連続な多変数関数の多重リーマン積分可能性

連続関数の多重リーマン積分可能性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域上に定義された有界な関数が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、そのような関数が多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分可能ではないことを判定する方法について解説してきました。加えて、有界かつ閉な超直方体領域上に定義された単調関数は多重リーマン積分可能であることを明らかにしました。多重リーマン積分可能であることが保証されるような関数は他にも存在するのでしょうか。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が直方体\(R\)上で連続であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall a\in R,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in R:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数であり、2つの点\(x,a\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離は、\begin{eqnarray*}d\left( x,a\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left\Vert x-a\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。

直方体\(R\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるため、\(f\)はコンパクト集合上に定義された連続関数です。したがって最大値・最小値の定理が適用可能であるため、\(f\)は\(R\)上において最大値\(\max f\left( R\right) \)と最小値\(\min f\left(R\right) \)をとることが保証されます。最大値および最小値の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall x\in R:\min f\left( R\right) \leq f\left( x\right) \leq \max f\left(
R\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は\(R\)上で有界です。したがって、\(f\)が\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であるか検討できます。以上の条件を満たす関数\(f\)は\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることが保証されます。直方体上に定義された連続関数は多重リーマン積分可能であるということです。

多重リーマン積分可能な関数は連続であるとは限らない

有界かつ閉な直方体上に定義された連続関数は常に多重積分可能であることが明らかになりました。その逆は成り立つとは限りません。つまり、有界かつ閉な直方体上に定義された多重積分可能な関数は連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

演習問題