1変数の実数値関数とベクトル値関数の合成関数の微分
1変数の実数値関数とベクトル値関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\)の値域\(f\left( Y\right) \)が\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)を構成する2つの関数\(f,\boldsymbol{g}\)が以下の条件を満たすものとします。
1つ目の条件は、実数値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるということです。つまり、点\(a\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であるとともに、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx}=\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
実数値関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は実数\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)上の点です。その上で、2つ目の条件として、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( a\right) \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)の内点であるとともに、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まるということです。
以上の諸条件が満たされる場合には、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx} &=&\frac{df\left( a\right) }{dx}\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right)
}{dx} \\
&=&\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\left. \frac{d\boldsymbol{g}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) } \\
&=&\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という有限なベクトルとして定まることが保証されます。
つまり、点\(a\)において微分可能な実数値関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において微分可能なベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(a\)における微分係数である実数\(\frac{df\left( a\right) }{dx}\)と、\(\boldsymbol{g}\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数であるベクトル\(\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\)のスカラー倍をとれば、\(\boldsymbol{g}\circ f\)の微分係数\(\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx}\)であるベクトルが得られることを上の命題は保証しています。
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能である。点\(a\in X\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{g}\text{は点}f\left( a\right)
\text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx} &=&\frac{df\left( a\right) }{dx}\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right)
}{dx} \\
&=&\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\left. \frac{d\boldsymbol{g}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(X,Y\)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(x\in X\)は\(X\)の内点であるとともに、点\(f\left( x\right) \in Y\)は\(Y\)の内点です。したがって、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{g}\text{は}Y\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) }{dx}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) }{dx} &=&\frac{df\left( x\right) }{dx}\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right)
}{dx} \\
&=&\frac{df\left( x\right) }{dx}\left. \frac{d\boldsymbol{g}\left( y\right)
}{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right) } \\
&=&\frac{df\left( x\right) }{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right) }
\\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right) }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。これを連鎖公式（chain rule）と呼びます。
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は実数値関数\(x^{2}+x+1\)とベクトル値関数\(\left( x^{2},x^{3}\right) \)の合成関数であることに注意してください。実数値関数\(x^{2}+x+1\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、ベクトル値関数\(\left(x^{2},x^{3}\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{df\left( x\right) }{dx} &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left( x^{2}+x+1\right) \left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
y^{2} \\
y^{3}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left( 2x+1\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
2y \\
3y^{2}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1} \\
&=&\left( 2x+1\right) \left(
\begin{array}{c}
2\left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
3個以上の関数の合成
2つの実数値関数と1つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{h} &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているとともに、これらの間に以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &\subset &Y \\
g\left( Y\right) &\subset &Z
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{h}\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{h}\circ g\circ f\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{h}\left( \left( g\circ f\right) \left( x\right) \right) \\
&=&\boldsymbol{h}\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
h_{1}\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \\
\vdots \\
h_{m}\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。以上を踏まえた上で、合成関数\(\boldsymbol{h}\circ g\circ f\)を構成する関数\(f,g,\boldsymbol{h}\)に関して以下の3つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、実数値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるということです。つまり、点\(a\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であるとともに、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx}=\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
実数値関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は実数\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)は実数値関数\(g\)の定義域\(Y\)の点です。その上で、2つ目の条件として、関数\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( a\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の内点であるとともに、関数\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{dg\left( f\left( a\right) \right) }{dx}=\left. \frac{dg\left( x\right)
}{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
実数値関数\(g\)が先の点\(f\left( a\right) \)に対して定める値は実数\(g\left( f\left( a\right) \right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(g\left( f\left(a\right) \right) \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{h}\)の定義域\(Z\)の点です。その上で、3つ目の条件として、関数\(\boldsymbol{h}\)は点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)は関数\(\boldsymbol{h}\)の定義域\(Z\)の内点であるとともに、関数\(\boldsymbol{h}\)の点\(g\left(f\left( a\right) \right) \)における微分係数\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol{h}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) }{dx}
&=&\left. \frac{d\boldsymbol{h}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left(
f\left( a\right) \right) } \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dh_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
a\right) \right) } \\
\vdots \\
\left. \dfrac{dh_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
a\right) \right) }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が有限なベクトルとして定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(\boldsymbol{h}\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{h}\circ g\circ f\right) \left( a\right) }{dx} &=&\frac{df\left( a\right) }{dx}\frac{dg\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\frac{d\boldsymbol{h}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) }{dx} \\
&=&\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\left. \dfrac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\left. \frac{d\boldsymbol{h}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left( a\right)
\right) } \\
&=&\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\left. \dfrac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dh_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
a\right) \right) } \\
\vdots \\
\left. \dfrac{dh_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
a\right) \right) }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定まることが保証されます。
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{h} &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)かつ\(g\left( Y\right) \subset Z\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{h}\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能である。点\(a\in X\)に対して、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ \boldsymbol{h}\text{は点}g\left( f\left(
a\right) \right) \text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{h}\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{h}\circ g\circ f\right) \left( a\right) }{dx} &=&\frac{df\left( a\right) }{dx}\frac{dg\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\frac{d\boldsymbol{h}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) }{dx} \\
&=&\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\left. \dfrac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\left. \frac{d\boldsymbol{h}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left( a\right)
\right) }
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{h} &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)かつ\(g\left( Y\right) \subset Z\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{h}\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(X,Y,Z\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(x\in X\)は\(X\)の内点であるとともに、点\(f\left( x\right) \in Y\)は\(Y\)の内点です。したがって、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ \boldsymbol{h}\text{は}Z\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、合成関数\(\boldsymbol{h}\circ g\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\frac{d\left( \boldsymbol{h}\circ g\circ f\right) }{dx}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{h}\circ g\circ f\right) \left( x\right) }{dx} &=&\frac{df\left( x\right) }{dx}\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert
_{y=f\left( x\right) }\left. \frac{d\boldsymbol{h}\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left( x\right) \right) } \\
&=&\frac{df\left( x\right) }{dx}\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right) }\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dh_{1}\left( z\right) }{dz}\right\vert _{x=g\left( f\left(
x\right) \right) } \\
\vdots \\
\left. \dfrac{dh_{m}\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left(
x\right) \right) }\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。これが3つの関数の合成関数に関する連鎖公式です。
演習問題
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)\end{array}\right)
\end{equation*}です。角度の初期値が\(\theta _{0}\)であり、これは単位時間当たり\(v>0\)ずつ一定のペースで変化するのであれば、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における角度の大きさは、\begin{equation*}f\left( t\right) =\theta _{0}+vt
\end{equation*}となります。時点\(t\)における点の位置ベクトル、時点\(t\)における速度ベクトル、時点\(t\)における速さをそれぞれ求めてください。
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