多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分（ダルブーの定理）

区間の分割とその大きさ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。それに対して、以下の条件\begin{equation*}
a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}を満たす有限個の点\(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}\in \mathbb{R} \)からなる集合\begin{equation*}P=\left\{ x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} =\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}
\end{equation*}を区間\(\left[ a,b\right] \)の分割（partition）と呼びます。なお、分割\(P\)の要素である分点の個数や、分点間の距離は自由に選ぶことができるものとします。分点どうしは等間隔である必要もありません。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)が与えられれば、区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である有限\(n\)個の小区間\begin{eqnarray*}J_{1} &=&\left[ x_{0},x_{1}\right] \\
J_{2} &=&\left[ x_{1},x_{2}\right] \\
&&\vdots \\
J_{n} &=&\left[ x_{n-1},x_{n}\right] \end{eqnarray*}が得られます。すべての小区間\(J_{1},J_{2},\cdots ,J_{n}\)の和集合をとればもとの区間\(\left[ a,b\right] \)が得られます。また、2つの小区間どうしは境界においてのみ交わり得るため、2つの小区間を任意に選んだとき、それらの内部どうしは互いに素です。

分割\(P=\left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を通じて区間\(\left[ a,b\right] \)を有限個\(n\)の小区間\(\left\{ J_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)へと分割した場合、それぞれの小区間\(J_{k}=\left[x_{k-1},x_{k}\right] \)の長さは、\begin{equation*}\left\vert J_{k}\right\vert =x_{k}-x_{k-1}
\end{equation*}と定まります。すべての小区間\(J_{1},\cdots ,J_{n}\)の長さ\(\left\vert J_{1}\right\vert ,\cdots ,\left\vert J_{n}\right\vert \)どうしを比べた上で、その中の最大値を分割\(P\)の大きさ（norm）と定義し、それを、\begin{eqnarray*}\left\vert P\right\vert &=&\max \left\{ \left\vert J_{k}\right\vert \in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\} \\
&=&\max \left\{ x_{k}-x_{k-1}\in \mathbb{R} \ |\ k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

直方体の分割とその大きさ

それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする\(n\)個の有界な閉区間\begin{gather*}\left[ a_{1},b_{1}\right] =\left\{ x_{1}\in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\right\} \\
\vdots \\
\left[ a_{n},b_{n}\right] =\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\right\}
\end{gather*}を定義します。これらの直積\begin{equation*}
\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域です。以降では、必要に応じてこれを、\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}と表記するものと定めます。また、\(R\)をシンプルに直方体と呼ぶこととします。

直方体\(R\)を形作る\(n\)個の区間\(\left[ a_{1},b_{1}\right] ,\cdots ,\left[a_{n},b_{n}\right] \)の分割\begin{eqnarray*}P_{1} &=&\left\{ x_{0}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{m_{1}}^{\left( 1\right) }\right\} =\left\{ x_{k_{1}}^{\left( 1\right)
}\right\} _{k_{1}=0}^{m_{1}} \\
&&\vdots \\
P_{n} &=&\left\{ x_{0}^{\left( n\right) },x_{1}^{\left( n\right) },\cdots
,x_{m_{n}}^{\left( n\right) }\right\} =\left\{ x_{k_{n}}^{\left( n\right)
}\right\} _{k_{n}=0}^{m_{n}}
\end{eqnarray*}がそれぞれ与えられれば、それらの直積\begin{eqnarray*}
P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ \left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge \cdots \wedge
k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{eqnarray*}をとることができます。これを直方体\(R\)の分割（partition）と呼びます。

直方体\(R\)の分割\(P\)が与えられれば、直方体\(R\)の部分集合である有限\(m_{1}\times \cdots \times m_{n}\)個の小直方体\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \quad
\left( k_{1}=1,\cdots ,m_{1};\ \cdots \ ;\ k_{n}=1,\cdots ,m_{n}\right)
\end{equation*}が得られます。すべての小直方体の和集合をとればもとの直方体\(R\)が得られます。また、2つの小直方体どうしは境界においてのみ交わり得るため、2つの小直方体を任意に選んだとき、それらの内部どうしは互いに素です。

直方体\(R\)の分割\(P\)を生成するもととなった\(n\)個の区間\(P_{1},\cdots ,P_{n}\)の大きさ\(\left\vert P_{1}\right\vert ,\cdots ,\left\vert P_{n}\right\vert \)どうしを比べた上で、その中での最大値を直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさ（norm）と定義し、それを、\begin{equation*}\left\vert P\right\vert =\max \left\{ \left\vert P_{1}\right\vert ,\cdots
,\left\vert P_{n}\right\vert \right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。これは、分割\(P\)に要素であるすべての小直方体のすべての辺の中でも最長の辺の長さに他なりません。

