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カントールの縮小区間定理の一般化

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カントールの縮小区間定理

カントールの縮小区間定理(Cantor’s nested interval theorem)とは、入れ子構造の閉区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)が与えられたとき、その共通部分は空集合ではないという命題、すなわち、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つという命題です。つまり、入れ子構造の閉区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)に対しては、その要素であるすべての区間\(I_{1},I_{2},\cdots \)に属する実数が必ず存在します。しかも、そのような実数は常に1つだけ存在するとともに、その実数を具体的に求めることもできます。

命題(カントールの縮小区間定理)
実数空間\(\mathbb{R} \)における区間列\(\left\{I_{n}\right\} \)が入れ子構造の閉区間列であるものとする。つまり、その一般項\(I_{n}\)は\(a_{n}<b_{n}\)を満たす実数\(a_{n},b_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I_{n}=\left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}と表されるとともに、\begin{equation*}
I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立ち、さらに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( b_{n}-a_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の性質を満たす区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。しかも、この共通部分は1点集合であり、その唯一の要素は、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}\ \left( =\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }b_{n}\right)
\end{equation*}と一致する。

例(カントールの縮小区間定理)
区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}I_{n}=\left[ -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right] \end{equation*}として与えられているものとします。この区間列は入れ子構造の閉区間列であるため、カントールの縮小区間定理より、この区間列の共通部分は1点集合であるとともに、その唯一の要素は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0
\end{equation*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つということです。

例(カントールの縮小区間定理)
区間列\(\left\{ I_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}I_{n}=\left[ 0,\frac{1}{2n^{2}}\right] \end{equation*}として与えられているものとします。この区間列は入れ子構造の閉区間列であるため、カントールの縮小区間定理より、この区間列の共通部分は1点集合であるとともに、その唯一の要素は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }0=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n^{2}}\right) =0
\end{equation*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }I_{n}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}が成り立つということです。

 

カントールの縮小区間定理の一般化

カントールの縮小区間定理は入れ子構造の閉区間列に関する命題ですが、閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため、カントールの縮小区間定理と同様の主張が、入れ子構造のコンパクト集合列に関しても成立するのではないかという推測が立ちます。閉区間はコンパクト集合である一方、コンパクト集合は閉区間であるとは限らないため、仮に推測が正しければ、カントールの縮小区間定理を一般化できるということです。実際、これは正しい推測であることを以下で示します。

以下の3つの性質を満たす実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{n}\right\} \)について考えます。1つ目の性質は、この集合族のすべての項が空集合ではないということです。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。2つ目の性質は、この集合族のすべての項が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるということです。3つ目の性質は、この集合族\(\left\{ A_{n}\right\} \)が単調減少列であるということです。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\supset A_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。以上の3つの性質を満たす区間列を入れ子構造のコンパクト集合列(nested sequence of compact sets)と呼ぶこととしましょう。

入れ子構造のコンパクト集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)に対しても、カントールの縮小区間定理と同様、その共通部分は空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }A_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。入れ子構造のコンパクト集合列\(\left\{ I_{n}\right\} \)に対しては、その要素であるすべての集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)に属する実数が必ず存在します。証明では点列コンパクト集合の性質を利用します。

命題(縮小コンパクト集合列定理)
実数空間\(\mathbb{R} \)における集合列\(\left\{A_{n}\right\} \)が入れ子構造のコンパクト集合列であるものとする。つまり、その一般項\(A_{n}\)は非空のコンパクト集合であるとともに、\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の性質を満たす集合列\(\left\{ A_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }A_{n}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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