線型近似としてのベクトル値関数の微分（曲線の接線）

線型近似としてのベクトル値関数の微分

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルを値としてとる1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in X\)において微分可能であることと、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が点\(a\)において微分可能であることは必要十分であるとともに、これらの微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{1}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\boldsymbol{f}(a+h)-\boldsymbol{f}(a)}{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left(
a\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( a+h\right) -f_{m}\left(
a\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

さて、1変数関数である成分関数\(f_{i}\)が点\(a\)において微分可能であることは、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{equation*}f_{i}\left( x\right) \approx f_{i}\left( a\right) +f_{i}^{\prime }\left(
a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{equation*}が成立することを意味します。すべての成分関数について同様であるため、この場合、以下の近似式\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \approx \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( a\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right) \\
\vdots \\
f_{n}^{\prime }\left( a\right) \cdot \left( x-a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) \approx \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left(
x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

結論を整理すると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において微分可能であることは、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \approx \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left(
x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}が成立することを意味します。つまり、変数\(x\)に関する1次のベクトル値関数\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&\boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right)
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \\
&=&x\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) -a\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{eqnarray*}を定義したとき、点\(a\)の周辺において、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は関数\(P_{1,a}\)と近似的に等しくなるということです。このベクトル値関数\(P_{1,a}\)を点\(a\)における\(\boldsymbol{f}\)の1次のテイラー近似多項式（1st degree Taylor approximating polynomial of \(\boldsymbol{f}\) at \(a\)）と呼びます。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)を点\(a\)において微分することとは、点\(a\)の周辺において、もとの複雑な関数\(\boldsymbol{f}\)を、よりシンプルな1次のベクトル値関数\(P_{1,a} \)で近似することを意味します。

ベクトル値関数の微分係数は曲線の接ベクトル

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)を、変数\(x\)に関する1次のベクトル値関数\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( a\right) &=&\boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right)
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \\
&=&x\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left( a\right) -a\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{eqnarray*}で近似できることが明らかになりました。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)を通過する空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の曲線です。

近似多項式\(P_{1,a}\)の値域、すなわち\(P_{1,a}\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( P_{1,a}\right) &=&\left\{ P_{1,a}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ x\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left(
a\right) -a\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ x\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) -af_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a\right) -af_{m}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)を通過し、方向ベクトルが\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(a\right) \)であるような空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の直線です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と近似多項式\(P_{1,a}\)から定義される直線\(C\left( P_{1,a}\right) \)はともに点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)を通過することが明らかになりました。したがって両者は点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)において交わります。さらに、点\(a\)に限りなく近い任意の点\(x\)において、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \approx P_{1,a}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つため、点\(\boldsymbol{f}\left(a\right) \)の周辺において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と直線\(C\left(P_{1,a}\right) \)は近似的に等しくなります。

このような事情を踏まえた上で、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において微分可能である場合には、近似多項式\(P_{1,a}\)から定義される直線\begin{eqnarray*}C\left( P_{1,a}\right) &=&\left\{ P_{1,a}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ x\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) +\boldsymbol{f}\left(
a\right) -a\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}のことを、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接線（tangent line）と呼びます。その上で、この接線の方向ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)を曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の接ベクトル（tangent vector）と呼びます。

近似多項式を用いた近似値の特定

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in X\)において微分可能である場合には、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において以下の近似式\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &\approx &P_{1,a}\left( a\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、点\(a\)の周辺にある点\(x\)に対してベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の近似値を特定するためには、近似多項式\(P_{1,a}\)がその値\(x\)に対して定める値\begin{equation*}P_{1,a}\left( a\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right)
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}をとればよいということになります。

演習問題