ベクトル値関数のリーマン積分
これまでは有界な閉区間上に定義された有界なベクトル値関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、ベクトル値関数がリーマン積分可能であることと、1変数関数であるすべての成分関数がリーマン積分可能であることは必要十分であることを示しました。簡単に復習します。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が有界であるものとします。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)とは以下の条件\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる組であり、代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast}\right\} _{k=1}^{n}\)とは以下の条件\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\in \left[
x_{k-1},x_{k}\right]
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{1}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\in \mathbb{R} \)からなる組です。さらに、分割\(P\)の大きさは、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義されます。区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)が与えられたとき、ベクトル値関数\(f\)のリーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) f_{1}\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
\vdots \\
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) f_{m}\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right]
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
S\left( f_{1},P,P^{\ast }\right) \\
\vdots \\
S\left( f_{m},P,P^{\ast }\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と定義されます。ただし、\(S\left( f_{i},P,P^{\ast }\right) \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数である1変数関数\(f_{i}\)の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)に関するリーマン和です。
ベクトル値関数\(f\)が\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることとは、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)を\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、ベクトル値関数\(f\)のリーマン和があるベクトル\(\alpha \in \mathbb{R} ^{m}\)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\Vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\Vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ S\left( f_{i},P,P^{\ast }\right) -\alpha _{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、上の極限\(\alpha \)を\(f\)の\(\left[a,b\right] \)間の定積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。
ただし、以上の定義にもとづいてベクトル値関数の定積分を特定する作業は煩雑になりがちです。実際には、ベクトル値関数のリーマン積分可能性と成分関数のリーマン積分可能性の間には以下の関係が成り立つため、ベクトル値関数のリーマン積分可能性に関する議論を1変数関数である成分関数のリーマン積分可能性に関する議論に置き換えることができます。
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上の事実と、1変数関数に関する微分積分学の第2基本定理を利用することにより、ベクトル値関数に関しても微分積分学の第2基本定理が成立することが示されます。順番に解説します。
ベクトル値関数に関する微分積分学の第2基本定理
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)がそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、以下のようなベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。
先のベクトル値関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることは判明している一方で、その定積分は明らかではない状況を想定します。つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることは判明しているものの、その具体的な値は不明であるということです。このとき、\(f\)と定義域を共有する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}の中に、以下の2つの条件を満たすものが存在する状況を想定します。
1つ目の条件は、このベクトル値関数\(F\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、\(F\)は定義域の内部\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、定義域の左側の端点\(a\)において右側連続であり、定義域の右側の端点\(b\)において左側連続であるということです。
2つ目の条件は、このベクトル値関数\(F\)は区間\(\left[ a,b\right] \)の内部\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるとともに、その導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(\left( a,b\right) \)上においてベクトル値関数\(f\)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left( a,b\right) :\left(
\begin{array}{c}
F_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
\vdots \\
F_{1}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(F_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(F\)の成分関数です。このとき、\(\left( a,b\right) \)上においてベクトル値関数\(F\)はベクトル値関数\(f\)の原始関数(primitive function)もしくは逆導関数(antiderivative)であると言います。
以上の条件が満たされる場合、ベクトル値関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上の定積分が、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( b\right) \\
\vdots \\
F_{m}\left( b\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( a\right) \\
\vdots \\
F_{m}\left( a\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。これを微分積分学の第2基本定理(second fundamental theorem of calculus)や求積分定理(evaluatioin theorem)などと呼びます。証明では1変数関数に関する微分積分学の第2基本定理を利用します。
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件が満たされる場合には、以下の関係\begin{equation*}
\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
ベクトル値関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である場合、定義にもとづいて定積分を導出する作業は煩雑になりがちです。一方、先の命題によると、\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(\left( a,b\right) \)上で微分すると\(f\)と一致するようなベクトル値関数\(F\)が存在する場合には、\(f\)の定積分を以下の関係\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=F\left( b\right) -F\left( a\right)
