実数集合の完備部分集合
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくことを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。コーシー列の収束定理より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることと、その数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することは必要十分です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の要素を項として持つコーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。コーシー列は収束するため、このコーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束しますが、その極限は\(A\)の要素である場合と\(A\)の要素ではない場合の両方が起こり得ます。
まずは、集合\(A\)上のコーシー列の極限が\(A\)の要素である事例を挙げます。
\end{equation*}であるものとします。この数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \leq \frac{2}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。アルキメデスの性質より、それに対して、\begin{equation}\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left(3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。さらに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立ちます。
続いて、集合\(A\)上のコーシー列の極限が\(A\)の要素にならない事例を挙げます。
\end{equation*}であるものとします。この数列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{2m}-\frac{1}{2n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{2m}-\frac{1}{2n}\right\vert &\leq &\frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{2N}+\frac{1}{2N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{2N} \\
&=&\frac{1}{N}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{2m}-\frac{1}{2n}\right\vert \leq \frac{1}{N}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。アルキメデスの性質より、それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在します。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left(3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{2m}-\frac{1}{2n}\right\vert &\leq &\frac{1}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。その一方で、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\not\in \left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられた状況において\(A\)の要素を項として持つコーシー列\(\left\{x_{n}\right\} \)を選んだとき、その極限が\(A\)の要素になるケースと、その極限が\(A\)の要素にならないケースの双方が起こり得ることが明らかになりました。その一方で、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の要素を項として持つコーシー列を任意に選んだとき、その極限が\(A\)の要素になることが保証される場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{n}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in A
\end{equation*}が成り立つ場合には、このような集合\(A\)は完備である（complete）であると言います。
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{n}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)であるため、\(\left( b\right) \)およびコーシー列の定義より、\begin{equation}\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N_{1}\wedge n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert
x_{m}-x_{n}\right\vert <\frac{\varepsilon }{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界な数列であるため、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列の中には有限な実数へ収束するものが存在するため、それを\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)で表記します。その極限を\(L\in \mathbb{R} \)で表記すると、先の\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)に対して、\begin{equation}\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert x_{l\left( n\right) }-L\right\vert
<\frac{\varepsilon }{2}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、部分列の定義より\(l\)は狭義単調増加関数です。さらに、\(\left( a\right) \)および部分列の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{l\left( n\right) }\in \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、極限についても、\begin{equation}
L\in \left[ 0,1\right] \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおきます。その上で、\(n\geq N\)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}\left\vert x_{n}-L\right\vert &\leq &\left\vert x_{n}-x_{l\left( n\right)
}+x_{l\left( n\right) }-L\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{n}-x_{l\left( n\right) }\right\vert +\left\vert
x_{l\left( n\right) }-L\right\vert \\
&<&\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=L
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \left[ 0,1\right] \end{equation*}を得ます。したがって\(\left[ 0,1\right] \)は完備です。
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{n}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。数列がコーシー列であることとその数列が有限な実数へ収束することは必要十分であるため、\(\left( b\right) \)より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束します。つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} \)は完備です。
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が完備であることとは、\(A\)の要素を項として持つ任意のコーシー列が\(A\)上の点へ収束することとして定義されます。したがって、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が完備ではないこととは、\(A\)の要素と項として持つコーシー列の中に\(A\)上の点へ収束しないものが存在することを意味します。
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)の要素を項として持つコーシー列です。その一方で、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\not\in \left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\left( 0,1\right) \)は完備ではありません。
完備部分集合と閉集合の関係
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることとして定義されます。さらに、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の要素を項として持つ任意の収束列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限もまた\(A\)の点であることは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が完備である場合、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合になることが保証されます。
先の命題の逆もまた成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、\(A\)は完備であることが保証されます。
以上の2つの命題より、実数空間\(\mathbb{R} \)を舞台とした場合、その非空な部分集合が完備であることと、その集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることは概念として一致することが明らかになりました。
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