多変数関数の逐次積分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}をとります。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n}\leq x_{n}\leq
b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。
関数\(f\)は有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する多変数関数ですが、その中から1つの変数を任意に選び、それを、\begin{equation*}x_{\left( 1\right) }\in \left[ a_{\left( 1\right) },b_{\left( 1\right) }\right]
\end{equation*}で表記します。また、残された\(n-1\)個の変数の中から1つを任意に選び、それを、\begin{equation*}x_{\left( 2\right) }\in \left[ a_{\left( 2\right) },b_{\left( 2\right) }\right]
\end{equation*}で表記します。また、残された\(n-2\)個の変数の中から1つを任意に選び、それを、\begin{equation*}x_{\left( 3\right) }\in \left[ a_{\left( 3\right) },b_{\left( 3\right) }\right]
\end{equation*}で表記します。以降も同様です。その上で、最後に残された変数を、\begin{equation*}
x_{\left( n\right) }\in \left[ a_{\left( n\right) },b_{\left( n\right) }\right]
\end{equation*}で表記します。すると、有限\(n\)個の変数\begin{equation*}x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }
\end{equation*}が得られます。つまり、もとの変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を好きな順番で並び替える状況を想定するということです。
関数\(f\)は有限\(n\)個の変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関する多変数関数ですが、変数\(x_{\left( 2\right) },\cdots ,x_{\left(n\right) }\)の値を固定したまま、\(f\)を変数\(x_{\left( 1\right) }\)に関する1変数関数とみなした上で区間\(\left[ a_{\left(1\right) },b_{\left( 1\right) }\right] \)上でリーマン積分します。その結果、定積分\begin{equation}\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( \boldsymbol{x}\right) dx_{\left( 1\right) }=\int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left(
1\right) }}f\left( x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\right)
dx_{\left( 1\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるものとします。最初に固定する\(x_{\left(2\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)の値とは関係なく、\(\left( 1\right) \)が必ず有限な実数として定まるのであれば、\(\left( 1\right) \)を変数\(x_{\left( 2\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関する多変数関数とみなすことができます。\(\left( 1\right) \)を得る操作を変数\(x_{\left(1\right) }\)に関する偏積分（partial integration with respect to \(x_{\left( 1\right) }\)）と呼びます。
\(\left( 1\right) \)は変数\(x_{\left( 2\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関する多変数関数ですが、変数\(x_{\left( 3\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)の値を固定したまま、\(\left( 1\right) \)を変数\(x_{\left( 2\right) }\)に関する1変数関数とみなした上で区間\(\left[ a_{\left( 2\right)},b_{\left( 2\right) }\right] \)上でリーマン積分します。その結果、定積分\begin{equation}\int_{a_{\left( 2\right) }}^{b_{\left( 2\right) }}\left( \int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( \boldsymbol{x}\right) dx_{\left(
1\right) }\right) dx_{\left( 2\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}が有限な実数として定まるものとします。最初に固定する\(x_{\left(3\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)の値とは関係なく、\(\left( 2\right) \)が必ず有限な実数として定まるのであれば、\(\left( 2\right) \)を変数\(x_{\left( 3\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関する多変数関数とみなすことができます。\(\left( 2\right) \)を得る操作を変数\(x_{\left(2\right) }\)に関する偏積分（partial integration with respect to \(x_{\left( 2\right) }\)）と呼びます。
\(\left( 2\right) \)は変数\(x_{\left( 3\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関する多変数関数ですが、変数\(x_{\left( 4\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)の値を固定したまま、\(\left( 2\right) \)を変数\(x_{\left( 3\right) }\)に関する1変数関数とみなした上で区間\(\left[ a_{\left( 3\right)},b_{\left( 3\right) }\right] \)上でリーマン積分します。その結果、定積分\begin{equation}\int_{a_{\left( 3\right) }}^{b_{\left( 3\right) }}\left( \int_{a_{\left(
2\right) }}^{b_{\left( 2\right) }}\left( \int_{a_{\left( 1\right)
}}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( \boldsymbol{x}\right) dx_{\left( 1\right)
}\right) dx_{\left( 2\right) }\right) dx_{\left( 3\right) } \quad \cdots (3)
\end{equation}が有限な実数として定まるものとします。最初に固定する\(x_{\left(4\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)の値とは関係なく、\(\left( 3\right) \)が必ず有限な実数として定まるのであれば、\(\left( 3\right) \)を変数\(x_{\left( 4\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関する多変数関数とみなすことができます。\(\left( 3\right) \)を得る操作を変数\(x_{\left(3\right) }\)に関する偏積分（partial integration with respect to \(x_{\left( 3\right) }\)）と呼びます。
