純変化量としてのベクトル値関数の定積分（純変化量定理）

ベクトル値関数に関する純変化量定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)がそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、以下のようなベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

ベクトル値関数\(f\)が\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることが判明している一方で、その定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}の具体的な値は明らかではない状況において、一定の条件が成り立つ場合には、微分と積分の関係を用いることにより、定積分を具体的に特定できることが明らかになりました（微分積分学の第2基本定理）。結果を復習します。

有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとします。つまり、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在するということです。導関数の定義より、\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの実数\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める微分係数は、以下のようなベクトル\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\vdots \\
\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であることに注意してください。いずれにせよ、与えられた条件のもとではベクトル値関数\(f\)は区間の端点\(a,b\)において微分可能であるとは限らないため、導関数\(\frac{df}{dx}\)は点\(a,b\)において定義されているとは限らず、したがって\(\frac{df}{dx}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できない可能性があります。ただ、区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能なベクトル値関数に関しては、区間\(\left[ a,b\right] \)上の有限個の点\(x\)に対してベクトル値関数が定める値を自由に入れ替えても、そのベクトル値関数は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることが保証されます。したがって、導関数\(\frac{df}{dx}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討する際には、区間の端点\(a,b\)に対して\(\frac{df}{dx}\)が定めるベクトル\(\frac{df\left( a\right) }{dx},\frac{df\left( b\right) }{dx}\)を任意に選んでも一般性は失われません。いずれにせよ、そのようにして得られたベクトル値関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、ベクトル値関数である\(f\)および\(\frac{df}{dx}\)は微分積分学の第2基本定理が要求する条件を満たすため、導関数\(\frac{df}{dx}\)の\(\left[ a,b\right] \)上の定積分について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx=f\left( b\right) -f\left(
a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx}dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}\frac{df_{m}\left( x\right) }{dx}dx\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( b\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( b\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、ベクトル値関数\(f\)の導関数\(\frac{df}{dx}\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での定積分をとれば、もとのベクトル値関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での変化が得られることを微分積分学の第2基本定理は保証します。これを純変化量定理（net change theorem）と呼びます。

導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}=\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{1}\left( x+h\right) -f_{1}\left(
x\right) }{h} \\
\vdots \\
\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f_{m}\left( x+h\right) -f_{m}\left(
x\right) }{h}\end{array}\right)
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後におけるベクトル\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( b\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( b\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が得られます。以上の事実の有用性を確認するためいくつか例を挙げます。

瞬間速度と変位（平面）

平面上を移動する点を観察し、経過時間（秒）と点の位置（平面上の点の座標）の関係をベクトル値関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)秒後の時点における点の平面上での位置を表す座標は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるということです。\(a<b\)を満たす2つの時点\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を選んだ上で、ベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目します。時点\(x\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだとき、そこでの微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に相当するベクトルは、時点\(x\)における瞬間速度に相当します。ベクトル値関数\(f\)および導関数\(\frac{df}{dx}\)が純変化量定理が要求する条件を満たすならば、\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( b\right) \\
f_{2}\left( b\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
f_{2}\left( a\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx}dx \\
\int_{a}^{b}\frac{df_{2}\left( x\right) }{dx}dx\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が得られます。つまり、瞬間速度\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分すれば、時点\(a\)から時点\(b\)までの\(b-a\)秒間における点の位置の差、すなわち変位が得られるということです。先のベクトル値関数\(f\)の導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}はそれぞれの時点における瞬間速度を特定しますが、時点\(x\in \left[a,b\right] \)を任意に選んだとき、そこでの2階微分係数\begin{equation*}\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{d^{2}f_{1}\left( x\right) }{dx^{2}} \\
\frac{d^{2}f_{2}\left( x\right) }{dx^{2}}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に相当するベクトルは、時点\(x\)における瞬間加速度に相当します。導関数\(\frac{df}{dx}\)および2階偏導関数\(\frac{d^{2}f}{dx}\)が純変化量定理が要求する条件を満たすならば、\begin{equation*}\frac{df\left( b\right) }{dx}-\frac{df\left( a\right) }{dx}=\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( b\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( b\right) }{dx}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f_{1}\left( x\right) }{dx^{2}}dx \\
\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f_{2}\left( x\right) }{dx^{2}}dx\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が得られます。つまり、瞬間加速度\(\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分すれば、時点\(b\)における瞬間速度と時点\(a\)における瞬間速度の差が得られるということです。

瞬間速度と変位（空間）

空間上を移動する点を観察し、経過時間（秒）と点の位置（平面上の点の座標）の関係をベクトル値関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)秒後の時点における点の空間上での位置を表す座標は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right) \\
f_{3}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるということです。\(a<b\)を満たす2つの時点\(a,b\in \mathbb{R} _{+}\)を選んだ上で、ベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目します。時点\(x\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだとき、そこでの微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( x\right) }{dx} \\
\frac{df_{3}\left( x\right) }{dx}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}は、時点\(x\)における瞬間速度に相当します。ベクトル値関数\(f\)および導関数\(\frac{df}{dx}\)が純変化量定理が要求する条件を満たすならば、\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( b\right) \\
f_{2}\left( b\right) \\
f_{3}\left( b\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( a\right) \\
f_{2}\left( a\right) \\
f_{3}\left( a\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}\frac{df_{1}\left( x\right) }{dx}dx \\
\int_{a}^{b}\frac{df_{2}\left( x\right) }{dx}dx \\
\int_{a}^{b}\frac{df_{3}\left( x\right) }{dx}dx\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が得られます。つまり、瞬間速度\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分すれば、時点\(a\)から時点\(b\)までの\(b-a\)秒間における点の位置の差、すなわち変位が得られるということです。先のベクトル値関数\(f\)の導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}はそれぞれの時点における瞬間速度を特定しますが、時点\(x\in \left[a,b\right] \)を任意に選んだとき、そこでの2階微分係数\begin{equation*}\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{d^{2}f_{1}\left( x\right) }{dx^{2}} \\
\frac{d^{2}f_{2}\left( x\right) }{dx^{2}} \\
\frac{d^{3}f_{3}\left( x\right) }{dx^{3}}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に相当するベクトルは、時点\(x\)における瞬間加速度に相当します。導関数\(\frac{df}{dx}\)および2階偏導関数\(\frac{d^{2}f}{dx}\)が純変化量定理が要求する条件を満たすならば、\begin{equation*}\frac{df\left( b\right) }{dx}-\frac{df\left( a\right) }{dx}=\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}dx
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( b\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( b\right) }{dx} \\
\frac{df_{3}\left( b\right) }{dx}\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\frac{df_{1}\left( a\right) }{dx} \\
\frac{df_{2}\left( a\right) }{dx} \\
\frac{df_{3}\left( a\right) }{dx}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f_{1}\left( x\right) }{dx^{2}}dx \\
\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f_{2}\left( x\right) }{dx^{2}}dx \\
\int_{a}^{b}\frac{d^{2}f_{3}\left( x\right) }{dx^{2}}dx\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が得られます。つまり、瞬間加速度\(\frac{d^{2}f\left( x\right) }{dx^{2}}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分すれば、時点\(b\)における瞬間速度と時点\(a\)における瞬間速度の差が得られるということです。