拡大実数値関数の連続性

拡大実数関数の有限な点における連続性

実数を値としてとり得る実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(x\rightarrow a\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ限りなく近づくとともに、その極限が\(f\left( a\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

一方、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)の場合に正の無限大に発散することとは、\(x\rightarrow a\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも大きくなること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。この場合、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

また、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)の場合に負の無限大に発散することとは、\(x\rightarrow a\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも小さくなること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}となります。この場合、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

では、拡大実数を値としてとり得る拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\)において連続であることをどのように定義すればよいでしょうか。点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が有限な実数であるとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)へ収束する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、やはり、\(f\)は点\(a\)において連続であるものと考えます。一方、拡大実数系\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\end{equation*}では正負の無限大\(\pm \infty \)が体系の中に含まれているため、点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が正の無限大であるとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく大きくなる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に正の無限大へ発散するものとみなさず、点\(a\)において連続であるものとみなします。同様に、点\(a\)における関数の値\(f\left( a\right) \)が負の無限大であるとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく小さくなる場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に負の無限大へ発散するものとみなさず、点\(a\)において連続であるものとみなします。以上を踏まえた上で、拡大実数値関数の連続性を以下のように定義します。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)において以下の3つの条件の中のどれかを満たす場合、\(f\)は点\(a\)において連続である（continuous at \(a\)）であると言います。

1つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続です。

2つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =+\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( |x-a|<\delta
\Rightarrow \lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)において連続です。

3つ目のケースは、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =-\infty \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( |x-a|<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}が成り立つ場合にも、\(f\)は点\(a\)において連続です。

以上の定義では、拡大実数値関数の点\(a\)における値\(f\left( a\right) \)が有限な値である場合と無限大である場合とで要求されている条件が異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。そのような作業は煩雑であるため、以上の3通りのパターンを1つの条件として包括的に表現できれば望ましいと言えます。詳細は後述します。

拡大実数値関数は連続であるとは限らない

拡大実数値関数は連続であるとは限りません。

まずは、拡大実数値関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束しないケースです。

続いて、拡大実数値関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するものの、その極限が\(f\left( a\right) \)とは一致しないケースです。

拡大実数値関数の連続性の包括的な表現

拡大実数値関数が連続であるために満たすべき条件は、関数の収束先が有限な実数である場合と無限大である場合とでは異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。ただ、拡大実数値関数が連続であることを以下のように統一的な形で表現することもできます。

集合上で連続な拡大実数値関数

先に例を通じて確認したように、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)は定義域\(X\)上のすべての点において連続であるとは限りません。\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)上で連続である（continuous on \(Y\)）と言います。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義域\(X\)上のすべての点において連続である場合、すなわち\(f\)が\(X\)上で連続である場合、そのことを\(f\)は連続である（continuous）と言うこともできます。

演習問題