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ベクトル値関数の微分

線型近似としてのベクトル値関数の微分

目次

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線型近似としてのベクトル値関数の微分

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。つまり、点\(a\)における微分係数に相当するベクトル\begin{equation}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} ^{m} \quad \cdots (1)
\end{equation}が存在するということです。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hf^{\prime
}\left( a\right) }{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{hf^{\prime }\left(
a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}-\lim_{h\rightarrow 0}f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&f^{\prime }\left( a\right) -f^{\prime }\left( a\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hf^{\prime
}\left( a\right) }{h}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。また、後ほど示すように、ベクトル値関数\(f\)は微分可能な点\(a\)において連続であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hf^{\prime
}\left( a\right) \right] &=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) \right] -\lim_{h\rightarrow 0}hf^{\prime }\left( a\right)
\\
&=&\left[ f\left( a\right) -f\left( a\right) \right] -0\quad \because f\text{は点}a\text{において連続} \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}\left[ f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hf^{\prime
}\left( a\right) \right] =0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。さらに、\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow 0}h=0 \quad \cdots (4)
\end{equation}は明らかに成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left( 4\right) \)より、変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hf^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}は、やはり変数\(h\)に関する関数\begin{equation*}h
\end{equation*}よりも点\(0\)において高位の無限小であること、すなわち、\begin{equation}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hf^{\prime }\left( a\right) =o\left(
h\right) \quad \left( h\rightarrow 0\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。

結論を整理すると、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において微分可能である場合には、\(\left( 5\right) \)を満たすベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が存在します。逆に、\(\left( 5\right) \)を満たすベクトル\(f^{\prime }\left( a\right) \)が存在する場合には\(f\)が点\(a\)において微分可能であることも示されるため(演習問題)、ベクトル値関数の微分可能性を以下のように特徴づけることができます。

命題(線型近似としてのベクトル値関数の微分)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( a+h\right) -f\left( a\right) -hc=o\left( h\right) \quad \left(
h\rightarrow 0\right)
\end{equation*}を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題において\(x=a+h\)とおくことにより以下を得ます。

命題(線型近似としてのベクトル値関数の微分)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および定義域上の点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) -f\left( a\right) -\left( x-a\right) c=o\left( x-a\right)
\quad \left( x\rightarrow a\right)
\end{equation*}を満たすベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

以上の命題はどのような示唆を与えてくれるのでしょうか。ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合、上の命題より、変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}f\left( x\right) -\left[ f\left( a\right) +\left( x-a\right) c\right] \end{equation*}が、やはり変数\(x\)に関する関数\begin{equation*}x-a
\end{equation*}よりも点\(a\)において高位の無限小になるようなベクトル\(c\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在します。つまり、変数\(x\)を点\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) +\left( x-a\right) c\)の誤差は限りなく小さくなるだけでなく、その誤差の大きさは\(x\)と\(a\)の誤差と比べても無視できるほど小さくなるということです。したがって、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\left( x-a\right) c
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。加えて、\begin{equation*}
c=f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の近似式を、\begin{equation*}
f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\left( x-a\right) f^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、ベクトル値関数\(f\)を点\(a\)において微分することとは、点\(a\)の周辺において\(f\)を変数\(x\)に関する1次式\begin{equation*}f\left( a\right) +\left( x-a\right) f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}で近似することを意味します。この近似式を\(a\)における\(f\)の1次の近似多項式(1 st degree approximating polynomial of \(f\) at \(a\))と呼びます。

例(ベクトル値関数の1次の近似多項式)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の成分関数です。\(f\)が点\(a\in X\)において微分可能である場合、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\left( x-a\right) f^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
f_{2}\left( a\right)
\end{array}\right) +\left( x-a\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
f_{2}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) +\left( x-a\right) f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
f_{2}\left( a\right) +\left( x-a\right) f_{2}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。

ベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における1次の近似多項式のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( a\right) +\left( x-a\right) f^{\prime }\left( a\right)
\right\}
\end{equation*}である一方、\(f\)のグラフは、\begin{equation*}\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、点\(a\)に限りなく近い任意の\(x\)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx f\left( a\right) +\left( x-a\right) f^{\prime
}\left( a\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(a\)の周辺において\(f\)のグラフは点\(a\)における1次の近似多項式のグラフと近似的に等しくなります。

 

演習問題

問題(ベクトル値関数の1次の線型近似式)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が点\(a\in X\)において微分可能であるものとします。点\(a\)における\(f\)の1次の近似多項式を明らかにしてください。
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問題(ベクトル値関数の値の近似)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
e^{x}\cos \left( x\right) \\
e^{-2x}\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の値\begin{equation*}
f\left( 0.05\right)
\end{equation*}の近似値を求めてください。

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