多変数関数の上リーマン和と下リーマン和

直方体\(R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n}\leq x_{n}\leq
b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in R:L\leq f\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

直方体\(R\)の分割\(P\)を選ぶと有限\(m_{1}\times \cdots \times m_{n}\)個の小直方体\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \quad
\left( k_{1}=1,\cdots ,m_{1};\ \cdots \ ;\ k_{n}=1,\cdots ,m_{n}\right)
\end{equation*}が得られますが、この小直方体\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)上において関数\(f\)がとり得る値からなる集合は、\begin{eqnarray*}f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ x_{1}\in \left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) },x_{k_{1}}^{\left(
1\right) }\right] \wedge \cdots \wedge x_{n}\in \left[ x_{k_{n}-1}^{\left(
n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \right\}
\end{eqnarray*}と定まります。仮定より関数\(f\)は直方体\(R\)上で有界であるため、その部分集合である小直方体\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)上においても有界であり、したがって\(f\left(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \)は有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。すると、実数の連続性より、その上限と下限\begin{eqnarray*}&&\sup f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \\
&&\inf f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right)
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まることが保証されます。

直方体\(R\)に対して分割\(P\)を指定した場合、それぞれの小直方体\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \end{equation*}の超体積は、\begin{equation*}
\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) =\left( x_{k_{1}}^{\left(
1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times \cdots \times \left(
x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}と定まりまる一方で、小直方体\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)上において関数\(f\)がとり得る値の上限と下限は、\begin{eqnarray*}&&\sup f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \\
&&\inf f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right)
\end{eqnarray*}です。そこで、これらの積\begin{eqnarray}
&&\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot \sup f\left(
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \quad \cdots (1) \\
&&\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot \inf f\left(
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}をそれぞれとります。\(n=2\)の場合、小直方体\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)は長方形領域であるため、\(\left( 1\right) \)は小長方形\(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\)を底面とし\(\sup f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \)を高さとする直方体の体積である一方、\(\left( 2\right) \)は小長方形\(R_{k_{1},\cdots,k_{n}}\)を底面とし\(\inf f\left(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \)を高さとする直方体の体積です。そこで、便宜的に、以降では\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を符号付き体積（signed volume）と呼ぶこととします。小直方体\(R_{k_{1},\cdots,k_{n}}\)は有界であるためその超体積\(\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots,k_{n}}\right) \)は有限な実数として定まります。また、先述の理由により\(\sup f\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \)と\(\inf f\left(R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \)は有限な実数として定まります。以上より、符号付き体積\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)は有限な実数どうしの積であるため、これらもまた有限な実数として定まります。

直方体\(R\)の分割\(P\)のもとで生成される\(R\)のすべての小直方体について符号付き面積を計算した上で、それらの総和\begin{eqnarray*}U\left( f,P\right) &=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}
\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot \sup f\left(
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \right] \\
L\left( f,P\right) &=&\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}
\left[ \mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot \inf f\left(
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \right] \end{eqnarray*}をそれぞれとります。\(U\left( f,P\right) \)を関数\(f\)の分割\(P\)に関する上リーマン和（upper Riemann sum of \(f\) for \(P\)）や上限和、または過剰和などと呼び、\(L\left( f,P\right) \)を関数\(f\)の分割\(P\)に関する下リーマン和（lower Riemann sum of \(f\) for \(P\)）や下限和、または不足和などと呼びます。個々の符号付き面積は有限な実数であるため、上リーマン和や下リーマン和は有限個の有限な実数の和であり、したがって上リーマン和と下リーマン和はともに有限な実数として定まることが保証されます。

上リーマン和と下リーマン和の性質

直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)と直方体\(R\)の分割\(P\)が与えられたとき、直方体\(R\)は有限\(m\)個の小直方体\(\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)へ分割されるものとします。任意の小直方体\(R_{i}\)について、\begin{eqnarray*}\sup f\left( R_{i}\right) &=&\sup \left\{ f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R_{i}\right\} \\
&\geq &\inf \left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in R_{i}\right\} \quad \because
\text{上限と下限の関係} \\
&=&\inf f\left( R_{i}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sup f\left( R_{i}\right) \geq \inf f\left( R_{i}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、上リーマン和と下リーマン和の間には、\begin{eqnarray*}
U\left( f,P\right) &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right)
\cdot \sup f\left( R_{i}\right) \right] \\
&\geq &\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot \inf f\left(
R_{i}\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&L\left( f,P\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、直方体\(R\)の分割\(P\)を任意に選んだとき、上リーマン和は下リーマン和以上になることが保証されるということです。

