一般の領域上に定義された多変数関数の多重積分

一般の領域上に定義された多変数関数の多重積分

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な直方体\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。ただし、\(a_{i}<b_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体上に定義された有界な多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上において多重リーマン積分可能であることとは、直方体\(R\)の分割\(P\)の大きさを\(0\)に限りなく近づける形で分割を変更していった場合、代表点の集合\(P^{\ast }\)の選び方とは関係なく、関数\(f\)の多重リーマン和\(S\left( f,P,P^{\ast}\right) \)がある有限な実数\(\alpha \in \mathbb{R} \)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall P,\ \forall P^{\ast
}:\left( \left\vert P\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert S\left(
f,P,P^{\ast }\right) -\alpha \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。このとき、極限\(\alpha \)を関数\(f\)の\(R\)上での多重リーマン積分と呼び、そのことを、\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\alpha
\end{equation*}で表記します。特に、関数\(f\)が長方形\(R\)上において連続である場合には\(f\)は\(R\)上において多重積分可能であることが保証されるとともに、フビニの定理より、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を任意の形で並べ替えた上で、それを\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)で表記した場合、\(f\)は\(R\)上において変数\(x_{\left( 1\right) },\cdots,x_{\left( n\right) }\)に関して逐次積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、逐次積分を用いて多重積分を特定できるということです。では、長方形とは限らない集合上に定義された多変数関数の多重リーマン積分をどのように考えればよいでしょうか。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合である有界集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において連続であるものとします。\(f\)の定義域\(X\)は有界であるため、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす有界かつ閉な直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。その上で、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in R\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める多変数関数\begin{equation*}
f^{\ast }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)に属さない\(R\)上の点\(\boldsymbol{x}\)に対しては\(0\)を定める形で\(f\)の定義域を\(X\)から\(R\)へ拡張することにより得られる関数が\(f^{\ast }\)です。

仮定より\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f^{\ast }\)もまた\(X\)上において連続です。また、\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において定数関数であるため\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において連続です。したがって、\(f^{\ast }\)が不連続な点\(\boldsymbol{x}\)が存在する場合、それはいずれも\(X\)の境界\(X^{f}\)上に存在することになります。つまり、\(f^{\ast }\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \boldsymbol{x}\in R\ |\ f^{\ast }\text{は点}\boldsymbol{x}\text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation}
D\subset X^{f} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

直方体\(R\)上に存在する有限\(m\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が、有界閉区間どうしの直積上に定義された\(n-1\)変数の連続なベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{g}^{\left( i\right) }:\mathbb{R} ^{n-1}\subset I_{1}\times \cdots \times I_{n-1}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を用いて、\begin{eqnarray*}
S_{i} &=&\left\{ \boldsymbol{g}^{\left( i\right) }\left( t_{1},\cdots
,t_{n-1}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n-1}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
g_{1}^{\left( i\right) }\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \\
\vdots \\
g_{n}^{\left( i\right) }\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in I_{1}\times \cdots \times
I_{n-1}\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ表現されているものとします。ただし、すべての曲面\(S_{1},\cdots ,S_{m}\)が直方体\(R\)上に存在する状況を想定しているため、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall \left( t_{1},\cdots
,t_{n-1}\right) \in I_{1}\times \cdots \times I_{n-1}:\boldsymbol{g}^{\left(
i\right) }\left( t_{1},\cdots ,t_{n-1}\right) \in R
\end{equation*}が成り立ちます。その上で、以下の条件\begin{equation}
X^{f}\subset \bigcup_{i=1}^{m}S_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、\(X\)を基本領域（elementary region）と呼びます。この場合には\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{m}S_{i}
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、関数\(f^{\ast }\)が不連続であるような点はいずれも直方体\(R\)上に存在する有限個の連続な曲面上に分布するということです。したがって、この場合には、関数\(f^{\ast }\)は直方体\(R\)上において多重リーマン積分可能であり、\(f^{\ast }\)の\(R\)上における多重リーマン積分\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f^{\ast }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこで、これをもとの関数\(f\)の\(X\)上における多重リーマン積分として採用します。つまり、\begin{equation*}\int \cdots \int_{X}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\int \cdots \int_{R}f^{\ast }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}と定めるということです。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を任意の形で並べ替えた上で、それを\(x_{\left( 1\right) },\cdots ,x_{\left( n\right) }\)で表記した場合、\(f\)は\(R\)上において変数\(x_{\left( 1\right)},\cdots ,x_{\left( n\right) }\)に関して逐次積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int \cdots \int_{R}f^{\ast }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f^{\ast }\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\int \cdots \int_{X}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f^{\ast }\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}を得ます。

