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ベクトル値関数の微分

1変数の実数値関数とベクトル値関数の合成関数の微分

目次

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1変数の実数値関数とベクトル値関数の合成関数の微分

1変数の実数値関数ベクトル値関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\)の値域\(f\left( Y\right) \)が\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)を構成する2つの関数\(f,\boldsymbol{g}\)が以下の条件を満たすものとします。

1つ目の条件は、実数値関数\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるということです。つまり、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx}=\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。

実数値関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は実数\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)上の点です。その上で、2つ目の条件として、点\(f\left( a\right) \)は\(Y\)の内点であるとともに、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まるということです。

以上の諸条件が満たされる場合には、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx} &=&\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\frac{df\left( a\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\end{array}\right) \frac{df\left( a\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\dfrac{df\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\dfrac{df\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right)
}\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right)
}\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という有限なベクトルとして定まることが保証されます。

命題(1変数の実数値関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
1変数の実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)は定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるものとする。加えて、点\(f\left( a\right) \in Y^{i}\)は\(Y\)の内点であるとともに、\(\boldsymbol{g}\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとする。この場合、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{equation*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx}=\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\frac{df\left( a\right) }{dx}
\end{equation*}となる。

証明

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つまり、点\(a\)において微分可能な実数値関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において微分可能なベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(a\)における微分係数である実数\(\frac{df\left( a\right) }{dx}\)と、\(\boldsymbol{g}\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数であるベクトル\(\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\)のスカラー倍をとれば、\(\boldsymbol{g}\circ f\)の微分係数\(\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx}\)であるベクトルが得られることを上の命題は保証しています。

例(合成関数の微分)
1変数の実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。加えて、\(X\)と\(Y\)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(x\)は\(X\)の内点になり、さらに\(\boldsymbol{g}\left( x\right) \)は\(Y\)の内点になることが保証されます。したがって、\(f\)が\(X\)上で微分可能であり、\(\boldsymbol{g}\)が\(Y\)上で微分可能である場合、先の命題より、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) }{dx}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの実数\(x\in X\)に対して定めるベクトルは、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) }{dx} &=&\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) }{dx}\frac{df\left( x\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( x\right) \right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( x\right) \right) }{dx}\end{array}\right) \frac{df\left( x\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( x\right) \right) }{dx}\dfrac{df\left( x\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( x\right) \right) }{dx}\dfrac{df\left( x\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right)
}\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right)
}\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。これを連鎖公式(chain rule)と呼びます。

例(合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は実数値関数\(x^{2}+x+1\)とベクトル値関数\(\left(x^{2},x^{3}\right) \)の合成関数であることに注意してください。実数値関数\(x^{2}+x+1\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、ベクトル値関数\(\left(x^{2},x^{3}\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
y^{2} \\
y^{3}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\frac{d}{dx}\left( x^{2}+x+1\right) \quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left(
\begin{array}{c}
2y \\
3y^{2}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\left( 2x+1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right) \left( 2x+1\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
平面上に描かれた原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(r>0\)の円周上に存在する点が、時間\(t\)の経過とともに円周上を等速で移動する様子を記述します。角度が\(\theta \in \mathbb{R} \)であるような円周上の点の座標は、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( \theta \right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}です。角度の初期値が\(\theta _{0}\)であり、これは単位時間当たり\(v>0\)ずつ一定のペースで変化するのであれば、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における角度の大きさは、\begin{equation*}f\left( t\right) =\theta _{0}+vt
\end{equation*}となります。時点\(t\)における点の位置ベクトル、時点\(t\)における速度ベクトル、時点\(t\)における速さをそれぞれ求めてください。
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