同様のプロセスを続けた結果、変数\(x_{\left( n\right) }\)に関する1変数関数\begin{equation}\int_{a_{\left( n-1\right) }}^{b_{\left( n-1\right) }}\left( \cdots
\int_{a_{\left( 3\right) }}^{b_{\left( 3\right) }}\left( \int_{a_{\left(
2\right) }}^{b_{\left( 2\right) }}\left( \int_{a_{\left( 1\right)
}}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( \boldsymbol{x}\right) dx_{\left( 1\right)
}\right) dx_{\left( 2\right) }\right) dx_{\left( 3\right) }\cdots \right)
dx_{\left( n-1\right) } \quad \cdots (4)
\end{equation}まで得られた状況を想定します。その上で、\(\left( 4\right) \)を区間\(\left[ a_{\left(n\right) },b_{\left( n\right) }\right] \)上でリーマン積分します。その結果、定積分\begin{equation}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \int_{a_{\left(
n-1\right) }}^{b_{\left( n-1\right) }}\left( \cdots \int_{a_{\left( 3\right)
}}^{b_{\left( 3\right) }}\left( \int_{a_{\left( 2\right) }}^{b_{\left(
2\right) }}\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
\boldsymbol{x}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) dx_{\left( 2\right)
}\right) dx_{\left( 3\right) }\cdots \right) dx_{\left( n-1\right) }\right)
dx_{\left( n\right) } \quad \cdots (5)
\end{equation}が有限な実数として定まるものとします。
以上のプロセスが最後まで滞りなく進行し、\(\left( 5\right) \)が有限な実数として定まる場合、関数\(f\)は\(R\)上において変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して逐次積分可能（iterated integrable）であると言います。その場合、\(\left( 5\right) \)を\(f\)の\(R\)上における変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関する逐次積分（iterated integrals）や累次積分などと呼びます。逐次積分\(\left( 5\right) \)を表記する際に括弧を省略して、\begin{equation*}\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\int_{a_{\left( n-1\right)
}}^{b_{\left( n-1\right) }}\cdots \int_{a_{\left( 3\right) }}^{b_{\left(
3\right) }}\int_{a_{\left( 2\right) }}^{b_{\left( 2\right) }}\int_{a_{\left(
1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left( \boldsymbol{x}\right) dx_{\left(
1\right) }dx_{\left( 2\right) }dx_{\left( 3\right) }\cdots dx_{\left(
n-1\right) }dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}とする場合もあります。
有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)が与えられたとき、これを並べ替えるパターンは全部で\(n!\)通り存在します。つまり、並び替えられた変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)のパターンとしては全部で\(n!\)通り存在します。逐次積分とは、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right)}\)に並び替えた上で、まずは\(f\)を\(x_{\left( 1\right) }\)について偏積分し、得られた結果を\(x_{\left( 2\right) }\)について偏積分し、得られた結果を\(x_{\left( 3\right) }\)について偏積分し、という形で順番に偏積分した結果として得られる値であるため、\(n\)変数関数\(f\)の逐次積分は\(n!\)通り存在します。
後ほど例示するように、この\(n!\)通りの逐次積分はすべて有限な実数として定まるとは限りません。また、\(n!\)通りの逐次積分がすべて有限な実数として定まる場合、それらの値はすべて一致するとは限りません。ただし、一定の条件のもとでは、この\(n!\)通りの逐次積分の値はすべて一致することが保証されます。詳細は場を改めて解説します。
f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(f\)の\(R\)上における変数\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y\right) dx\right)
dy
\end{equation*}であり、\(y,x\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y\right) dy\right)
dz
\end{equation*}です。
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}上に定義された3変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{3}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において有界であるものとします。\(f\)の\(R\)上における変数\(x,y,z\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y\right) dx\right) dy\right) dz
\end{equation*}であり、\(x,z,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y\right) dx\right) dz\right) dy
\end{equation*}であり、\(y,x,z\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y\right) dy\right) dx\right) dz
\end{equation*}であり、\(y,z,x\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y\right) dy\right) dz\right) dx
\end{equation*}であり、\(z,x,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f\left( x,y\right) dz\right) dx\right) dy
\end{equation*}であり、\(z,y,x\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f\left( x,y\right) dz\right) dy\right) dx
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
R=\left[ 0,3\right] \times \left[ 1,2\right] \end{equation*}です。\(f\)の\(R\)上における\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{3}f\left( x,y\right) dx\right) dy