上の命題では、上リーマン和と下リーマン和を算出する際に同一の分割を採用していますが、実は、上リーマン和をとる場合の分割と、下リーマン和をとる場合の分割が異なる場合にも同様の命題が成り立ちます。順番に示します。

直方体\(R\)の分割\(P\)のもとで\(R\)は有限\(p\)個の小直方体\(\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{p}\)へ分割されるものとします。その要素である個々の小直方体\(R_{i}\)の各辺は正であるため、\(R_{i}\)をさらに細かい小直方体の集合へと分割できます。このような事情を踏まえると、分割\(P\)のもとで直方体\(R\)が小直方体\(\left\{R_{i}\right\} _{i=1}^{p}\)へ分割される場合、以下の条件\begin{equation*}\forall j\in \left\{ 1,\cdots ,q\right\} ,\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots
,p\right\} :R_{j}^{\prime }\subset R_{i}
\end{equation*}を満たす小直方体\(\left\{R_{j}^{\prime }\right\} _{j=1}^{q}\)へと\(R\)を分割するような\(R\)の分割\(P^{\prime }\)が存在することが保証されます（演習問題）。このような分割\(P^{\prime }\)をもとの分割\(P\)の細分化（refinement）と呼びます。

直方体\(R\)の分割\(P\)とその細分化\(P^{\prime }\)を任意に選んだとき、分割\(P\)のもとでの下リーマン和は細分化\(P^{\prime }\)のもとでの下リーマン和以下になる一方で、分割\(P\)のもとでの上リーマン和は細分化\(P^{\prime }\)のもとでの上リーマン和以上になります。

以上の命題を踏まえた上で以下を示します。

多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分

直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、直方体\(R\)の分割\(P\)を任意に選ぶと、\(P\)のもとでの上リーマン和\(U\left(f,P\right) \)が1つの実数として定まることが保証されます。分割が変われば上リーマン和の値も変わるため、上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation}\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。直方体\(R\)の分割\(Q\)を任意に選んだとき、先の命題より、直方体\(R\)の任意の分割\(P\)に対して、\begin{equation*}L\left( f,Q\right) \leq U\left( f,P\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( 1\right) \)は下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。したがって、実数の連続性（下限性質）より、\(\left( 1\right) \)の下限\begin{equation*}\inf \left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこでこれを\(f\)の\(R\)上での上リーマン積分（upper Riemann integral on \(R \)）や上積分（upper integral）などと呼び、\begin{equation*}\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\inf \left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記します。

下リーマン和についても同様に考えます。つまり、直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、直方体\(R\)の分割\(P\)を任意に選ぶと、\(P\)のもとでの下リーマン和\(L\left(f,P\right) \)が1つの実数として定まることが保証されます。分割が変われば下リーマン和の値も変わるため、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation}\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。直方体\(R\)の分割\(Q\)を任意に選んだとき、先の命題より、直方体\(R\)の任意の分割\(P\)に対して、\begin{equation*}L\left( f,Q\right) \leq U\left( f,P\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( 2\right) \)は上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。したがって、実数の連続性（上限性質）より、\(\left( 2\right) \)の上限\begin{equation*}\sup \left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこでこれを\(f\)の\(R\)上での下リーマン積分（lower Riemann integral on \(R \)）下積分（lower integral）などと呼び、\begin{equation*}\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\sup \left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記します。

上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ一意的

上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ一意的に定まります。

上リーマン積分と下リーマン積分は一致するとは限らない

有界かつ閉な直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(R\)上の上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ有限な実数として定まるとともに、それぞれ一意的に定まることが明らかになりました。その一方で、両者は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

ダルブーの定理（極限を用いた上積分と下積分の特定）

有界かつ閉な直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(R\)上での上リーマン積分は、\begin{equation*}\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\inf \left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、先の議論から明らかになったように、これは1つの実数として定まることが保証されます。上リーマン積分を導出するためには上リーマン和がとり得る値からなる集合\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}を特定した上で、その下限を求める必要があります。ただ、そのような手続きは煩雑になりがちであるため、より扱いやすい導出方法があれば、それはより望ましいと言えまます。具体的には以下の通りです。

