一般の領域上に定義された2変数関数の2重積分

基本領域上に定義された2変数関数の2重積分

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する有界かつ閉な長方形領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}をとります。ただし、\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)です。以降ではこれを長方形と呼びます。長方形上に定義された有界な2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において2重リーマン積分可能であることとは、長方形\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)の2重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast }\right) \)がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、極限\(\alpha \)を関数\(f\)の\(R\)上での2重リーマン積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy=\alpha
\end{equation*}で表記します。特に、関数\(f\)が長方形\(R\)上において連続である場合には\(f\)は\(R\)上において2重積分可能であることが保証されるとともに、フビニの定理より、以下の関係\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、逐次積分を用いて2重積分を特定できます。では、長方形とは限らない集合上に定義された2変数関数の2重リーマン積分をどのように考えればよいでしょうか。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合である有界集合\(X\)上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において連続であるものとします。\(f\)の定義域\(X \)は有界であるため、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす有界かつ閉な長方形\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\begin{equation*}
f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)に属さない\(R\)上の点\(\left( x,y\right) \)に対しては\(0\)を定める形で\(f\)の定義域を\(X\)から\(R\)へ拡張することにより得られる関数が\(f^{\ast }\)です。

仮定より\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f^{\ast }\)もまた\(X\)上において連続です。また、\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において定数関数であるため\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において連続です。したがって、\(f^{\ast }\)が不連続な点\(\left( x,y\right) \)が存在する場合、それはいずれも\(X\)の境界\(X^{f}\)上に存在することになります。つまり、\(f^{\ast }\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y\right) \in R\ |\ f^{\ast }\text{は点}\left(
x,y\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation}
D\subset X^{f} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

長方形\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲線\(C_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が、有界閉区間上に定義された連続なベクトル値関数\(g^{\left( i\right) }:\mathbb{R} \supset I_{i}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}C_{i}=\left\{ g^{\left( i\right) }\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I_{i}\right\}
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} ,\ \forall t\in I_{i}:g^{\left(
i\right) }\left( t\right) \in R
\end{equation*}です。以下の条件\begin{equation}
X^{f}\subset \bigcup_{i=1}^{n}C_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、\(X\)を基本領域（elementary region）と呼びます。この場合には\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{n}C_{i}
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、関数\(f^{\ast }\)が不連続であるような点はいずれも長方形\(R\)上に存在する有限個の連続な曲線上に分布するということです。したがって、この場合には、関数\(f^{\ast }\)は長方形\(R\)上において2重リーマン積分可能であり、\(f^{\ast }\)の\(R\)上における2重リーマン積分\begin{equation*}\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこで、これをもとの関数\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分として採用します。つまり、\begin{equation*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy=\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}と定めるということです。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}を得ます。

改めて整理すると、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する有界集合上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるとともに、その定義域\(X\)が基本領域である場合には、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界かつ閉な長方形\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。その上で、\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分を、\begin{equation*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy=\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}と定義します。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。

基本集合上に定義された2変数関数の2重積分（パターン1）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の領域です。この集合\(X\)は基本集合です（演習問題）。

集合\(X\)上に定義された連続な2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(X\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(X\)上において2重積分可能です。そこで、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす長方形\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int \int_{R}f^{\ast }\left(
x,y\right) dxdy \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。

基本集合上に定義された2変数関数の2重積分（パターン2）

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の領域です。この集合\(X\)は基本集合です（演習問題）。

集合\(X\)上に定義された連続な2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(X\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(X\)上において2重積分可能です。そこで、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす長方形\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int \int_{R}f^{\ast }\left(
x,y\right) dxdy \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}f\left( x,y\right) dx\right) dy
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。

演習問題