上リーマン積分と下リーマン積分を用いた多重リーマン積分可能性の判定

上積分と下積分および多重積分の関係

多変数関数が多重積分可能であることの意味を簡単に復習します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された有界な多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況において、直方体\(R\)の分割\(P=\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)と代表点の集合\(P^{\ast }=\left\{ x_{i}^{\ast }\right\} _{i=1}^{m}\)をそれぞれ指定すれば、関数\(f\)の分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)に関する\(n\)重リーマン和\begin{equation*}S\left( f,P,P^{\ast }\right) =\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left(
R_{i}\right) \cdot f\left( x_{i}^{\ast }\right) \right] \end{equation*}が得られます。関数\(f\)が直方体\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることとは、直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)の\(n\)重リーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P,P^{\ast }\right)
=\alpha
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、極限\(\alpha \)を関数\(f\)の\(R\)上での\(n\)重リーマン積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\alpha
\end{equation*}で表記します。

関数\(f\)の\(n\)重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)は直方体\(R\)の分割\(P\)に依存するだけでなく、分割\(P\)に対して選ぶ代表点からなる集合\(P^{\ast }\)にも依存します。関数\(f\)が\(n\)重リーマン積分可能であることを示す際には分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)をともに動かす状況を想定する必要があるため、多くの場合、その手続きは煩雑になります。よりシンプルな条件を用いて関数が\(n\)重リーマン積分可能であることを判定できれば、それはより望ましいと言えます。ここで役に立つのが上リーマン積分と下リーマン積分です。上リーマン積分と下リーマン積分について簡単に復習します。

引き続き、直方体上に定義された有界な多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。直方体\(R\)の分割\(P=\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)を指定すれば、関数\(f\)の分割\(P\)に関する上リーマン和と下リーマン和\begin{eqnarray*}U\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right)
\cdot \sup f\left( R_{i}\right) \right] \\
L\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right)
\cdot \inf f\left( R_{i}\right) \right] \end{eqnarray*}が得られます。関数\(f\)の上リーマン積分とは、\(f\)の上リーマン和がとり得る値からなる集合の下限\begin{equation*}\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\inf \left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}として定義される一方、関数\(f\)の下リーマン積分とは、\(f\)の下リーマン和がとり得る値からなる集合の上限\begin{equation*}\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\sup \left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}として定義されます。上リーマン積分と下リーマン積分は必ず有限な実数として定まることが保証されます。

上リーマン積分と下リーマン積分は極限を用いて求めることができます（ダルブーの定理）。具体的には以下の通りです。

関数\(f\)が直方体\(R\)上で上リーマン積分可能であることとは、直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、関数\(f\)の上リーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P\right) =\alpha
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。関数\(f\)は必ず上リーマン積分可能であるとともに、その極限\(\alpha \)は上リーマン積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}S\left( f,P\right) =\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。

下リーマン積分についても同様です。つまり、関数\(f\)が直方体\(R\)上で下リーマン積分可能であることとは、直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、関数\(f\)の下リーマン和がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) =\alpha
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert L\left(
f,P\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。関数\(f\)は必ず下リーマン積分可能であるとともに、その極限\(\alpha \)は下リーマン積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) =\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。

先に指摘したように、関数\(f\)の\(n\)重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)は直方体\(R\)の分割\(P\)と代表点の集合\(P^{\ast }\)の双方に依存するため、関数\(f\)が\(n\)重リーマン積分可能であることを判定する作業は煩雑になりがちです。一方、関数\(f\)の上リーマン和\(U\left(f,P\right) \)および下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)は直方体\(R\)の分割\(P\)のみに依存するため、関数\(f\)の上リーマン積分や下リーマン積分は比較的容易に導出できます。したがって、\(n\)重リーマン積分を特定する作業を上リーマン積分および下リーマン積分を特定する作業に帰着できるのであれば、それは望ましいと言えます。

関数\(f\)の上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ有限な実数として定まることが保証されますが、それらは一致するとは限りません。実は、関数\(f\)の上リーマン積分と下リーマン積分が一致することは、関数\(f\)が\(n\)重リーマン積分可能であるための必要十分条件であるとともに、その場合、\(n\)重リーマン積分は上リーマン積分および下リーマン積分と一致することが保証されます。

直方体上に定義された有界な関数の上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ有限な実数として定まりますが、上の命題より、上リーマン積分と下リーマン積分を求めた上で、それらの値が一致することを確認できれば、その値は多重リーマン積分と一致することが保証されます。

関数の上リーマン積分と下リーマン積分が一致することと、その関数が多重リーマン積分可能であることは必要十分条件であることを踏まえると、関数の上リーマン積分と下リーマン積分が一致しない場合、その関数は多重リーマン積分可能ではありません。

