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ベクトル値関数の微分

1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分

目次

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1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域がベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
=\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定める合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。

1つ目の条件は、1変数関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるということです。つまり、関数\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right) \right\vert
_{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。

1変数関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)はベクトル値関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、ベクトル値関数\(g\)は点\(f\left(a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、ベクトル値関数\(g\)は点\(f\left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの微分係数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) =\left. \frac{d}{dx}g\left(
x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。

以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left(
a\right) g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \\
&=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right) \right\vert _{x=a}\left. \frac{d}{dx}g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left(
a\right) \\
\vdots \\
g_{m}^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left(
a\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dx}g_{1}\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{d}{dx}f\left( x\right) \right\vert _{x=a} \\
\vdots \\
\left. \frac{d}{dx}g_{m}\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{d}{dx}f\left( x\right) \right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることが保証されます。

命題(1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるとともに、\(g\)が点\(f\left(a\right) \in Y\)において微分可能である場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&f^{\prime }\left(
a\right) g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \\
&=&\left. \frac{d}{dx}f\left( x\right) \right\vert _{x=a}\left. \frac{d}{dx}g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{eqnarray*}となる。

証明

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つまり、点\(a\)において微分可能な1変数関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において微分可能なベクトル値関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(a\)における微分係数である実数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と、\(g\)の点\(f\left(a\right) \)における微分係数であるベクトル\(g^{\prime }\left(f\left( a\right) \right) \)のスカラー倍をとれば、\(g\circ f\)の微分係数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) \)であるベクトルが得られることを上の命題は保証しています。

例(1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(X\)と\(Y\)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。開集合の定義より、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(x\)および周辺の任意の点において定義されており、\(g\)は点\(f\left(x\right) \)および周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。したがって、\(f\)が\(X\)上で微分可能であり、\(g\)が\(Y\)上で微分可能である場合、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&f^{\prime }\left(
x\right) g^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) \\
&=&\frac{d}{dx}f\left( x\right) \left. \frac{d}{dy}g\left( y\right)
\right\vert _{y=f\left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left(
x\right) \\
\vdots \\
g_{m}^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left(
x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \frac{d}{dy}g_{1}\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right)
}\cdot \frac{d}{dx}f\left( x\right) \\
\vdots \\
\left. \frac{d}{dy}g_{m}\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( x\right)
}\cdot \frac{d}{dx}f\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。これを連鎖公式(chain rule)と呼びます。

例(1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数\(x^{2}+x+1\)とベクトル値関数\(\left(x^{2},x^{3}\right) \)の合成関数であることに注意してください。1変数関数\(x^{2}+x+1\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、ベクトル値関数\(\left(x^{2},x^{3}\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\left( x^{2}+x+1\right) ^{2} \\
\left( x^{2}+x+1\right) ^{3}\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left( x^{2}+x+1\right) \left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
y^{2} \\
y^{3}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left( 2x+1\right) \left. \left(
\begin{array}{c}
2y \\
3y^{2}\end{array}\right) \right\vert _{y=x^{2}+x+1} \\
&=&\left( 2x+1\right) \left(
\begin{array}{c}
2\left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) \\
3\left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x+1\right) ^{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数\(\left\vert x\right\vert \)とベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の合成関数であることに注意してください。1変数関数\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)\right) \)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left\vert x\right\vert \left. \frac{d}{dy}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( y\right) \\
\sin \left( y\right)
\end{array}\right) \right\vert _{y=\left\vert x\right\vert }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{x}{\left\vert x\right\vert }\left. \left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( y\right) \\
\cos \left( y\right)
\end{array}\right) \right\vert _{y=\left\vert x\right\vert } \\
&=&\frac{x}{\left\vert x\right\vert }\left(
\begin{array}{c}
-\sin \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{x\sin \left( \left\vert x\right\vert \right) }{\left\vert
x\right\vert } \\
\frac{x\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) }{\left\vert x\right\vert
}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(1変数関数とベクトル値関数の合成関数の微分)
平面上に描かれた原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(r>0\)の円周上に存在する点が、時間\(t\)の経過とともに円周上を等速で移動する様子を記述します。角度が\(\theta \in \mathbb{R} \)であるような円周上の点の座標は、\begin{equation*}g\left( \theta \right) =\left( r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left(
\theta \right) \right)
\end{equation*}です。角度の初期値が\(\theta _{0}\)であり、これは単位時間当たり\(v>0\)ずつ一定のペースで変化するのであれば、時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)における角度の大きさは、\begin{equation*}f\left( t\right) =\theta _{0}+vt
\end{equation*}となります。時点\(t\)における点の位置ベクトル、時点\(t\)における速度ベクトル、時点\(t\)における速さをそれぞれ求めてください。
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