拡大実数関数の右側連続性
実数を値としてとり得る実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義上の点\(a\in X\)において右側連続であることとは、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ限りなく近づくとともに、その右側極限が\(f\left( a\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
一方、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a+\)の場合に正の無限大に発散することとは、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも大きくなること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。この場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続ではありません。
また、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a+\)の場合に負の無限大に発散することとは、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも小さくなること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}となります。この場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続ではありません。
では、拡大実数系もしくはその部分集合上に定義され、拡大実数を値としてとり得る拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\)において右側連続であることをどのように定義すればよいでしょうか。点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が有限な実数であるとともに、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)へ右側収束する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、やはり、\(f\)は点\(a\)において右側連続であるものと考えます。一方、拡大実数系\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\end{equation*}では正負の無限大\(\pm \infty \)が体系の中に含まれているため、点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が正の無限大であるとともに、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく大きくなる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に正の無限大へ発散するものとみなさず、点\(a\)において右側連続であるものとみなします。同様に、点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が負の無限大であるとともに、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく小さくなる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に負の無限大へ発散するものとみなさず、点\(a\)において右側連続であるものとみなします。以上を踏まえた上で、拡大実数値関数の右側連続性を以下のように定義します。
拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)において以下の3つの条件の中のどれかを満たす場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続である（right-hand continuous at \(a\)）であると言います。
1つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。
2つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( x-a<\delta
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。
3つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。
上の3つのケースではいずれも\(a=-\infty \)の場合も考慮に考慮に入れています。ちなみに、\(f\)が正の無限大\(+\infty \)において定義されている場合、\(+\infty \)より大きい拡大実数は存在しないため、\(x\rightarrow \left( +\infty \right) +\)の場合の右側極限を考えることはできず、したがって\(f\)は\(+\infty \)において右側連続になり得ません。
以上の定義では、拡大実数値関数の点\(a\)における値\(f\left( a\right) \)が有限な値である場合と無限大である場合とで要求されている条件が異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。そのような作業は煩雑であるため、以上の3通りのパターンを1つの条件として包括的に表現できれば望ましいと言えます。詳細は後述します。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x=\pm \infty \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。まずは、\(a\not=0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続であることを示します。\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( a\right) =\frac{1}{a^{2}}\in \mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、点\(a\)より大きい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right)=\frac{1}{x^{2}}\)であることから、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a+}\frac{1}{x^{2}} \\
&=&\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right) =\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。続いて、\(f\)は点\(0\)において右側連続であることを示します。\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0\right) =+\infty
\end{equation*}です。また、点\(0\)より大きい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)であることから、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =f\left( 0\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。最後に、\(f\)は点\(-\infty \)において右側連続であることを示します。\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( -\infty \right) =0
\end{equation*}です。また、点\(-\infty \)より大きい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)であることから、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{x^{2}}=0
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =f\left( -\infty \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(-\infty \)において右側連続です。
拡大実数関数の左側連続性
実数を値としてとり得る実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義上の点\(a\in X\)において左側連続であることとは、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ限りなく近づくとともに、その左側極限が\(f\left( a\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \delta
<x-a\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
一方、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a-\)の場合に正の無限大に発散することとは、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも大きくなること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \delta
<x-a<0\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。この場合、\(f\)は点\(a\)において左側連続ではありません。
また、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a-\)の場合に負の無限大に発散することとは、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも小さくなること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}となります。この場合、\(f\)は点\(a\)において左側連続ではありません。
