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DIFFERENTIATION OF CURVE

ベクトル値関数の片側微分(半微分・右側微分・左側微分)

目次

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片側極限にもとづく微分概念を導入する動機

復習になりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの微分係数に相当する\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。ベクトル値関数の極限の定義より、上の極限が存在することとは、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなしたとき、\(h\)がどのような経路で\(0\)へ限りなく近づく場合においても、それに応じて\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が必ず\(\mathbb{R} ^{m}\)上の1つの点\(f^{\prime }\left( a\right) \)へ限りなく近づくことを意味します。ただ、その検証を行うためには、\(h\)がどのような経路をたどって\(0\)へ限りなく近づく場合においても\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}\)が常に定義されている必要があります。言い換えると、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)について\(\frac{f\left( a+h\right)-f\left( a\right) }{h}\)が定義されている必要があるということです。関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(0\)に限りなく近い任意の\(h\)において\(f\left( a+h\right) \)が定義されているため、そのような任意の\(h\)において\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)もまた定義されています。したがって、このような場合には\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するか検証可能です。

では、点\(a\)がベクトル値関数\(f\)の定義域\(X\)の点ではあるものの、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点では定義されていない場合にはどうでしょうか。例えば、有界な閉区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、定義域\(\left[ s,t\right] \)の左側の端点\(s\)に注目すると、\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)について\(f\left( s+h\right) \)は定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}\)もまた\(h<0\)を満たす任意の実数\(h\)について定義されていないため、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( s+h\right) -f\left( s\right) }{h}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するか検証できません。言い換えると、\(f\)が点\(s\)において通常の意味で微分可能であるか検証できないということです。したがって\(f\)は点\(s\)において微分可能ではありません。一方、\(h>0\)を満たす十分小さい任意の\(h\)に関して平均変化率\(\frac{f\left( s+h\right)-f\left( s\right) }{h}\)は定義されているため、\(h\)が正の値をとりながら\(0\)に限りなく近づく場合の右側極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}
\end{equation*}が存在するか検証することはできます。そこで、このような右側極限が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点として定まる場合、これを\(f\)の点\(s\)における微分係数とみなします。より正確には、これを通常の微分係数と区別して右側微分係数と呼びます。

定義域\(\left[ s,t\right] \)の右側の端点\(t\)における微分可能性についても同様に考えます。つまり、\(h>0\)を満たす任意の\(h\)について\(f\left( t+h\right) \)は定義されておらず、したがって平均変化率\(\frac{f\left( t+h\right) -f\left( t\right) }{h}\)もまた\(h>0\)を満たす任意の実数\(h\)について定義されていないため、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left( t+h\right) -f\left( t\right) }{h}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するか検証できません。言い換えると、\(f\)が点\(t\)において通常の意味で微分可能であるか検証できないということです。したがって\(f\)は点\(t\)において微分可能ではありません。一方、\(h<0\)を満たす十分小さい任意の\(h\)に関して平均変化率\(\frac{f\left( t+h\right)-f\left( t\right) }{h}\)は定義されているため、\(h\)が負の値をとりながら\(0\)に限りなく近づく場合の左側極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( t+h\right) -f\left( t\right) }{h}
\end{equation*}が存在するか検証することはできます。そこで、このような左側極限が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点として定まる場合、これを\(f\)の点\(t\)における微分係数とみなします。より正確には、これを通常の微分係数と区別して左側微分係数と呼びます。

以上の議論では、ベクトル値関数の定義域が有界な閉区間である場合、その定義域の端点における微分可能性をどのように定義すればよいかという問題意識を背景に、片側極限にもとづく微分概念を導入しました。ただ、このような微分概念の適用範囲は有界な閉区間の端点に限定されません。ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されていれば\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であるか検討できますし、逆に、関数\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されていれば\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるか検討できます。以上の議論を踏まえた上で、以下で右側微分や左側微分を定義します。

 

