囲は有界閉区間の端点に限定されません。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されていれば\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側微分可能であるか検討できますし、逆に、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されていれば\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側微分可能であるか検討できます。以上の議論を踏まえた上で、以降では右側微分や左側微分を定義します。
ベクトル値関数の片側微分係数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に加えて、\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとします。ただし、この点\(a\)は以下の条件\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点\(x\)において定義されているということです。\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)から微小量\(h>0\)だけ動かした場合の\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとります。この右側極限は有限なベクトルとして定まるとは限りませんが、仮に有限なベクトルとして定まる場合、その右側極限を\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における右側微分係数（right-hand differential coefficientat \(a\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) ,\quad \boldsymbol{f}_{+}^{\prime
}(a),\quad \frac{d\boldsymbol{f}\left( a+0\right) }{dx},\quad \left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x+0\right) }{dx}\right\vert _{x=a},\quad \left. \left[
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を満たすものとして右側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime}\left( a+0\right) \)は定義されるということです。右側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) \)が存在する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側微分可能（right-hand differentiable at \(a\)）であると言います。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left(
0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( h^{2}-h\right) -0}{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( h+1\right) -1}{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\left( h-1\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能であるとともに、点\(0\)における右側微分係数が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x+1\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left(
0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h+1\right\vert -\left\vert
1\right\vert }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{h}{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( h+1\right) -1}{h}\end{array}\right) \quad \because h>0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}1 \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0+}1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能であるとともに、点\(0\)における右側微分係数が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に加えて、\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとします。ただし、この点\(a\)は以下の条件\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)以下の周辺の任意の点\(x\)において定義されているということです。\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)から微小量\(h<0\)だけ動かした場合の\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の平均変化率\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) }{h} \\
\vdots \\
\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left( a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0-\)の場合の左側極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}をとります。この左側極限は有限なベクトルとして定まるとは限りませんが、仮に有限なベクトルとして定まる場合、その左側極限を\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における左側微分係数（left-hand differential coefficientat \(a\)）と呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) ,\quad \boldsymbol{f}_{-}^{\prime
}(a),\quad \frac{d\boldsymbol{f}\left( a-0\right) }{dx},\quad \left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x-0\right) }{dx}\right\vert _{x=a},\quad \left. \left[
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を満たすものとして左側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime}\left( a-0\right) \)は定義されるということです。左側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) \)が存在する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側微分可能（left-hand differentiable at \(a\)）であると言います。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left(
0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( h^{2}-h\right) -0}{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( h+1\right) -1}{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\left( h-1\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において左側微分可能であるとともに、点\(0\)における左側微分係数が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0-0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x+1\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\boldsymbol{f}\left( 0+h\right) -\boldsymbol{f}\left( 0\right) }{h} &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{2}\left( 0+h\right) -f_{2}\left(
0\right) }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h+1\right\vert -\left\vert
1\right\vert }{h}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{-h}{h} \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( h+1\right) -1}{h}\end{array}\right) \quad \because h<0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0-}1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは有限なベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において左側微分可能であるとともに、点\(0\)における左側微分係数が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0-0\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
右側微分係数と左側微分係数を総称して片側微分係数（one-sided differential coefficient）や半微分係数（semi-differential coefficient）などと呼びます。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、右側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime }(a+0)\)と左側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) \)がそれぞれ有限なベクトルとして定まるか検討できます。両者がともに有限なベクトルとして定まる場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において片側微分可能（one-sided differentiable）であるとか半微分可能（semi-differentiable）であるなどと言います。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において片側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) =\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
0-0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値関数の右側微分係数と左側微分係数は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x+1\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において片側微分可能であるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) \not=\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( 0-0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値関数の片側微分と成分関数の片側微分の関係
1変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の片側微分可能性と、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である1変数の実数値関数\(f_{1},\cdots ,f_{m}\)の片側微分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a+0\right) \\
\vdots \\
f_{m}^{\prime }\left( a+0\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が点\(a\)において左側微分可能であることと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側微分可能であることは必要十分条件であるとともに、それらの左側微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a-0\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a-0\right) \\
\vdots \\
f_{m}^{\prime }\left( a-0\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題により、ベクトル値関数の片側微分に関する議論を、実数値関数である成分関数の片側微分に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。つまり、ベクトル値関数の片側微分可能性を判定する際に実数値関数の片側微分に関する知識を動員できます。
\begin{array}{c}
1+x^{3} \\
xe^{-x} \\
\sin \left( 2x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =1+x^{3}
\end{equation*}の点\(a\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( a+0\right) &=&\left. \left( 1+x^{3}\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\left. 3x^{2}\right\vert _{x=a} \\
&=&3a^{2}
\end{eqnarray*}であり、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =xe^{-x}
\end{equation*}の点\(a\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{\prime }\left( a+0\right) &=&\left. \left( xe^{-x}\right)