では、拡大実数系もしくはその部分集合上に定義され、拡大実数を値としてとり得る拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\)において左側連続であることをどのように定義すればよいでしょうか。点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が有限な実数であるとともに、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)へ左側収束する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、やはり、\(f\)は点\(a\)において左側連続であるものと考えます。一方、拡大実数系\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\end{equation*}では正負の無限大\(\pm \infty \)が体系の中に含まれているため、点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が正の無限大であるとともに、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく大きくなる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に正の無限大へ発散するものとみなさず、点\(a\)において左側連続であるものとみなします。同様に、点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が負の無限大であるとともに、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく小さくなる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に負の無限大へ発散するものとみなさず、点\(a\)において左側連続であるものとみなします。以上を踏まえた上で、拡大実数値関数の左側連続性を以下のように定義します。
拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)において以下の3つの条件の中のどれかを満たす場合、\(f\)は点\(a\)において左側連続である（left-hand continuous at \(a\)）であると言います。
1つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \delta
<x-a\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。
2つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \delta
<x-a\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。
3つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \delta
<x-a\Rightarrow \Lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。
上の3つのケースではいずれも\(a=+\infty \)の場合も考慮に考慮に入れています。ちなみに、\(f\)が負の無限大\(-\infty \)において定義されている場合、\(-\infty \)より小さい拡大実数は存在しないため、\(x\rightarrow \left( -\infty \right) -\)の場合の左側極限を考えることはできず、したがって\(f\)は\(-\infty \)において左側連続になり得ません。
以上の定義では、拡大実数値関数の点\(a\)における値\(f\left( a\right) \)が有限な値である場合と無限大である場合とで要求されている条件が異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。そのような作業は煩雑であるため、以上の3通りのパターンを1つの条件として包括的に表現できれば望ましいと言えます。詳細は後述します。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x=\pm \infty \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。まずは、\(a\not=0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側連続であることを示します。\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( a\right) =\frac{1}{a^{2}}\in \mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、点\(a\)より小さい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right)=\frac{1}{x^{2}}\)であることから、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a-}\frac{1}{x^{2}} \\
&=&\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right) =\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}を得ます。したがって、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。続いて、\(f\)は点\(0\)において左側連続であることを示します。\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( 0\right) =+\infty
\end{equation*}です。また、点\(0\)より小さい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)であることから、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =f\left( 0\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において左側連続です。最後に、\(f\)は点\(+\infty \)において左側連続であることを示します。\(f\)の定義より、\begin{equation*}f\left( +\infty \right) =0
\end{equation*}です。また、点\(+\infty \)より小さい周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)であることから、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x^{2}}=0
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =f\left( +\infty \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(+\infty \)において左側連続です。
拡大実数値関数は片側連続であるとは限らない
拡大実数値関数は右側連続であるとは限らず、左側連続であるとも限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x=\pm \infty \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において右側連続である一方で左側連続ではありません（演習問題）。
拡大実数値関数の片側連続性の包括的な表現
拡大実数値関数が右側連続であるために満たすべき条件は、収束先が有限な実数である場合と無限大である場合とでは異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。ただ、拡大実数値関数が右側連続であることを以下のように統一的な形で表現することもできます。
a\right) <\Lambda \wedge x-a<\delta \right) \Rightarrow \lambda <f\left(
x\right) <\Lambda \right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において右側連続であるための必要十分条件である。
左側連続性についても同様の命題が成り立ちます。
a\right) <\Lambda \wedge \delta <x-a\right) \Rightarrow \lambda <f\left(
x\right) <\Lambda \right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において左側連続であるための必要十分条件である。
拡大実数系上に定義された拡大実数関数の連続性
拡大実数系もしくはその部分集合上に定義され、拡大実数を値としてとり得る拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)の連続性を以下のように定義します。
\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)において通常の意味において連続であることを意味します。これは、\(f\)が点\(a\)において右側連続かつ左側連続であることと必要十分です。
\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されている一方で、点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)において右側連続であることを意味します。したがって、\(f\)が負の無限大\(-\infty \)において定義されている場合、\(f\)が点\(-\infty \)において連続であることとは、\(f\)が点\(-\infty \)において右側連続であることを意味します。
\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されている一方で、点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)において左側連続であることを意味します。したがって、\(f\)が正の無限大\(+\infty \)において定義されている場合、\(f\)が点\(+\infty \)において連続であることとは、\(f\)が点\(+\infty \)において左側連続であることを意味します。
演習問題
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x=\pm \infty \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において右側連続である一方で左側連続ではないことを示してください。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=\pm \infty \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて特定してください。
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