離散型の確率ベクトル
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて\(n\)個の確率変数\begin{eqnarray*}X_{1} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\vdots \\
X_{n} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられれば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して以下のベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) &=&\left( X_{1},\cdots ,X_{n}\right)
\left( \omega \right) \\
&=&\left( X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right)
\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}を値として定めるベクトル値写像\begin{equation*}
\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能であるとともに、これが確率ベクトルになることが保証されます。
確率ベクトルの定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\boldsymbol{X}^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選んだとき、「\(\boldsymbol{X}\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(\boldsymbol{X}\)を確率ベクトルと呼ぶということです。
以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)に対して、「確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{X}\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\
\boldsymbol{X}\left( \omega \right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{\boldsymbol{X}}\left( B\right) =P\left( \boldsymbol{X}\in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{\boldsymbol{X}}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の同時分布（joint distribution）と呼びます。
ベクトル値写像\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が確率ベクトルであるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq
\boldsymbol{x}\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。ただし、ここでの\(\leq \)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準的順序であり、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq \boldsymbol{x}\Leftrightarrow
X_{1}\left( \omega \right) \leq x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega
\right) \leq x_{n}
\end{equation*}を意味します。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、「\(\boldsymbol{X}\)の実現値が\(\boldsymbol{x}\)以下」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることは、写像\(\boldsymbol{X}\)が確率ベクトルであるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、「\(\boldsymbol{X}\)の実現値が\(\boldsymbol{x}\)以下」という事象の確率\begin{equation*}P\left( \boldsymbol{X}\leq \boldsymbol{x}\right) =P\left( \left\{ \omega \in
\Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq \boldsymbol{x}\right\}
\right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}F_{\boldsymbol{X}}\left( \boldsymbol{x}\right) =P\left( \boldsymbol{X}\leq
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{\boldsymbol{X}}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率ベクトル\(\boldsymbol{X}\)の同時分布関数（joint distribution function）と呼びます。
離散型の確率ベクトル
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がとり得る値の個数が有限ないし可算である場合には、すなわち、\(\boldsymbol{X}\)の値域\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) &=&\left\{ \boldsymbol{X}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ \left( X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega
\right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{eqnarray*}が高々可算集合（有限集合または可算集合）である場合には、\(\boldsymbol{X}\)を離散型の確率ベクトル（discrete random vector）と呼びます。
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。「\(i\)回目に得るポイント」特定する確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{表}\right) \\
-1 & \left( if\ \omega _{i}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。\(X_{i}\)の値域は、\begin{equation*}X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}です。確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) &=&\left( X_{1}\left( \omega \right)
,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,\cdots ,1\right) & \left( if\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,n\right\} :\omega _{i}=\text{表}\right) \\
\vdots & \\
\left( -1,\cdots ,-1\right) & \left( if\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,n\right\} :\omega _{i}=\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq
\boldsymbol{x}\right\} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \leq
x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \leq x_{n}\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}<-1\right)
\\
\vdots & \\
\Omega & \left( if\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\geq
1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\boldsymbol{X}\)は確率ベクトルです。加えて、\(\boldsymbol{X}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \left\{
1,-1\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 1,-1\right\} ^{n} \\
&=&X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right)
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(\boldsymbol{X}\)は離散型の確率ベクトルです。
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\omega _{i}\in \left\{
1,2,3,4,5,6\right\} \right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、任意の事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }
\end{equation*}を満たすものとして定義します。これらの組\begin{equation*}
\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。「最初の\(i\)投の目の合計」特定する確率変数\(X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X_{i}\left( \omega \right) =\omega _{1}+\cdots +\omega _{n}
\end{equation*}を定めます。\(X_{i}\)の値域は、\begin{equation*}X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,\cdots ,6n\right\}
\end{equation*}です。確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) &=&\left( X_{1}\left( \omega \right)
,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \\
&=&\left( \omega _{1},\cdots ,\omega _{1}+\cdots +\omega _{n}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \boldsymbol{X}\left( \omega \right) \leq
\boldsymbol{x}\right\} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{1}\left( \omega \right) \leq
x_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n}\left( \omega \right) \leq x_{n}\right\} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \omega _{1}\leq x_{1}\wedge \cdots \wedge
\omega _{1}+\cdots +\omega _{n}\leq x_{n}\right\} \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\boldsymbol{X}\)は確率ベクトルです。加えて、\(\boldsymbol{X}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) &=&\left\{ \left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ 1\leq x_{1}\leq 6\wedge \cdots \wedge n\leq x_{n}\leq 6n\right\} \\
&=&X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right)
\end{eqnarray*}です。
確率ベクトルの値域
確率ベクトル\(\boldsymbol{X}:\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{X}\left( \omega \right) &=&\left( X_{1}\left( \omega \right)
,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right) \right) \\
&\in &X_{1}\left( \Omega \right) \times \cdots \times X_{n}\left( \Omega
\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\boldsymbol{X}\)の値域は、\begin{equation*}\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) \subset X_{1}\left( \Omega \right)
\times \cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}を満たします。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{X}\left( \Omega \right) =X_{1}\left( \Omega \right) \times
\cdots \times X_{n}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚あるため、その値域は、\begin{equation*}
X_{i}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,\cdots ,13\right\}
\end{equation*}です。確率ベクトル\(\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{4}\)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \omega \right) =\left( \omega
\text{において}i\text{が得るスペードの枚数}\right) _{i=1}^{4}
\end{equation*}を定めますが、スペードのカードは全部で13枚あり、また、すべてのカードを4人に配る場合にはすべてのスペードもまた4人に配られるため、\(\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \)の値域は、\begin{eqnarray*}&&\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \Omega \right) \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=13\wedge \forall i\in \left\{
1,2,3,4\right\} :x_{i}\in \left\{ 0,1,\cdots ,13\right\} \right\}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \Omega \right) \subset
X_{1}\left( \Omega \right) \times X_{3}\left( \Omega \right) \times
X_{3}\left( \Omega \right) \times X_{4}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right) \left( \Omega \right) =X_{1}\left(
\Omega \right) \times X_{3}\left( \Omega \right) \times X_{3}\left( \Omega
\right) \times X_{4}\left( \Omega \right)
\end{equation*}は成り立ちません。4人に合計13枚より多いスペードを配ることはできないからです。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】