改めて整理すると、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるとともに、その定義域\(X\)が基本領域である場合には、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界かつ閉な長方形\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in R\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める多変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。その上で、\(f\)の\(X\)上における多重リーマン積分を、\begin{equation*}\int \cdots \int_{X}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\int \cdots \int_{R}f^{\ast }\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
dx_{1}\cdots dx_{n}
\end{equation*}と定義します。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{equation*}\int \cdots \int_{X}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{1}\cdots
dx_{n}=\int_{a_{\left( n\right) }}^{b_{\left( n\right) }}\left( \cdots
\left( \int_{a_{\left( 1\right) }}^{b_{\left( 1\right) }}f^{\ast }\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) dx_{\left( 1\right) }\right) \cdots \right)
dx_{\left( n\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。

基本領域上に定義された2変数関数の2重積分

先と同様の議論を2変数関数を対象に繰り返すと以下のようになります。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合である有界集合\(X\)上に定義された2変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において連続であるものとします。\(f\)の定義域\(X \)は有界であるため、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす有界かつ閉な長方形\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right)\in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\begin{equation*}
f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)に属さない\(R\)上の点\(\left( x,y\right) \)に対しては\(0\)を定める形で\(f\)の定義域を\(X\)から\(R\)へ拡張することにより得られる関数が\(f^{\ast }\)です。

仮定より\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f^{\ast }\)もまた\(X\)上において連続です。また、\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において定数関数であるため\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において連続です。したがって、\(f^{\ast }\)が不連続な点\(\left( x,y\right) \)が存在する場合、それはいずれも\(X\)の境界\(X^{f}\)上に存在することになります。つまり、\(f^{\ast }\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y\right) \in R\ |\ f^{\ast }\text{は点}\left(
x,y\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation}
D\subset X^{f} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

長方形\(R\)上に存在する有限\(m\)個の連続な曲線\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が、有界閉区間上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{g}^{\left( i\right) }:\mathbb{R} \supset I_{i}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ \boldsymbol{g}^{\left( i\right) }\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I_{i}\right\}
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall t\in I_{i}:\boldsymbol{g}^{\left( i\right) }\left( t\right) \in R
\end{equation*}です。以下の条件\begin{equation}
X^{f}\subset \bigcup_{i=1}^{m}S_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、\(X\)を基本領域（elementary region）と呼びます。この場合には\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{m}S_{i}
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、関数\(f^{\ast }\)が不連続であるような点はいずれも長方形\(R\)上に存在する有限個の連続な曲線上に分布するということです。したがって、この場合には、関数\(f^{\ast }\)は長方形\(R\)上において2重リーマン積分可能であり、\(f^{\ast }\)の\(R\)上における2重リーマン積分\begin{equation*}\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこで、これをもとの関数\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分として採用します。つまり、\begin{equation*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy=\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}と定めるということです。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}を得ます。

改めて整理すると、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する有界集合上に定義された2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるとともに、その定義域\(X\)が基本領域である場合には、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界かつ閉な長方形\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y\right) & \left( if\ \left( x,y\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in R\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める2変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。その上で、\(f\)の\(X\)上における2重リーマン積分を、\begin{equation*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy=\int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}と定義します。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int_{X}f\left( x,y\right) dxdy &=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y\right)
dy\right) dx
\end{eqnarray*}が成り立ちます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。

