ベクトル値関数の原始関数と不定積分

ベクトル値関数の原始関数の定義

区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられたとき、\(f\)と定義域を共有する微分可能なベクトル値関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が存在するとともに、その導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が先のベクトル値関数\(f\)と一致するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\(F\)を\(f\)の原始関数（primitive function）や逆導関数（antiderivative）などと呼びます。

ベクトル値関数の原始関数は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

ベクトル値関数の原始関数が存在する場合、それは1つだけであるとは限りません。以下の例より明らかです。

ベクトル値関数\(f\)の原始関数が存在する場合、それは一意的に定まるとは限らないことが明らかになりました。実際、ベクトル値関数\(f\)の原始関数\(F\)が存在する場合、定数ベクトル\(C\)を任意に選んだ上で、新たなベクトル値関数\(F+C\)を、\begin{equation*}\left( F+C\right) \left( x\right) =F\left( x\right) +C
\end{equation*}と定義すると、これもまた\(f\)の原始関数になることが保証されます。

ベクトル値関数\(f\)の原始関数\(F\)が与えられたとき、任意のベクトル\(C\)を用いて\(F+C\)と定義されるベクトル値関数もまた\(f\)の原始関数であることが明らかになりました。以上の事実と、ベクトル\(C\)のとり方は無数に存在することを踏まえると、\(f\)の原始関数は無数に存在することになります。

では、異なる原始関数の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。原始関数の間には以下の関係が成り立ちます。

区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が原始関数を持つ場合、最初に示した命題より、原始関数と任意のベクトルのベクトル和として定義されるベクトル値関数もまた原始関数であるため、定数部分がゼロベクトル\(0\)であるような原始関数が存在することが保証されます。それを\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)で表記します。また、続いて示した命題より、\(F\)とは異なる\(f\)の原始関数\(G:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、何らかのベクトル\(C\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in I\)において、\begin{equation*}G\left( x\right) =F\left( x\right) +C
\end{equation*}という関係が成立します。したがって、ベクトル値関数\(f\)の原始関数を任意に選んだとき、それは定数部分がゼロベクトル\(0\)であるような原始関数\(F\)と何らかのベクトル\(C\)を用いて\(F\left( x\right) +C\)という形で表すことができます。以上の議論より、ベクトル値関数\(f\)の原始関数をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}\left\{ F\left( x\right) +C\ |\ C\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}と表現しても一般性は失われないことが明らかになりました。ただし、\(F\)は定数部分がゼロベクトル\(0\)であるような\(f\)の原始関数です。

ベクトル値関数の不定積分の定義

区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域である区間\(I\)の部分集合であるような任意の有界閉区間上でリーマン積分可能であるものとします。点\(a\in I\)を任意に選んだ上で固定します。その上で点\(x\in I\)を任意に選ぶと、区間の定義より2つの点\(a,x\)を端点とする有界閉区間は\(I\)の部分集合であるため、\(f\)はその有界閉区間上でリーマン積分可能であり、したがって、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{x}f_{1}\left( t\right) dt \\
\vdots \\
\int_{a}^{x}f_{m}\left( t\right) dt\end{array}\right)
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることが保証されます。また、\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルどうしのベクトル和は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルであるため、ベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{x}f_{1}\left( t\right) dt+C_{1} \\
\vdots \\
\int_{a}^{x}f_{m}\left( t\right) dt+C_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、区間\(I\)の部分集合であるような任意の有界閉区間上でリーマン積分可能なベクトル値関数\(f\)に対しては、点\(a\in I\)およびベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。このようなベクトル値関数を\(f\)の不定積分（indefinite integral）と呼びます。

区間\(I\)上に定義されたベクトル値関数\(f\)の不定積分\(F\)がどのようなベクトル値関数であるかは、点\(a\in I\)やベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)の選び方に依存します。つまり、同じベクトル値関数\(f\)を対象としている場合でも、異なる点\(a\in I\)およびベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)を選べば、それに応じて\(f\)の異なる不定積分が得られるということです。いずれにせよ、先述の理由により、ベクトル値関数\(f\)が区間\(I\)の部分集合であるような任意の有界閉区間上でリーマン積分可能である限りにおいて、点\(a\in I\)やベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)として何を選んだ場合でも、それに対応する\(f\)の不定積分\(F\)が必ず存在することが保証されます。

ベクトル値関数の不定積分は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

ベクトル値関数の不定積分が存在する場合、それは点\(a\)やベクトル\(C\)のとり方によらず連続関数になることが保証されます。証明では微分積分学の第1基本定理を使います。

連続なベクトル値関数の不定積分は原始関数

区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が連続であるものとします。点\(a\in I\)およびベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選びます。さらに、点\(x\in I\)を任意に選ぶと、区間の定義より2つの点\(a,x\)を端点とする有界閉区間は\(I\)の部分集合であるため、\(f\)はその有界閉区間上で連続です。有界閉区間上で連続なベクトル値関数はその区間上でリーマン積分可能であるため、以上の条件のもとでは、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数、すなわち\(f\)の不定積分\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能ですが、これは\(f\)の原始関数の1つであることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。証明では微分積分学の第1基本定理を利用します。

連続なベクトル値関数の原始関数は不定積分

区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が連続である場合には、点\(a\in I\)およびベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt+C
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数、すなわち\(f\)の不定積分\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であるとともに、\(F\)は\(f\)の原始関数の1つであること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、区間上に定義された連続なベクトル値関数\(f\)に対しては、その原始関数が存在することが保証されます。では、\(f\)の原始関数の中に、\(f\)の不定積分ではないようなベクトル値関数は存在するのでしょうか。実は、\(f\)の任意の原始関数は、\(f\)の何らかの不定積分であることが保証されます。つまり、\(f\)の原始関数\(F\)を任意に選んだとき、それは何らかの点\(a\in I\)およびベクトル\(C\in \mathbb{R} ^{m}\)のもとでの\(f\)の不定積分と一致するということです。

連続関数の不定積分と原始関数は一致する

以上の2つの命題を総合すると以下を得ます。

一般に、ベクトル値関数\(f\)の不定積分を、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}と表記します。ちなみに、記号\(\int \)を積分記号（integral symbol）と呼び、ベクトル値関数\(f\left( x\right) \)を被積分関数（integrand）と呼び、変数\(x\)を積分変数（integration variable）と呼びます。ただ、上の命題より、区間上に定義されたベクトル値関数\(f\)が連続である場合には、その原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに、\(f\)のすべての原始関数からなる集合\begin{equation*}\left\{ F\left( x\right) +C\ |\ C\in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}と、\(f\)のすべての不定積分からなる集合は一致することが保証されます。このような事情を踏まえた上で、区間上に定義された連続なベクトル値関数\(f\)の不定積分については、それを、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=F\left( x\right) +C
\end{equation*}と表記することができます。ただし、\(F\)は定数部分がゼロベクトル\(0\)であるような原始関数であり、\(C\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の任意のベクトルを値としてとり得る定数です。この定数\(C\)を積分定数（constant of integration）と呼びます。つまり、区間上に定義された連続なベクトル値関数に関しては、不定積分を求めることと原始関数を求めることは実質的に等しいということです。なお、ベクトル値関数の不定積分を導出するプロセスを積分（integration）と呼びます。