ベクトル値関数のベクトル和の微分

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
+g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)からベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)がともに\(X\)上で微分可能である場合、先の命題より、関数\(f+g\)もまた\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( f+g\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( x\right)
+g^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x\right) +\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{2}\)および\(5x\)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( x^{2},5x\right) \)は微分可能です。また、1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)は微分可能であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin\left( x\right) \right) \)は微分可能です。したがって先の命題より、微分可能なベクトル値関数どうしのベクトル和として定義される\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{2},5x\right) +\frac{d}{dx}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x^{2},\frac{d}{dx}5x\right) +\left( \frac{d}{dx}\cos
\left( x\right) ,\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( 2x,5\right) +\left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right)
\right) \\
&=&\left( 2x-\sin \left( x\right) ,5+\cos \left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a+0\right)
+g^{\prime }\left( a+0\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right)
+g^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}を満たす。

ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)からベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(f,g\)がともに\(X\)上で右側微分可能である場合、先の命題より、関数\(f+g\)もまた\(X\)上で右側微分可能であり、右側導関数\(\left( f+g\right) _{+}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) _{+}^{\prime }\left( x\right) =f_{+}^{\prime }\left(
x\right) +g_{+}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。同様に、\(f,g\)がともに\(X\)上で左側微分可能である場合、先の命題より、関数\(f+g\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( f+g\right) _{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =f_{-}^{\prime }\left(
x\right) +g_{-}^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
+\left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) \)および正弦関数\(\sin \left(x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。つまり、端点\(0\)において右側微分可能であり、もう一方の端点\(\pi \)において左側微分可能であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)の任意の点において微分可能です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。同様の理由により、ベクトル値関数\(\left( x+1,x-1\right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で微分可能です。したがって、\(f\)は微分可能なベクトル値関数のベクトル和であるため\(\left[ 0,\pi \right]\)上で微分可能です。導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの内点\(x\in \left( 0,\pi \right) \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) +\frac{d}{dx}\left( x+1,x-1\right) \\
&=&\left( \frac{d}{dx}\cos \left( x\right) ,\frac{d}{dx}\sin \left( x\right)
\right) +\left( \frac{d}{dx}\left( x+1\right) ,\frac{d}{dx}\left( x-1\right)
\right) \\
&=&\left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) +\left(
1,1\right) \\
&=&\left( -\sin \left( x\right) +1,\cos \left( x\right) +1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\left. \left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}+\left. \left(
x+1,x-1\right) _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right)
\right\vert _{x=0}+\left. \left( 1,1\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&\left( -\sin \left( 0\right) ,\cos \left( 0\right) \right) +\left(
1,1\right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}であり、点\(\pi \)における左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&\left. \left( \cos \left( x\right) ,\sin
\left( x\right) \right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }+\left. \left(
x+1,x-1\right) _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left. \left( -\sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right)
\right\vert _{x=\pi }+\left. \left( 1,1\right) \right\vert _{x=\pi } \\
&=&\left( -\sin \left( \pi \right) ,\cos \left( \pi \right) \right) +\left(
1,1\right) \\
&=&\left( 1,0\right)
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) +\left( 1,\frac{3}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

定義域を共有する2つのベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(g\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能ならば、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において微分可能であり、微分係数は、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a\right)
-g^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となることを示してください。