基本領域上に定義された3変数関数の3重積分

先と同様の議論を3変数関数を対象に繰り返すと以下のようになります。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合である有界集合\(X\)上に定義された3変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において連続であるものとします。\(f\)の定義域\(X \)は有界であるため、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす有界かつ閉な直方体\begin{equation*}
R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。その上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right)\in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\begin{equation*}
f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)に属さない\(R\)上の点\(\left( x,y,z\right) \)に対しては\(0\)を定める形で\(f\)の定義域を\(X\)から\(R\)へ拡張することにより得られる関数が\(f^{\ast }\)です。

仮定より\(f\)は\(X\)上において連続であるため、\(f^{\ast }\)もまた\(X\)上において連続です。また、\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において定数関数であるため\(f^{\ast }\)は\(R\backslash X\)上において連続です。したがって、\(f^{\ast }\)が不連続な点\(\left( x,y,z\right) \)が存在する場合、それはいずれも\(X\)の境界\(X^{f}\)上に存在することになります。つまり、\(f^{\ast }\)が不連続であるような点からなる集合を、\begin{equation*}D=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R\ |\ f^{\ast }\text{は点}\left( x,y,z\right) \text{において不連続}\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation}
D\subset X^{f} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

直方体\(R\)上に存在する有限\(n\)個の連続な曲面\(S_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が、有界閉区間どうしの直積上に定義された連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{g}^{\left( i\right)}:\mathbb{R} \supset I_{i}\times J_{i}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}S_{i}=\left\{ \boldsymbol{g}^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( s,t\right) \in I_{i}\times J_{i}\right\}
\end{equation*}とそれぞれ表現されているものとします。ただし、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall \left( s,t\right) \in
I_{i}\times J_{i}:\boldsymbol{g}^{\left( i\right) }\left( s,t\right) \in R
\end{equation*}です。以下の条件\begin{equation}
X^{f}\subset \bigcup_{i=1}^{m}S_{i} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、\(X\)を基本領域（elementary region）と呼びます。この場合には\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}D\subset \bigcup_{i=1}^{m}S_{i}
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、関数\(f^{\ast }\)が不連続であるような点はいずれも直方体\(R\)上に存在する有限個の連続な曲面上に分布するということです。したがって、この場合には、関数\(f^{\ast }\)は直方体\(R\)上において3重リーマン積分可能であり、\(f^{\ast }\)の\(R\)上における3重リーマン積分\begin{equation*}\int \int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dxdydz
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。そこで、これをもとの関数\(f\)の\(X\)上における3重リーマン積分として採用します。つまり、\begin{equation*}\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz=\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz
\end{equation*}と定めるということです。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{R}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dxdydz
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right)
dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}を得ます。

改めて整理すると、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する有界集合上に定義された3変数関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるとともに、その定義域\(X\)が基本領域である場合には、\begin{equation*}X\subset R
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{3}\)上の有界かつ閉な長方形\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \times \left[
a_{3},b_{3}\right] \end{equation*}を選んだ上で、それぞれの\(\left( x,y,z\right) \in R\)に対して、\begin{equation*}f^{\ast }\left( x,y,z\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x,y,z\right) & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in X\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y,z\right) \in R\backslash X\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める3変数関数\(f^{\ast }:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。その上で、\(f\)の\(X\)上における3重リーマン積分を、\begin{equation*}\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz=\int \int \int_{R}f^{\ast
}\left( x,y,z\right) dxdydz
\end{equation*}と定義します。特に、\(f^{\ast }\)がフビニが要求する条件を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\int \int \int_{X}f\left( x,y,z\right) dxdydz &=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right)
dx\right) dy\right) dz \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{1}}^{b_{1}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dx\right) dz\right) dy \\
&=&\int_{a_{3}}^{b_{3}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dx\right) dz \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{3}}^{b_{3}}\left(
\int_{a_{2}}^{b_{2}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dy\right) dz\right) dx \\
&=&\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dx\right) dy \\
&=&\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left(
\int_{a_{3}}^{b_{3}}f^{\ast }\left( x,y,z\right) dz\right) dy\right) dz
\end{eqnarray*}が成り立ちます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。