1変数の実数値関数とベクトル値関数の合成関数の微分

1変数の実数値関数とベクトル値関数の合成関数の微分

1変数の実数値関数とベクトル値関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\)の値域\(f\left( Y\right) \)が\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)を構成する2つの関数\(f,\boldsymbol{g}\)が以下の条件を満たすものとします。

1つ目の条件は、実数値関数\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能であるということです。つまり、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( a\right) }{dx}=\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。

実数値関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は実数\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)上の点です。その上で、2つ目の条件として、点\(f\left( a\right) \)は\(Y\)の内点であるとともに、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }\end{array}\right)
\end{equation*}が有限なベクトルとして定まるということです。

以上の諸条件が満たされる場合には、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx} &=&\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\frac{df\left( a\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\end{array}\right) \frac{df\left( a\right) }{dx} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\dfrac{dg_{1}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\dfrac{df\left( a\right) }{dx} \\
\vdots \\
\dfrac{dg_{m}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\dfrac{df\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \dfrac{dg_{1}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right)
}\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
\vdots \\
\left. \dfrac{dg_{m}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right)
}\left. \dfrac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という有限なベクトルとして定まることが保証されます。

つまり、点\(a\)において微分可能な実数値関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において微分可能なベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(a\)における微分係数である実数\(\frac{df\left( a\right) }{dx}\)と、\(\boldsymbol{g}\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数であるベクトル\(\frac{d\boldsymbol{g}\left( f\left( a\right) \right) }{dx}\)のスカラー倍をとれば、\(\boldsymbol{g}\circ f\)の微分係数\(\frac{d\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( a\right) }{dx}\)であるベクトルが得られることを上の命題は保証しています。

演習問題