\end{equation*}から導出することができます。
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。まずは、ベクトル値関数のリーマン積分と成分関数のリーマン積分の関係を利用して\(f\)を積分すると、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}f_{1}\left( x\right) dx \\
\int_{0}^{1}f_{2}\left( x\right) dx\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1}\left( x+1\right) dx \\
\int_{0}^{1}\left( x-1\right) dx\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left[ \frac{1}{2}x^{2}+x\right] _{0}^{1} \\
\left[ \frac{1}{2}x^{2}-x\right] _{0}^{1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( \frac{1}{2}+1\right) -\left( 0+0\right) \\
\left( \frac{1}{2}-1\right) -\left( 0-0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。同様の結論を先の命題から導きます。関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}x^{2}+x \\
\frac{1}{2}x^{2}-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(F\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で連続かつ\(\left( 0,1\right) \)上で微分可能であり、導関数\(F^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}F^{\prime }\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}+x\right) \\
\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}x^{2}-x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x+1 \\
2x-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めるため、\(F\)は\(\left(0,1\right) \)上において\(f\)の原始関数です。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&F\left( 1\right) -F\left( 0\right) \quad
\because \text{微分積分学の第2基本定理} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\cdot 1^{2}+1 \\
\frac{1}{2}\cdot 1^{2}-1\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\cdot 0^{2}+0 \\
\frac{1}{2}\cdot 0^{2}-0\end{array}\right) \quad \because F\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
微分積分学の第2基本定理が要求する条件の吟味
微分積分学の第2定理を適用するためには、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である必要があります。\(\left[ a,b\right] \)上で連続なベクトル値関数は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能ですが、その逆は成立するとは限りません。\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(f\)に対して微分積分学の第2定理を適用するためには、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であれば十分であり、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続である必要はありません。
微分積分学の第2定理を適用するためには、ベクトル値関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は2つの条件を満たす必要があります。1つ目の条件は、\(F\)が\(\left[a,b\right] \)上で連続であることです。2つ目の条件は、\(F\)が\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ベクトル値関数\(F\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続である必要があるため、区間の端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続である必要があります。その一方で、\(F\)は\(\left(a,b\right) \)上で微分可能であればよいため、区間の端点\(a\)において右側微分可能である必要はなく、もう一方の端点\(b\)において左側微分可能である必要もありません。つまり、\(F\)が点\(a\)において右側連続である一方で右側微分可能でない場合や、点\(b\)において左側連続である一方で左側微分可能でない場合にも、微分積分学の第2基本定理は適用可能です。
以下が具体例です。
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \frac{1}{x}\right) +2x\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
1\end{array}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界であり、\(\left( 0,1\right] \)上で連続ですが、点\(0\)において右側連続ではありません。\(f\)が連続ではない\(\left[ 0,1\right] \)上の点は有限個(点\(0\)だけ)であるため、\(f\)は\(\left[0,1\right] \)上でリーマン積分可能です。関数\(F\)は\(\left[0,1\right] \)上で連続であり、\(\left[ 0,1\right) \)上で微分可能ですが、点\(1\)において左側微分可能ではありません。ただし、\begin{equation*}\forall x\in \left( 0,1\right) :F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、これらの関数\(f,F\)は微分積分学の第2基本定理が要求する条件を満たします。したがって、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&F\left( 1\right) -F\left( 0\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( 1\right) \\
F_{2}\left( 1\right)
\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
F_{1}\left( 0\right) \\
F_{2}\left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1^{2}\sin \left( \frac{1}{1}\right) \\
1\end{array}\right) -\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( 1\right) \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります(演習問題)。
演習問題
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \frac{1}{x}\right) +2x\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
0\end{array}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left(
\begin{array}{c}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
1\end{array}\right) & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上で有界であることを示してください。
- \(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
- \(F\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
- \(F\)の導関数を求めてください。
- \(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上でリーマン積分可能であることを示すとともに、定積分\begin{equation*}\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx\end{equation*}の値を求めてください。
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