基本集合上に定義された2変数関数の2重積分（パターン1）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(x\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の領域です。この集合\(X\)は基本集合です（演習問題）。
集合\(X\)上に定義された連続な2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(X\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(X\)上において2重積分可能です。そこで、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす長方形\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right]
\end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int \int_{R}f^{\ast }\left(
x,y\right) dxdy \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)を、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義する。集合\(X\)上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上において連続であるならば、\(f\)は\(X\)上において2重積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy=\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left(
x\right) }^{g_{2}\left( x\right) }f\left( x,y\right) dy\right) dx
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。集合\(X\)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する単位円およびその内部に相当する領域であるため、これを以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=-1 \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=1 \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) =\sqrt{1-x^{2}}\text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) =-\sqrt{1-x^{2}}\text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の基本領域とみなすことができます。\(f\)が\(X\)上の連続関数であるならば、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{-1}^{1}\left(
\int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right) }f\left( x,y\right)
dy\right) dx \\
&=&\int_{-1}^{1}\left( \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}f\left(
x,y\right) dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、\begin{equation*}
\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定します。集合\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}x=0 \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}x=1 \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( x\right) =0\text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( x\right) =x\text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の基本領域（三角形の領域）です。また、\(f\)は\(X\)上の連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{0}^{1}\left( \int_{g_{1}\left(
x\right) }^{g_{2}\left( x\right) }f\left( x,y\right) dy\right) dx \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{x}\left( x+y\right) dy\right) dx \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ xy+\frac{y^{2}}{2}\right] _{y=0}^{y=x}dx \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{3}{2}x^{2}dx \\
&=&\left[ \frac{1}{2}x^{3}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( x\right) \leq g_{2}\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)を、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a\leq x\leq b\wedge g_{1}\left( x\right) \leq y\leq g_{2}\left(
x\right) \right\}
\end{equation*}と定義します。集合\(X\)上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f\)は\(X\)上において2重積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left(
x\right) }^{g_{2}\left( x\right) }f\left( x,y\right) dy\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left( x\right)
}1dy\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \left[ y\right] _{g_{1}\left( x\right) }^{g_{2}\left(
x\right) }\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ g_{2}\left( x\right) -g_{1}\left( x\right) \right] dx
\\
&=&X\text{の面積}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、関数\(f\)として定数関数\(1\)を採用すれば、\(f\)の\(X\)上における2重積分をとることにより\(X\)の面積が得られます。
基本集合上に定義された2変数関数の2重積分（パターン2）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された変数\(y\)に関する2つの連続な1変数関数\begin{eqnarray*}g_{1} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\right\}
\end{equation*}と定義されているものとします。つまり、\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=a \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=b \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) \text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) \text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の領域です。この集合\(X\)は基本集合です（演習問題）。
集合\(X\)上に定義された連続な2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。集合\(X\)は基本集合であるため、先の議論より\(f\)は\(X\)上において2重積分可能です。そこで、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす長方形\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right]
\end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分が、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int \int_{R}f^{\ast }\left(
x,y\right) dxdy \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}f\left( x,y\right) dx\right) dy
\end{eqnarray*}と定まります（演習問題）。
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) <g_{2}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)を、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\right\}
\end{equation*}と定義する。集合\(X\)上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上において連続であるならば、\(f\)は\(X\)上において2重積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy=\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left(
y\right) }^{g_{2}\left( y\right) }f\left( x,y\right) dx\right) dy
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。集合\(X\)は平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する単位円およびその内部に相当する領域であるため、これを以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=1 \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=-1 \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) =-\sqrt{1-y^{2}}\text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) =\sqrt{1-y^{2}}\text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の基本領域とみなすことができます。\(f\)が\(X\)上の連続関数であるならば、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{-1}^{1}\left(
\int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right) }f\left( x,y\right)
dx\right) dy \\
&=&\int_{-1}^{1}\left( \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}f\left(
x,y\right) dx\right) dy
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、\begin{equation*}
\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を特定します。集合\(X\)は以下の4つの要素\begin{eqnarray*}&&\left( 1\right) \ \text{直線}y=0 \\
&&\left( 2\right) \ \text{直線}y=1 \\
&&\left( 3\right) \ \text{関数}g_{1}\left( y\right) =0\text{のグラフ} \\
&&\left( 4\right) \ \text{関数}g_{2}\left( y\right) =y\text{のグラフ}
\end{eqnarray*}によって囲まれる\(\mathbb{R} ^{2}\)上の基本領域（三角形の領域）です。また、\(f\)は\(X\)上の連続関数であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{0}^{1}\left( \int_{g_{1}\left(
y\right) }^{g_{2}\left( y\right) }f\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{0}^{1}\left( \int_{0}^{y}\left( x+y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{x^{2}}{2}+yx\right] _{0}^{y}dy \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{3}{2}y^{2}dy \\
&=&\left[ \frac{1}{2}y^{3}\right] _{0}^{1} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
g_{2} &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるとともに、\begin{equation*}\forall y\in \left[ a,b\right] :g_{1}\left( y\right) \leq g_{2}\left(
y\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(X\)を、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ g_{1}\left( y\right) \leq x\leq g_{2}\left( y\right) \wedge a\leq
y\leq b\right\}
\end{equation*}と定義します。集合\(X\)上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f\)は\(X\)上において2重積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left(
y\right) }^{g_{2}\left( y\right) }f\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \int_{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left( y\right)
}1dx\right) dy \\
&=&\int_{a}^{b}\left( \left[ y\right] _{g_{1}\left( y\right) }^{g_{2}\left(
y\right) }\right) dy \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ g_{2}\left( y\right) -g_{1}\left( y\right) \right] dy
\\
&=&X\text{の面積}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、関数\(f\)として定数関数\(1\)を採用すれば、\(f\)の\(X\)上における2重積分をとることにより\(X\)の面積が得られます。
演習問題
\end{equation*}上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}y+\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の2重積分\begin{equation*}
\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を求めてください。
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