区分的に滑らかな曲線の長さ

滑らかではない曲線の長さ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する曲線\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を媒介変数表示すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
x_{m}=f_{m}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ a,b\right] \right)
\end{equation*}となります。

区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において\(C^{1}\)級であるとともに、区間の内部\(\left( a,b\right) \)において導関数がゼロベクトルにならない場合、すなわち、導関数\(\frac{d\boldsymbol{f}}{dt}\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall t\in \left( a,b\right) :\frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかであると言います。滑らかなベクトル値関数によって定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を滑らかな曲線と呼びます。曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が滑らかである場合、その長さが、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ}=\int_{a}^{b}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert dt
\end{equation*}と定まることが明らかになりました。

曲線は滑らかであるとは限りません。以下の例より明らかです。

曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において滑らかではない場合においても、区間\(\left[ a,b\right] \)を複数の小区間へ分割し、それぞれの小区間において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が滑らかである場合には、小区間上に定義された個々の弧の長さを求めた上でそれらの総和をとれば、もとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の長さが得られます。以下で解説します。

区分的に滑らかな曲線

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。

変数\(x\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)に対して、以下の条件\begin{equation*}a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n-1},t_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ t_{0},t_{1},\cdots ,t_{n-1},t_{n}\right\} =\left\{ t_{k}\right\}
_{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができます。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ t_{1},t_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ t_{n-1},t_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。区間\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)がすべての小区間\(I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}\)上において滑らかになるような区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)が存在する場合、この関数\(\boldsymbol{f}\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において区分的に滑らか（piecewise smooth）であると言います。また、区分的に滑らかなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を区分的に滑らかな曲線（piecewise smooth curve）と呼びます。

区分的に滑らかな曲線の長さ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上において区分的に滑らかであるものとします。つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ t_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を適切に選ぶことにより、\(\boldsymbol{f}\)がすべての小区間\begin{eqnarray*}I_{1} &=&\left[ t_{0},t_{1}\right] \\
I_{2} &=&\left[ t_{1},t_{2}\right] \\
&&\vdots \\
I_{n} &=&\left[ t_{n-1},t_{n}\right] \end{eqnarray*}上において滑らかになる状況を想定するということです。この場合、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上に存在する有限\(n\)個の滑らかな弧\begin{eqnarray*}C_{1}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right\} \\
C_{2}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ t_{1},t_{2}\right] \right\} \\
&&\vdots \\
C_{n}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ t_{n-1},t_{n}\right] \right\}
\end{eqnarray*}が得られますが、個々の弧は滑らかであるため、それらの長さを、\begin{eqnarray*}
\text{弧}C_{1}\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ} &=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\right) }{dt}\right\Vert dt \\
\text{弧}C_{2}\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ} &=&\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\right) }{dt}\right\Vert dt \\
&&\vdots \\
\text{弧}C_{n}\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ} &=&\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\right) }{dt}\right\Vert dt
\end{eqnarray*}と特定できます。そこで、これらの弧の長さの総和をもとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の長さとして採用します。つまり、\begin{eqnarray*}\text{曲線}C\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ} &=&\text{弧}C_{1}\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ}+\text{弧}C_{2}\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ}+\cdots +\text{弧}C_{n}\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の長さ} \\
&=&\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert dt+\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left(
t\right) }{dt}\right\Vert dt+\cdots +\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( t\right) }{dt}\right\Vert dt
\end{eqnarray*}と定めるということです。

演習問題