ベクトル値関数に関する微分積分学の第1基本定理

ベクトル値関数に関する微分積分学の第1基本定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を議論の対象とします。つまり、\(f\)がそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、以下のようなベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるということです。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。

ベクトル値関数\(f\)が\(\left[a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとします。つまり、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{b}f_{1}\left( x\right) dx \\
\vdots \\
\int_{a}^{b}f_{m}\left( x\right) dx\end{array}\right)
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。

区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能なベクトル値関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である任意の有界閉区間上においてもリーマン積分可能であるため、点\(x\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだとき、ベクトル値関数\(f\)は区間\(\left[ a,x\right] \)上でリーマン積分可能であり、したがって定積分\begin{equation*}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=\left(
\begin{array}{c}
\int_{a}^{x}f_{1}\left( t\right) dt \\
\vdots \\
\int_{a}^{x}f_{m}\left( t\right) dt\end{array}\right)
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能なベクトル値関数\(f\)が与えられた場合、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。加えて、以上の条件のもとでは、このベクトル値関数\(F\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続になることが保証されます。つまり、\(F\)は区間の端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続であり、区間の内部\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続になるということです。

仮定よりベクトル値関数\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能ですが、リーマン積分可能な関数は必ずしも連続であるとは限らないことに注意してください。ただ、ベクトル値関数\(f\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において連続であることを認める場合には、先のベクトル値関数\(F\)は点\(x\)において連続であるだけでなく、微分可能であることも保証されるとともに、そこでの微分係数\(F^{\prime }\left( x\right) \)はベクトル値関数\(f\)が点\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left( x\right) \)と一致することが保証されます。つまり、以下が成り立つということです。

1. ベクトル値関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(a\)において右側連続である場合には、ベクトル値関数\(F\)は点\(a\)において右側微分可能であることが保証されるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( a+0\right) =f\left( a\right) \end{equation*}が成り立つ。
2. ベクトル値関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(b\)において左側連続である場合には、ベクトル値関数\(F\)は点\(b\)において左側微分可能であることが保証されるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( b-0\right) =f\left( b\right) \end{equation*}が成り立つ。
3. ベクトル値関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の内点\(x\in \left(a,b\right) \)において連続である場合には、ベクトル値関数\(F\)は点\(x\)において微分可能であることが保証されるとともに、\begin{equation*}F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right) \end{equation*}が成り立つ。

以上の主張を簡潔に表現すると、区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能なベクトル値関数\(f\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において連続である場合には、その点\(x\)においてベクトル値関数\(F\)は\(f\)の原始関数になる、ということです。これを微分積分学の第1基本定理（first fundamental theorem of calculus）と呼びます。証明では1変数関数に関する微分積分学の第1基本定理を利用します。

有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるものとします。連続なベクトル値関数はリーマン積分可能であるため、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\(F:\left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が存在することが保証されます。加えて、この場合には先の命題が要求する条件が満たされるため、任意の点\(x\in \left[ a,b\right] \)において、\begin{equation*}F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、微分積分学の第1定理は、連続なベクトル値関数\(f\)には原始関数\(F\)が存在することを保証します。加えて、ベクトル値関数\(F\)の定義より、上の関係を、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f_{1}\left( t\right) dt \\
\vdots \\
\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f_{m}\left( t\right) dt\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、連続なベクトル値関数\(f\)を区間\(\left[ a,x\right] \)上で積分して得られた結果を微分すると、もとのベクトル値関数\(f\)が点\(x\)に対して定めるベクトル\(f\left( x\right) \)が得られるということです。

微分積分学の第1基本定理が要求する条件の吟味

一般に、有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能なベクトル値関数は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとは限りません。\(\left[ a,b\right] \)上に定義されたベクトル値関数\(f\)に対して微分積分学の第1定理を適用するためには、\(f\)が連続である必要があります。ベクトル値関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能である一方で\(\left[ a,b\right] \)上の点において連続ではない場合、微分積分学の第1定理の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。