多重積分可能性に関するコーシーの判定条件

直方体上に定義された有界な多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。直方体\(R\)の分割\(P=\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)を指定すれば、関数\(f\)の分割\(P\)に関する上リーマン和と下リーマン和\begin{eqnarray*}U\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right)
\cdot \sup f\left( R_{i}\right) \right] \\
L\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right)
\cdot \inf f\left( R_{i}\right) \right] \end{eqnarray*}が得られるため、両者の差は、\begin{eqnarray*}
U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \sup f\left( R_{i}\right) \right] -\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \inf f\left( R_{i}\right) \right] \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \left[ \sup f\left(
R_{i}\right) -\inf f\left( R_{i}\right) \right] \end{eqnarray*}となります。上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)と下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)の値は分割\(P\)に依存して変化しますが、適当な分割\(P\)を選ぶことにより上リーマン和と下リーマン和の差\(U\left( f,P\right) -L\left(f,P\right) \)をいくらでも小さくできるのであれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists P:U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right)
<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)は\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であることが保証されます。その逆も成立するため以下を得ます。これを多重積分可能性に関するコーシーの判定条件（Cauchy criterionfor multiple integrability）と呼びます。

上の命題より、上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなるような分割が存在する場合には、関数はリーマン積分であることが保証されます。任意の分割のもとで上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなることを示す必要はなく、何らかの分割のもとで、上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなることを示せば十分であるということです。

関数の上リーマン和と下リーマン和の差がいくらでも小さくなるような分割が存在することと、その関数が多重リーマン積分可能であることは必要十分条件であることを踏まえると、分割をどのように選んだ場合でも上リーマン和と下リーマン和の差を一定以上小さくできないのであれば（例えば、両者の差が\(0\)より大きい定数である場合）、その関数は多重リーマン積分可能ではありません。

多変数関数の振幅を用いた多重積分可能性の判定

直方体上に定義された有界な多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、その値域\begin{equation*}f\left( R\right) =\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R\right\}
\end{equation*}は有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、実数の連続性より、その上限\(\sup f\left( R\right) \)と下限\(\inf \left( R\right) \)がそれぞれ1つの有限な実数として定まることが保証されるため、それらの差\begin{equation*}\sup f\left( R\right) -\inf f\left( R\right)
\end{equation*}もまた1つの有限な実数として定まることが保証されます。これを関数\(f\)の直方体\(R\)における振幅（oscillation of \(f\) on \(R\)）と呼び、\begin{equation*}\mathrm{osc}f\left( R\right) =\sup f\left( R\right) -\inf f\left( R\right)
\end{equation*}で表記します。

直方体\(R\)の分割\(P=\left\{ R_{i}\right\}_{i=1}^{m}\)を任意に選んだとき、その要素である任意の小直方体\(R_{i}\)もまた直方体であるため、関数\(f\)の小直方体\(R_{i}\)における振幅\begin{equation*}\mathrm{osc}f\left( R_{i}\right) =\sup f\left( R_{i}\right) -\inf f\left(
R_{i}\right)
\end{equation*}もまた1つの有限な実数として定まることに注意してください。

直方体上に定義された有界な多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、直方体\(R\)の分割\(P=\left\{ R_{i}\right\}_{i=1}^{m}\)を指定すれば、上リーマン和と下リーマン和の差を、\begin{eqnarray*}U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \sup f\left( R_{i}\right) \right] -\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \inf f\left( R_{i}\right) \right] \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \left[ \sup f\left(
R_{i}\right) -\inf f\left( Rli\right) \right] \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \mathrm{osc}\left( R_{i}\right) \right] \end{eqnarray*}と表現できるため、多重積分可能性に関するコーシーの判定条件\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists P:U\left( f,P\right) -L\left( f,P\right)
<\varepsilon
\end{equation*}は、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists P:\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left(
R_{i}\right) \cdot \mathrm{osc}\left( R_{i}\right) \right] <\varepsilon
\end{equation*}と必要十分になるため、関数の振幅を用いて多重積分可能性を判定できます。つまり、関数\(f\)の定義域である直方体\(R\)の分割\(P\)を適当に選ぶことにより、直方体\(R\)を構成するそれぞれの小直方体\(R_{i}\)について、その超体積\(\mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \)を十分小さくできるか、もしくは小直方体\(R_{i}\)の振幅\(\mathrm{osc}\left( R_{i}\right) \)を十分小さくできるのであれば、関数\(f\)は\(R\)上において\(n\)重リーマン積分可能であるということです。

以上の事実を踏まえると以下の命題が得られます。