_{+}^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\left. e^{-x}-xe^{-x}\right\vert _{x=a} \\
&=&e^{-a}-ae^{-a} \\
&=&e^{-a}\left( 1-a\right)
\end{eqnarray*}であり、成分関数\begin{equation*}
f_{3}\left( x\right) =\sin \left( 2x\right)
\end{equation*}の点\(a\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{3}^{\prime }\left( a+0\right) &=&\left. \left[ \sin \left( 2x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=a}\quad \because f_{3}\text{の定義} \\
&=&\left. 2\cos \left( 2x\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&2\cos \left( 2a\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a+0\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( a+0\right) \\
f_{3}^{\prime }\left( a+0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
3a^{2} \\
e^{-a}\left( 1-a\right) \\
2\cos \left( 2a\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。左側微分についても同様です。
先の命題はベクトル値関数が片側微分可能であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が片側微分可能ではないことを判定する上でも有用です。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において右側微分可能ではない場合、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(a\)において左側微分可能ではありません。なぜなら、そのような成分関数が存在することは、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が右側微分可能であることと矛盾するからです。左側微分についても同様です。
\begin{array}{c}
\sqrt{x} \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{1}\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}は点\(0\)以上の周辺の任意の点\(x\)において定義されていますが、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{h}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{\sqrt{h}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{1}\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。
ベクトル値関数は片側微分可能であるとは限らない
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)が定義されていない場合には平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において片側微分可能であるか検証できず、したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において片側微分可能ではありません。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において片側微分可能ではないということです。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において定義されていないため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、左側微分可能でもありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)より大きい値において定義されていない場合、点\(a\)における平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)は\(h>0\)を満たす\(h\)において定義されていないため、\(h\rightarrow 0+\)の場合の右側極限をとれません。したがってこの場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側微分可能ではありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されている一方で、点\(a\)より小さい値において定義されていない場合、点\(a\)における平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)は\(h<0\)を満たす\(h\)において定義されていないため、\(h\rightarrow 0-\)の場合の左側極限をとれません。したがってこの場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側微分可能ではありません。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(b\)より大きい任意の点\(x\)において定義されていないため、\(h>0\)を満たす任意の\(h\)において\(\frac{\boldsymbol{f}\left( a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)は定義されていないため、\(h\rightarrow b+\)の場合の右側極限をとれません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)は点\(b\)において右側微分可能ではありません。同様の理由により、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側微分可能ではありません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)以上の周辺の任意の値において定義されている場合においても、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側微分可能であるとは限りません。また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)以下の周辺の任意の値において定義されている場合においても、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\sqrt{x} \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点\(x\)において定義されていますが、先に示したように、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。
片側微分係数の一意性
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(a\)における右側微分係数\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a+0\right) \)は、平均変化率\(\frac{\boldsymbol{f}\left(a+h\right) -\boldsymbol{f}\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する変数とみなした上で\(h\rightarrow 0+\)とした場合の右側極限として定義されます。一般に、ベクトル値関数が右側収束する場合にはそこでの右側極限が1つのベクトルとして定まるため、ベクトル値関数の右側極限として定義される右側微分係数もまた1つのベクトルとして定まります。左側微分係数についても同様です。
ベクトル値関数の片側導関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における右側微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように右側微分係数は常に1つの実数として定まります。このような事情を踏まえると、\(f\)が右側微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの右側微分係数\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x+0\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の右側導関数（right-hand derivative）と呼び、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }(x),\quad \frac{df\left( x+0\right) }{dx},\quad \frac{d^{+}f\left( x\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}f\left( x+0\right) ,\quad
\frac{d^{+}}{dx}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。
関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が右側微分可能ではない点が存在する場合、右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が右側微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で右側微分可能（right-hand differentiable on \(X\)）であるとか右側微分可能である（right-hand differentiable）などと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側微分可能であり、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めます（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側微分可能であり、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます（演習問題）。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における左側微分係数に相当する有限な極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように左側微分係数は常に1つの実数として定まります。このような事情を踏まえると、\(f\)が左側微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの左側微分係数\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( -+0\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の左側導関数（left-hand derivative）と呼び、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }(x),\quad \frac{df\left( x-0\right) }{dx},\quad \frac{d^{-}f\left( x\right) }{dx},\quad \frac{d}{dx}f\left( x-0\right) ,\quad
\frac{d^{-}}{dx}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。
関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が左側微分可能ではない点が存在する場合、左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が左側微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で左側微分可能（left-hand differentiable on \(X\)）であるとか左側微分可能である（left-hand differentiable）などと言います。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で左側微分可能であり、右側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めます（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で左側微分可能であり、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます（演習問題）。
右側導関数と左側導関数を総称して片側導関数（one-sided derivative）と呼びます。
以下は導関数と右側導関数、そして左側導関数がいずれも一致する例です。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)と右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)と左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上に定義された関数であり、これらはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =f_{+}^{\prime }\left( x\right) =f_{-}^{\prime }\left(
x\right) =1
\end{equation*}を定めます。つまり、\(f\)の導関数と右側導関数と左側導関数は一致します（演習問題）。
関数の導関数、右側導関数、左側導関数は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数は\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。右側導関数は\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。左側導関数は\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。つまり、\(f\)の導関数と右側導関数と左側導関数はすべて異なります（演習問題）。
演習問題
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
-x \\
-x\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( 0+0\right) \not=\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( 0-0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\in \mathbb{R} \)において片側微分可能でしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の導関数、右側導関数、左側導関数をそれぞれ求めてください。
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