数列の定数倍の上極限や上極限は有限であるとは限らない
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}c\cdot x_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)が定義可能です。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限が有限な実数として定まる場合でも、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の上極限は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
-n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この数列の上極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=1
\end{equation*}です。数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)はもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定数倍（\(-1\)倍）であり、その一般項は、\begin{equation*}-x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}ですが、その上極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left( -x_{n}\right) =+\infty
\end{equation*}です（演習問題）。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下極限が有限な実数として定まる場合でも、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の下極限は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この数列の下極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=-1
\end{equation*}です。数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)はもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定数倍（\(-1\)倍）であり、その一般項は、\begin{equation*}-x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
-n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}ですが、その下極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left( -x_{n}\right) =-\infty
\end{equation*}です（演習問題）。
数列の非負の定数倍の上極限と下極限
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限が有限な実数として定まるとともに\(c\)が非負の実数である場合には、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の上極限もまた有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup c\cdot x_{n}=c\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
冒頭で例示したように、定数\(c\)が負の場合、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の上極限は有限になるとは限りません。加えて、定数\(c\)が負である場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の上極限がともに有限である場合でも、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup c\cdot x_{n}=c\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるものとします。この数列の上極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=1
\end{equation*}です。数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)はもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定数倍（\(-1\)倍）ですが、この数列の上極限もまた、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left( -x_{n}\right) =1
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left( -x_{n}\right) =-\lim_{n\rightarrow
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成立していません（演習問題）。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下極限が有限な実数として定まるとともに\(c\)が非負の実数である場合には、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の下極限もまた有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf c\cdot x_{n}=c\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
冒頭で例示したように、定数\(c\)が負の場合、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の下極限は有限になるとは限りません。加えて、定数\(c\)が負である場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の下極限がともに有限である場合でも、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf c\cdot x_{n}=c\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}は成立するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}であるものとします。この数列の下極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=-1
\end{equation*}です。数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)はもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定数倍（\(-1\)倍）ですが、この数列の下極限もまた、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left( -x_{n}\right) =-1
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left( -x_{n}\right) =-\lim_{n\rightarrow
\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成立していません（演習問題）。
数列の負の定数倍の上極限と下極限
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上極限が有限な実数として定まるとともに\(c\)が負の実数である場合には、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の下極限もまた有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf c\cdot x_{n}=c\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下極限が有限な実数として定まるとともに\(c\)が負の実数である場合には、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の上極限もまた有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf c\cdot x_{n}=c\cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。
\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
=-\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left( -x_{n}\right)
=-\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
-n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この数列の上極限が、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup x_{n}=1
\end{equation*}であることを示してください。その上で、数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)の上極限は有限な実数として定まらないことを示してください。
\end{equation*}であるものとします。以下の関係\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left( -x_{n}\right) =-\lim_{n\rightarrow
\infty }\sup x_{n}
\end{equation*}が成立しないことを確認してください。
\begin{array}{cc}
-1 & \left( if\ n\text{は奇数}\right) \\
n & \left( if\ n\text{は偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この数列の下極限が、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf x_{n}=-1
\end{equation*}であることを示してください。その上で、数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)の下極限は有限な実数として定まらないことを示してください。
\end{equation*}であるものとします。以下の関係\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left( -x_{n}\right) =-\lim_{n\rightarrow
\infty }\inf x_{n}
\end{equation*}が成立しないことを確認してください。
