ベクトル値関数のリーマン積分と定積分

区間の分割とその大きさ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)を指定すれば、区間\(\left[ a,b\right] \)を有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}\left[ x_{0},x_{1}\right] ,\left[ x_{1},x_{2}\right] ,\cdots ,\left[
x_{k-1},x_{k}\right] ,\cdots ,\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{equation*}へと分割することができます。このような事情もあり、条件\(\left( 1\right) \)を満たす\(\left[ a,b\right] \)の分点からなる組を、\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}で表記し、これを\(\left[ a,b\right] \)の分割（partition）と呼びます。なお、分割を構成する分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)を分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を通じて有限\(n\)個の小区間へと分割した場合、それぞれの小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の長さは、\begin{equation*}x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}となりますが、有限\(n\)個の小区間の中でも最大の長さを持つ小区間の長さを分割\(P\)の大きさ（norm）と呼び、それを、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}で表記します。

ベクトル値関数のリーマン和

有界な閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)がそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、以下のようなベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。加えて、\(f\)は有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists U_{i}\in \mathbb{R} ,\ \exists L_{i}\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \left[ a,b\right] :L_{i}\leq f_{i}\left( x\right) \leq U_{i}
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U_{i}\)は\(f_{i}\)の値域の上界であり、\(L_{i}\)は\(f_{i}\)の値域の下界です。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を選ぶと有限\(n\)個の小区間\begin{equation*}\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \quad \left( k=1,2,\cdots ,n\right)
\end{equation*}が得られますが、それぞれの小区間から点\begin{equation*}
x_{k}^{\ast }\in \left[ x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}を1つずつ任意に選びます。この点\(x_{k}^{\ast }\)を小区間\(\left[ x_{k-1},x_{k}\right] \)の代表点（representative point）と呼びます。また、それぞれの小区間の代表点からなる組を、\begin{equation*}P^{\ast }=\left\{ x_{1}^{\ast },x_{2}^{\ast },\cdots ,x_{n}^{\ast }\right\}
=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}
\end{equation*}で表記します。定義より、分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)の間には、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{k}^{\ast }\in \left[
x_{k-1},x_{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。

有界なベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。その上で、ベクトル値関数\(f\)の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)に関するリーマン和（Riemann sum of \(f\) for \(P\) and \(P^{\ast }\)）を、\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定義します。仮定より\(f\)は有界であるため、リーマン和は常に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることに注意してください。定義より、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}-x_{k-1}\right) f\left( x_{k}^{\ast }\right) \right] \quad \because
\text{ベクトル値関数のリーマン和の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{k}^{\ast }\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{k}^{\ast }\right)
\end{array}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) f_{1}\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
\vdots \\
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) f_{m}\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
S\left( f_{1},P,P^{\ast }\right) \\
\vdots \\
S\left( f_{m},P,P^{\ast }\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{1変数関数のリーマン和の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\left(
\begin{array}{c}
S\left( f_{1},P,P^{\ast }\right) \\
\vdots \\
S\left( f_{m},P,P^{\ast }\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことに注意してください。ただし、\(S\left(f_{i},P,P^{\ast }\right) \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数である1変数関数\(f_{i}\)の分割\(P\)と代表点の組\(P^{\ast }\)に関するリーマン和です。

ベクトル値関数のリーマン積分と定積分

繰り返しになりますが、有界な閉区間上に定義された有界なベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)および代表点の組\(P^{\ast }=\left\{ x_{k}^{\ast }\right\} _{k=1}^{n}\)が与えられれば、関数\(f\)のリーマン和は、\begin{eqnarray*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right)
f\left( x_{k}^{\ast }\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) f_{1}\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \\
\vdots \\
\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}-x_{k-1}\right) f_{m}\left(
x_{k}^{\ast }\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
S\left( f_{1},P,P^{\ast }\right) \\
\vdots \\
S\left( f_{m},P,P^{\ast }\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まります。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば区間\(\left[ a,b\right] \)に含まれる最長の小区間の長さは小さくなるため、\(\left[ a,b\right] \)に含まれるすべての小区間の長さも小さくなり、その結果、区間\(\left[ a,b\right] \)はより多くの細かい小区間へ分割されることになります（\(n\)が増加する）。さらに、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、区間\(\left[ a,b\right] \)を構成するすべての小区間の長さもまた\(0\)へ限りなく近づきます。さて、分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の組\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)のリーマン和があるベクトル\(\alpha \in \mathbb{R} ^{m}\)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\Vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\Vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ S\left( f_{i},P,P^{\ast }\right) -\alpha _{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能（Riemannintegrable on \(\left[ a,b\right] \)）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\alpha
\end{equation*}で表記します。また、この極限を\(f\)の\(\left[ a,b\right]\)間の定積分（definite integralfrom \(a\) to \(b\)）と呼び、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\alpha
\end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル値関数\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)間の定積分\(\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\)とは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\Vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right\Vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定義されるということです。

定積分\(\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\)を構成する\(\int \)を積分記号（integral sign）と呼びます。定積分はリーマン和の極限であることから、和（sum）の頭文字である\(S\)を変形させた\(\int \)が積分を表す記号として採用されました。この記号の発案者はライプニッツ（Liebniz）です。また、定積分する対象となるベクトル値関数\(f\left( x\right) \)を被積分関数（integrand）と呼び、定積分を行う範囲を表す\(a,b\)を積分の極限（limits of integration）と呼びます。特に、\(a\)を上限（upper limit）と呼び、\(b\)を下限（lower limit）と呼びます。定積分を求めるプロセスを積分（integration）と呼びます。記号\(dx\)は被積分関数\(f\left(x\right) \)を変数\(x\)に関して積分することを明示する記号です。

ベクトル値関数のリーマン積分と成分関数のリーマン積分の関係

定義より、ベクトル値関数のリーマン積分可能性と成分関数のリーマン積分可能性の間には以下の関係が成り立ちます。

以上の命題より、ベクトル値関数のリーマン積分可能性に関する議論を1変数関数である成分関数のリーマン積分可能性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

ベクトル値関数はリーマン積分可能であるとは限らない

先の命題は、ベクトル値関数がリーマン積分可能ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数がリーマン積分可能ではない場合、もとのベクトル値関数もまたリーマン積分可能でありません。なぜなら、そのような成分関数が存在することは、もとのベクトル値関数がリーマン積分であることと矛盾するからです。

演習問題