ベクトル値関数の片側微分係数

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているものとします。変数\(x\)が点\(a\)から微小量\(h>0\)だけ変化したときの平均変化率\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0+\)のときの右側極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この右側極限は存在する(\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この右側極限を\(f\)の\(a\)における右側微分係数(right-hand differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) ,\quad f_{+}^{\prime }(a),\quad \frac{df\left(
a+0\right) }{dx},\quad \left. \frac{df\left( x+0\right) }{dx}\right\vert
_{x=a},\quad \left. \left[ f\left( x\right) \right] _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を満たすものとして右側微分係数\(f^{\prime }\left(a+0\right) \)は定義されるということです。右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能(right-hand differentiable at \(a\))であると言います。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選びます。加えて、\(f\)は点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているものとします。変数\(x\)が点\(a\)から微小量\(h<0\)だけ変化したときの平均変化率\begin{equation*}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとり、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0-\)のときの左側極限\begin{equation*}\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}をとります。この左側極限は存在する(\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束する)とは限りませんが、仮に存在する場合、この左側極限を\(f\)の\(a\)における左側微分係数(left-hand differential coefficient at \(a\))と呼び、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) ,\quad f_{-}^{\prime }(a),\quad \frac{df\left(
a-0\right) }{dx},\quad \left. \frac{df\left( x-0\right) }{dx}\right\vert
_{x=a},\quad \left. \left[ f\left( x\right) \right] _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}などで表します。つまり、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を満たすものとして左側微分係数\(f^{\prime }\left(a-0\right) \)は定義されるということです。左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能(left-hand differentiable at \(a\))であると言います。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合においても、\(f\)の点\(a\)における右側微分可能性を検討できます。つまり、実際には\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているものの、\(x\)が\(a\)に近づく場合の経路を\(h\rightarrow 0+\)に限定した場合の平均変化率\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)の極限が右側微分係数であるということです。左側微分についても同様です。

右側微分係数と左側微分係数を総称して片側微分係数(one-sided differential coefficient)や半微分係数(semi-differential coefficient)などと呼びます。ベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、右側微分係数\(f^{\prime }(a+0)\)と左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)がともに存在するか検討できます。両者が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において片側微分可能(one-sided differentiable)であるとか半微分可能(semi-differentiable)であるなどと言います。

 

ベクトル値関数の片側微分と成分関数の片側微分の関係

定義より、ベクトル値関数の片側微分と成分関数の片側微分の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(ベクトル値関数の片側微分と成分関数の片側微分の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\)において右側微分可能であることは、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であるための必要十分条件であるとともに、それらの右側微分係数の間には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left( a+0\right)
,\cdots ,f_{m}^{\prime }\left( a+0\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が点\(a\)において左側微分可能であることは、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるための必要十分条件であるとともに、それらの左側微分係数の間には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\left( f_{1}^{\prime }\left( a-0\right)
,\cdots ,f_{m}^{\prime }\left( a-0\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の命題により、ベクトル値関数の片側微分に関する議論を1変数関数である成分関数の片側微分に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(ベクトル値関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)より小さい任意の点において定義されていないため、点\(0\)における通常の意味での微分可能性を検討できません。一方、\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、点\(0\)における右側微分可能性を検討することはできます。具体的には、成分関数\(f_{1}\left( x\right) =\cos \left( x\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left[ \cos \left( x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. -\sin \left( x\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \text{余弦関数の右側微分} \\
&=&-\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、成分関数\(f_{2}\left(x\right) =\sin \left( x\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{2}^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left[ \sin \left( x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \cos \left( x\right) \right\vert _{x=0}\quad \because \text{正弦関数の右側微分} \\
&=&\cos \left( 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、もとの関数\(f\)もまた点\(0\)において右側微分可能であり、右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( 0+0\right)
,f_{2}^{\prime }\left( 0+0\right) \right) \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}となります。同様に考えると、\(f\)は点\(1\)において左側微分可能であることが示されます。具体的には、点\(1\)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( \pi
-0\right) ,f_{2}^{\prime }\left( \pi -0\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の左側微分} \\
&=&\left( \left. \left[ \cos \left( x\right) \right] _{-}^{\prime
}\right\vert _{x=\pi },\left. \left[ \sin \left( x\right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \left. -\sin \left( x\right) \right\vert _{x=\pi },\left. \cos
\left( x\right) \right\vert _{x=\pi }\right) \quad \because \text{正弦関数と余弦関数の左側微分} \\
&=&\left( -\sin \left( \pi \right) ,\cos \left( \pi \right) \right) \\
&=&\left( 0,-1\right)
\end{eqnarray*}となります。

ベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において片側微分可能であっても、右側微分係数と左側微分係数は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(ベクトル値関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( x,x\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left( -x,-x\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、点\(0\)において片側微分か検討可能です。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( 0+0\right)
,f_{2}^{\prime }\left( 0+0\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の右側微分} \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h},\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f_{2}\left( 0+h\right)
-f_{2}\left( 0\right) }{h}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{\left( 0+h\right) -0}{h}\right)
,\lim_{h\rightarrow 0+}\left( \frac{\left( 0+h\right) -0}{h}\right) \right)
\quad \because h>0 \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0+}1,\lim_{h\rightarrow 0+}1\right) \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}である一方で、点\(0\)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left( f_{1}^{\prime }\left( 0-0\right)
,f_{2}^{\prime }\left( 0-0\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の左側微分} \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left( 0+h\right) -f_{1}\left(
0\right) }{h},\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{2}\left( 0+h\right)
-f_{2}\left( 0\right) }{h}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0-}\left( \frac{-\left( 0+h\right) -\left(
-0\right) }{h}\right) ,\lim_{h\rightarrow 0-}\left( \frac{-\left( 0+h\right)
-\left( -0\right) }{h}\right) \right) \quad \because h<0 \\
&=&\left( \lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) ,\lim_{h\rightarrow
0-}\left( -1\right) \right) \\
&=&\left( -1,-1\right)
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(0\)において片側微分可能である一方で、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) \not=f^{\prime }\left( 0-0\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

