滑らかな曲線の長さ

滑らかな曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する曲線\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を媒介変数表示すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
x_{m}=f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}となります。

区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が以下の2つの条件を満たす状況を想定します。

1つ目の条件は、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるということです。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上において微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dt}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるということです。ただし、区間の左側の端点\(a\)における微分可能性として右側微分可能性を採用し、連続性として右側連続性を採用します。また、区間の右側の端点\(b\)における微分可能性として左側微分可能性を採用し、連続性として左側連続性を採用します。つまり、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall c\in \left( a,b\right) :\lim_{t\rightarrow c}\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}=\frac{d\boldsymbol{f}\left(
c\right) }{dt}\in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{t\rightarrow a+}\frac{d\boldsymbol{f}\left(
t+0\right) }{dt}=\frac{d\boldsymbol{f}\left( a\right) }{dt}\in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{t\rightarrow b-}\frac{d\boldsymbol{f}\left(
t-0\right) }{dt}=\frac{d\boldsymbol{f}\left( b\right) }{dt}\in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が満たされる状況を想定します。ただし、\(\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\)は導関数、\(\frac{d\boldsymbol{f}\left( t+0\right) }{dt}\)は右側導関数、\(\frac{d\boldsymbol{f}\left(t-0\right) }{dt}\)は左側導関数を表す記号です。

2つ目の条件は、区間の内部\(\left( a,b\right) \)においてベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の微分係数がゼロベクトルにはならないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つということです。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が以上の2つの条件を満たす場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである（smooth）であると言います。また、区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}を滑らかな曲線（smooth curve）と呼びます。

曲線は滑らかであるとは限りません。以下の例より明らかです。

滑らかな曲線の長さ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかであるものとします。したがって、曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた滑らかです。

変数\(x\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)を等分する分割\(P=\left\{ t_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選びます。分割の定義より、\begin{equation*}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b
\end{equation*}が成り立ちます。また、分割\(P\)によって生成される区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合であるすべての小区間が共有する長さを、\begin{equation*}\Delta t=t_{k}-t_{k-1}=\frac{b-a}{n}\quad \left( k=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}で表記します。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の要素である変数の値\(t_{k}\in P\)に対応する曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点の位置ベクトルを、\begin{equation*}P_{k}=\boldsymbol{f}\left( t_{k}\right) \quad \left( k=0,1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}で表記します。さらに、隣り合う2つの点\(P_{k-1},P_{k}\)を結ぶ線分の長さを、\begin{equation*}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left(
t_{k}\right) -f_{i}\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}で表記します。曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上に存在する有限個の点\(P_{0},P_{1},\cdots ,P_{n}\)について、隣り合う点どうしを結べば\(n\)本の線分が得られます。それらの線分の長さの総和を、\begin{eqnarray*}L\left( P\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( t_{k}\right)
-f_{i}\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}で表記します。

線分の長さの総和\(L\left(P\right) \)は区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の選び方に依存します。分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ t_{k}-t_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されますが、分割\(P\)の大きさを\(0\)へ近づける形で分割を変更していった場合、線分の本数は増えるとともに、個々の線分の長さは短くなっていくため、線分の長さの総和\(L\left( P\right) \)は曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の真の長さへと近づいていきます。

仮定より曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかであるため、それぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( t\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}
\end{equation*}を定める1変数の実数値関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるとともに、これは連続関数になります。連続関数はリーマン積分可能であるため\(g\)は\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であり、したがって定積分\begin{equation}\int_{a}^{b}g\left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まります。

その一方で、曲線\(C\)上の点を結ぶことにより得られる線分の長さの総和\(L\left( P\right) \)を変形すると、\begin{eqnarray*}L\left( P\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( t_{k}\right)
-f_{i}\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( t_{k}\right)
-f_{i}\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}}\cdot \frac{\Delta t}{\Delta t}\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( t_{k}\right)
-f_{i}\left( t_{k-1}\right) \right] ^{2}}\cdot \frac{\Delta t}{\sqrt{\left(
\Delta t\right) ^{2}}}\right) \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{f_{i}\left(
t_{k}\right) -f_{i}\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}}\cdot
\Delta t\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
L\left( P\right) =\sum_{k=0}^{n}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{f_{i}\left( t_{k}\right) -f_{i}\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}}\cdot \Delta t\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。関数\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級であるため、\begin{equation}\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{f_{i}\left( t_{k}\right) -f_{i}\left(
t_{k-1}\right) }{\Delta t}=\frac{df_{i}\left( t_{k-1}\right) }{dt}\quad
\left( i=1,\cdots ,n\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。さらに、\begin{equation}
\left\vert P\right\vert \rightarrow 0\Leftrightarrow \Delta t\rightarrow 0
\quad \cdots (4)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( P\right)
&=&\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{f_{i}\left( t_{k}\right) -f_{i}\left( t_{k-1}\right) }{\Delta t}\right] ^{2}}\cdot \Delta t\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t_{k-1}\right) }{dt}\right] ^{2}}\cdot \Delta
t\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left[ g\left( t_{k-1}\right)
\cdot \Delta t\right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}\sum_{k=0}^{n}\left[ g\left(
t_{k-1}\right) \cdot \left\vert t_{k}-t_{k-1}\right\vert \right] \quad
\because \left( 4\right) \\
&=&\int_{a}^{b}g\left( t\right) dt\quad \because g\text{はリーマン積分可能} \\
&=&\int_{a}^{b}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。先の考察より、分割\(P\)の大きさを\(0\)に近づけるにつれて\(L\left( P\right) \)の値は曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の真の長さへ近づいていくため、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ} &=&\int_{a}^{b}\sqrt{\left[ \frac{df_{1}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\cdots +\left[
\frac{df_{n}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt \\
&=&\int_{a}^{b}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}dt
\end{eqnarray*}と定めます。ただし、ベクトル値関数の導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\)が定める値はベクトルであり、そのノルムは、\begin{eqnarray*}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert
&=&\left\Vert \left( \frac{df_{1}\left( t\right) }{dt},\cdots ,\frac{df_{n}\left( t\right) }{dt}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left[ \frac{df_{1}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}+\cdots +\left[
\frac{df_{n}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ \frac{df_{i}\left( t\right) }{dt}\right] ^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、先の関係を、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ}=\int_{a}^{b}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert dt
\end{equation*}と表現できます。

結論を整理します。\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかである場合には、曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}の長さを、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ}=\int_{a}^{b}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert dt
\end{equation*}と定めます。

演習問題