&=&\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{3}x^{2}ydx\right) dy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{1}^{2}\left( y\int_{0}^{3}x^{2}dx\right) dy\quad \because \text{関数の定数倍の積分} \\
&=&\int_{1}^{2}\left( y\left[ \frac{1}{3}x^{3}\right] _{0}^{3}\right) dy \\
&=&\int_{1}^{2}9ydy \\
&=&9\int_{1}^{2}ydy\quad \because \text{関数の定数倍の積分} \\
&=&9\left[ \frac{1}{2}y^{2}\right] _{1}^{2} \\
&=&9\cdot \frac{3}{2} \\
&=&\frac{27}{2}
\end{eqnarray*}であるのに対し、\(y,x\)に関する逐次積分は、\begin{eqnarray*}\int_{0}^{3}\left( \int_{1}^{2}f\left( x,y\right) dy\right) dx
&=&\int_{0}^{3}\left( \int_{1}^{2}x^{2}ydy\right) dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{0}^{3}\left( x^{2}\int_{1}^{2}ydy\right) dx\quad \because \text{関数の定数倍の積分} \\
&=&\int_{0}^{3}\left( x^{2}\left[ \frac{1}{2}y^{2}\right] _{1}^{2}\right) dx
\\
&=&\int_{0}^{3}\frac{3}{2}x^{2}dx \\
&=&\frac{3}{2}\int_{0}^{3}x^{2}dx\quad \because \text{関数の定数倍の積分} \\
&=&\frac{3}{2}\left[ \frac{1}{3}x^{3}\right] _{0}^{3} \\
&=&\frac{3}{2}\cdot 9 \\
&=&\frac{27}{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、以下の関係\begin{equation*}
\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{3}f\left( x,y\right) dx\right)
dy=\int_{0}^{3}\left( \int_{1}^{2}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成立しています。
多変数関数は逐次積分可能であるとは限らない
多変数関数は逐次積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
\dfrac{1}{2} & \left( if\ y\in \mathbb{Q} \right) \\
x & \left( if\ y\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は明らかに\(R\)上において有界です。\(f\)の\(R\)における\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dx\right) dy=\frac{1}{2}
\end{equation*}である一方で、\(f\)は\(R\)において\(y,x\)に関して逐次積分可能ではなく、したがって、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}は有限な実数として定まりません（演習問題）。
逐次積分どうしは一致するとは限らない
多変数関数を逐次積分する際に偏積分する変数の順番を変えても逐次積分が有限な実数として定まる場合においても、偏積分する変数の順番を変えると、最終的に得られる逐次積分の値が変わってしまう状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
\dfrac{xy\left( x^{2}-y^{2}\right) }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} &
\left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\)軸上を通過する（\(y=0\)）形で変数\(\left( x,y\right) \)を原点\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づけた場合、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x,0\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\dfrac{x^{3}}{x^{6}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x^{3}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、この関数\(f\)は\(R\)上において有界ではありません。\(f\)の\(R\)における\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right) dy=-\frac{1}{20}
\end{equation*}であるのに対し、\(y,x\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx=\frac{1}{5}
\end{equation*}となります（演習問題）。したがって、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right)
dy\not=\int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成立します。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right)
dy=\int_{0}^{2}\left( \int_{1}^{2}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi }\left( \int_{1}^{2}f\left( x,y\right) dx\right)
dy=\int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{\pi }f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
\begin{array}{cl}
\dfrac{1}{2} & \left( if\ y\in \mathbb{Q} \right) \\
x & \left( if\ y\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(R\)における\(x,y\)に関する逐次積分は、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dx\right) dy=\frac{1}{2}
\end{equation*}である一方で、\(f\)は\(R\)において\(y,x\)に関して逐次積分可能ではなく、したがって、\begin{equation*}\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}は有限な実数として定まらないことを示してください。
\begin{array}{cc}
\dfrac{xy\left( x^{2}-y^{2}\right) }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} &
\left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{2}f\left( x,y\right) dx\right)
dy\not=\int_{0}^{2}\left( \int_{0}^{1}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成り立つことを確認してください。
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