有界かつ閉な直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)と直方体\(R\)の分割\(P\)が与えられたとき、直方体\(R\)は有限\(m\)個の小直方体\(\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)へ分割されるものとします。この分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot
\sup f\left( R_{i}\right) \right] \end{equation*}です。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば直方体\(R\)に含まれる最長の辺を持つ小直方体の辺の長さが短くなるため、\(R\)に含まれるすべての小直方体の超体積は小さくなり、その結果、\(R\)はより多くの細かい小直方体へ分割されることになります（\(m\)が増加する）。分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、\(R\)を構成するすべての小直方体の超体積もまた\(0\)へ限りなく近づきます。分割\(P\)の大きさを\(0\)へ限りなく近づける形で分割を変更していった場合、関数\(f\)の上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)がある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert U\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(R\)上で上リーマン積分可能（upper Riemann integrable on \(R\)）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}U\left( f,P\right) =L
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえたとき、直方体\(R\)上で有界な関数\(f\)は常に\(R\)上で上リーマン積分可能であるとともに、そこでの極限は、関数\(f\)の\(R\)上での上リーマン積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}U\left( f,P\right) =\overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。これをダルブーの定理（Darboux’s theorem）と呼びます。

下リーマン積分についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)の\(R\)上での下リーマン積分は、\begin{equation*}\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) dx_{1}\cdots dx_{n}=\sup \left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、先の議論から明らかになったように、これは1つの実数として定まることが保証されます。下リーマン積分を導出するためには下リーマン和がとり得る値からなる集合\begin{equation*}
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}を特定した上で、その上限を求める必要があります。ただ、そのような手続きは煩雑になりがちであるため、より扱い導出方法があれば、それはより望ましいと言えまます。具体的には以下の通りです。

直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)と直方体\(R\)の分割\(P\)が与えられたとき、直方体\(R\)は有限\(m\)個の小直方体\(\left\{ R_{i}\right\} _{i=1}^{m}\)へ分割されるものとします。この分割\(P\)のもとでの関数\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{i=1}^{m}\left[ \mathrm{vol}\left( R_{i}\right) \cdot
\inf f\left( R_{i}\right) \right] \end{equation*}です。さて、分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が小さくなるように分割を変更すれば直方体\(R\)に含まれる最長の辺を持つ小直方体の辺の長さが短くなるため、\(R\)に含まれるすべての小直方体の超体積は小さくなり、その結果、\(R\)はより多くの小さい小直方体へ分割されることになります（\(m\)が増加する）。分割\(P\)の大きさ\(\left\vert P\right\vert \)が\(0\)へ限りなく近づくように分割を変更していけば、\(R\)を構成するすべての小直方体の超体積もまた\(0\)へ限りなく近づきます。分割\(P\)の大きさを\(0\)へ限りなく近づける形で分割を変更していった場合、関数\(f\)の下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)がある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)へ限りなく近づく場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert L\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(R\)上で下リーマン積分可能（lower Riemann integrable on \(R\)）であると言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) =L
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえたとき、直方体\(R\)上で有界な関数\(f\)は常に\(R\)上で下リーマン積分可能であるとともに、そこでの極限は、関数\(f\)の\(R\)上での下リーマン積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{\left\vert P\right\vert \rightarrow 0}L\left( f,P\right) =\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。これが下リーマン積分に関するダルブーの定理です。証明は先の命題と同様です。

上積分と下積分の候補を特定する方法

直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が上リーマン積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert U\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。加えて、ダルブーの定理より、この極限\(L\)は上リーマン積分と一致します。では、上リーマン積分\(L\)の候補をどのように絞り込めばよいのでしょうか。

本来、関数\(f\)が上リーマン積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)が「特定の」分割\(P\)のもとで上リーマン和がある有限な実数\(L\)へ収束することが判明した場合、その実数\(L\)をそのまま上リーマン積分とみなすことができます。なぜなら、関数\(f\)は常に上リーマン積分可能であり、なおかつ上リーマン積分は一意的に定まるからです。上積分の候補を特定する際には、領域\(R\)を等分する分割が頻繁に利用されます。

下積分についても同様です。具体的には以下の通りです。

直方体上に定義された有界な関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が下リーマン積分可能であることを示すためには、ある有限な実数\(L\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P:\left( \left\vert
P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert L\left( f,P\right) -L\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示す必要があります。加えて、ダルブーの定理より、この極限\(L\)は下リーマン積分と一致します。では、下リーマン積分\(L\)の候補をどのように絞り込めばよいのでしょうか。

本来、関数\(f\)が下リーマン積分可能であることを示すためには、大きさが\(\left\vert P\right\vert <\delta \)を満たす「任意の」分割\(P\)に対して上の命題が成り立つことを示す必要があります。ただ、関数\(f\)が「特定の」分割\(P\)のもとで下リーマン和がある有限な実数\(L\)へ収束することが判明した場合、その実数\(L\)をそのまま下リーマン積分とみなすことができます。なぜなら、関数\(f\)は常に下リーマン積分可能であり、なおかつ下リーマン積分は一意的に定まるからです。下積分の候補を特定する際には、領域\(R\)を等分する分割が頻繁に利用されます。

演習問題