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数直線の位相

可分空間としての実数空間

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可分空間としての実数空間

実数空間\(\mathbb{R} \)が可算集合であるような稠密部分集合を持つ場合、\(\mathbb{R} \)は可分空間(separable space)であると言います。実際、ユークリッド距離を導入した\(\mathbb{R} \)は可分空間です。なぜなら、具体例を挙げると、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は可算集合であるととともに\(\mathbb{R} \)の稠密部分集合だからです。

命題(実数空間は可分空間)
実数空間\(\mathbb{R} \)は可分空間である。具体的には、有理数集合\(\mathbb{Q} \)は可算集合であるとともに\(\mathbb{R} \)の稠密部分集合である。

\(\mathbb{R} \)が可分空間であることが明らかになりましたが、直感的にこれは何を意味するのでしょうか。\(\mathbb{R} \)は可分空間であり、可算な稠密部分集合\(X\)を持ちます。\(\mathbb{Q} \)はそのような集合\(X\)の具体例です。稠密部分集合の定義より、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、点\(x\)へ収束する\(X\)上の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することが保証されます。これは、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限に相当する実数\(x\)からいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点、すなわち\(X\)の要素が無数に存在することを意味します。しかも\(X\)は可算集合であるため、\(x\)からいくらでも近い場所にある\(X\)の要素の個数は可算です。つまり、実数\(x\)を任意に選んだとき、そこからいくらでも近い場所に可算個の\(X\)の要素が存在することが保証されるため、この事実を上手く利用することにより、非可算個の実数を対象とした複雑な議論を、可算個の\(X\)の要素を対象としたシンプルな議論へ帰着させることができます。

 

可分空間と第2可算公理の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)における開集合系\(\mathcal{O}\)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\ ,\exists \mathfrak{B}^{\prime }\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{B}^{\prime }
\end{equation*}を満たす開集合族\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\)を任意に選ぶということです。これは\(\mathbb{R} \)における任意の開集合\(A\)が\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表されることを意味します。ちなみに以上の条件は、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\ ,\forall a\in A,\ \exists B\in \mathfrak{B}:a\in
B\subset A
\end{equation*}と必要十分です。\(\mathbb{R} \)は第2可算公理を満たすため、可算集合であるような基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在することが保証されます。

先ほど、\(\mathbb{R} \)が可分空間であることを示す際に、可算な稠密部分集合の具体例として有理数集合\(\mathbb{Q} \)を挙げましたが、そのような具体例を挙げるまでもなく、\(\mathbb{R} \)が第2可算公理を満たすという事実から、\(\mathbb{R} \)が可分空間であることを導くこともできます。

命題(可分空間と第2可算公理)
実数空間\(\mathbb{R} \)は第2可算公理を満たす。この場合、\(\mathbb{R} \)は可分空間である。
証明

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