拡大実数値関数の上半連続性・下半連続性

拡大実数値関数の上半連続性

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)が\(c\)以上になるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}U\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq c\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(c\)に関する上方位集合（upper contour set）と呼びます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する上方位集合\(U\left( c\right) \)は定義域\(X\)の部分集合ですが、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する上方位集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :U\left( c\right) \in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は上半連続（upper semi-continuous）であると言います。ただし、\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合系を表す記号です。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)が\(c\)より小さくなるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) <c\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(c\)に関する狭義下方位集合（strict lower contour set）と呼びます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義下方位集合\(L_{s}\left( c\right) \)は定義域\(X\)の部分集合ですが、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義下方位集合が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :L_{s}\left( c\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が上半連続であるための必要十分条件です。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合系を表す記号です。

拡大実数値関数の下半連続性

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)が\(c\)以下になるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}L\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \leq c\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(c\)に関する下方位集合（lower contour set）と呼びます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する下方位集合\(L\left( c\right) \)は定義域\(X\)の部分集合ですが、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する下方位集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :L\left( c\right) \in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は下半連続（lower semi-continuous）であると言います。ただし、\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合系を表す記号です。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)が\(c\)より大きくなるような定義域\(X\)上の点\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) >c\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\(c\)に関する狭義上方位集合（strict upper contour set）と呼びます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義上方位集合\(U_{s}\left( c\right) \)は定義域\(X\)の部分集合ですが、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)に関する狭義上方位集合が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :U_{s}\left( c\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が下半連続であるための必要十分条件です。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合系を表す記号です。

上半連続性と下半連続性を用いた連続性の表現

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が拡大実数へ収束し、その極限が\(f\left( a\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。同じことを、\begin{equation*}
\forall \lambda ,\Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ \left( \lambda <f\left(
a\right) <\Lambda \wedge \left\vert x-a\right\vert <\delta \right)
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) <\Lambda \right] \end{equation*}と表現することもできます。また、拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続であると言います。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)について、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が連続関数であるための必要十分条件です。ただし、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系であるのに対し、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)は実数集合\(\mathbb{R} \)上の開集合系です。以上の条件は、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と必要十分です。ただし、\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合系であるのに対し、\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} \right) \)は実数集合\(\mathbb{R} \)上の閉集合系です。

拡大実数値関数が上半連続かつ下半連続であることと、その関数が連続であることは必要十分です。

拡大実数値関数が連続ではないことの判定

先の命題は拡大実数値関数が連続であるための必要十分であるため、拡大実数値関数が連続ではないことを示す際にも利用できます。つまり、拡大実数値関数が上連続ではないか、下連続ではないか、その少なくとも一方である場合、その関数は連続ではありません。

拡大実数系上に定義された拡大実数値集合の連続性

これまでは実数集合もしくはその部分集合上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を対象に議論を行ってきましたが、拡大実数系もしくはその部分集合上に定義された拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

演習問題