 

ベクトル値関数が片側微分可能でないことの証明

先の命題は、ベクトル値関数が片側微分可能でないことを示す際にも有用です。つまり、ある点において少なくとも1つの成分関数が右側微分可能ではない場合、もとのベクトル値関数もまたその点において右側微分可能ではありません。また、ある点において少なくとも1つの成分関数が左側微分可能ではない場合、もとのベクトル値関数もまたその点において左側微分可能ではありません。

例(ベクトル値関数が片側微分可能でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\(f_{1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。点\(0\)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f_{1}\left(
0+h\right) -f_{1}\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( \frac{0-1}{h}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( \frac{-1}{h}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{1}\)は点\(0\)において左側微分可能ではありません。したがって先の命題より、もとのベクトル値関数\(f\)もまた点\(0\)において左側微分可能ではありません。

 

片側微分係数の一意性

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)は、1変数関数である\(f\)の成分関数\(f_{i}\)の右側微分係数\(f_{i}^{\prime }\left( a+0\right) \)を成分とする点と一致します。一般に、1変数関数の右側微分係数が存在する場合には1つの有限な実数として定まるため、それらを成分とするベクトル値関数の右側微分係数は1つの点として定まります。左側微分係数についても同様です。

命題(ベクトル値関数の片側微分係数の一意性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において右側微分可能であるとき、右側微分係数\(f^{\prime }\left(a+0\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の1つの点として定まる。また、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるとき、左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の1つの点として定まる。

 

ベクトル値関数の片側導関数

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における右側微分係数に相当する点\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように右側微分係数は常に1つの点として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が右側微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの右側微分係数\(f_{+}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left(x+0\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の右側導関数(right-hand derivative)と呼びます。

一般に、ベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が右側微分可能ではない点が存在する場合、右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が右側微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と右側導関数\(f_{+}^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で右側微分可能(right-hand differentiableon \(X\))であるとか右側微分可能である(right-hand differentiable)などと言います。

例(ベクトル値関数の右側導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \left\vert x\right\vert ,x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)と恒等関数\(x\)を成分関数として持つベクトル値関数であるため\(\mathbb{R} \)上で右側微分可能であり、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x+0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( \frac{x}{\left\vert x\right\vert },1\right) & \left( if\
x\not=0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(a\)における左側微分係数に相当する点\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在することを意味します。しかも、先に示したように左側微分係数は常に1つの点として定まります。以上を踏まえると、\(f\)が左側微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(x\in Y\)に対して、そこでの左側微分係数\(f_{-}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left(x-0\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の左側導関数(left-hand derivative)と呼びます。

一般に、ベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が左側微分可能ではない点が存在する場合、左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)は、もとの関数\(f\)が左側微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と左側導関数\(f_{-}^{\prime }\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で左側微分可能(left-hand differentiable on \(X\))であるとか左側微分可能である(left-hand differentiable)などと言います。

例(ベクトル値関数の左側導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \left\vert x\right\vert ,x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)と恒等関数\(x\)を成分関数として持つベクトル値関数であるため\(\mathbb{R} \)上で左側微分可能であり、右側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x-0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( \frac{x}{\left\vert x\right\vert },1\right) & \left( if\
x\not=0\right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

右側導関数と左側導関数を総称して片側導関数(one-sided derivative)と呼びます。

ベクトル値関数の導関数、右側導関数、左側導関数は一致するとは限りません。

例(導関数と片側導関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \left\vert x\right\vert ,x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)とは異なる任意の点において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\left( \frac{x}{\left\vert x\right\vert },1\right)
\end{equation*}を定めます。また、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において右側微分可能であり、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x+0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( \frac{x}{\left\vert x\right\vert },1\right) & \left( if\
x\not=0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。また、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において左側微分可能であり、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x-0\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( \frac{x}{\left\vert x\right\vert },1\right) & \left( if\
x\not=0\right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。これは導関数と右側導関数と左側導関数がすべて異なるベクトル値関数の例です。

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