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数列

数列の差の極限(差の法則)

目次

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収束する数列どうしの差の極限

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}-y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が定義可能です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、有限な実数へ収束する数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の差の形をしている数列\(\left\{x_{n}-y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限から\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を引けば\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限が得られます。したがって、何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の差の形をしている数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

命題(収束する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するならば\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成立する。

証明

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例(収束する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{2n}-\frac{3}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n}-\frac{3}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n}\right) -\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{3}{n}\right) \quad \because \text{数列の差の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right)
-3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because
\text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 0-3\cdot 0\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(収束する数列の極限の一意性)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合、その極限は1つの実数として定まりますが、同じことを差の法則を用いて証明できます。実際、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が異なる2つの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)へ収束するものと仮定すると、すなわち、\begin{eqnarray}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&a \quad \cdots (1) \\
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&b \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}がともに成り立つものと仮定すると、\begin{eqnarray*}
a-b &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow +\infty
}x_{n}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( x_{n}-x_{n}\right) \quad \because
\text{差の法則} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a=b
\end{equation*}となりますが、これは\(a\not=b\)と矛盾です。したがって背理法より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は一意的です。

 

発散する数列どうしの差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大に\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)に発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray}\left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty \quad \cdots (2) \\
\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \quad \cdots (4) \\
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \quad \cdots (5)
\end{eqnarray}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) \quad \because \left(
4\right) ,\left( 5\right) \\
&=&+\infty \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \quad \cdots (6) \\
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \quad \cdots (7)
\end{eqnarray}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \quad \because \left(
6\right) ,\left( 7\right) \\
&=&-\infty \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(発散する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(発散する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-4n-3n^{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-4n-3n^{2}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -4n\right) -\lim_{n\rightarrow \infty
}\left( 3n^{2}\right) \quad \because \text{数列の差の極限} \\
&=&\left( -4\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n-3\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -4\right) \cdot \left( +\infty \right) -3\cdot \left( +\infty
\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がともに\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに\(-\infty \)へ発散する場合などには、以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能です。

ただ、このような場合においても、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

例(不定形の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n-n^{2}
\end{equation*}であるものとします。左側の数列\(\left\{ n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty
\end{equation*}が成り立ち、右側の数列\(\left\{ n^{2}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、この数列の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
n-n^{2}\right)
\end{equation*}は\(\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \)型の不定形です。

 

収束する数列と発散する数列の差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( +\infty \right) =+\infty \quad \cdots (2) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :c+\left( -\infty \right) =-\infty \quad \cdots (3) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( +\infty \right) +c=+\infty \quad \cdots (4) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( -\infty \right) +c=-\infty \quad \cdots (5)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\left( -\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( +\infty \right) -\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\left( -\infty \right) -\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&-\infty \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(収束する数列と発散する数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(収束する数列と発散する数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{1}{n}-2n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}-2n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right) -\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 2n\right) \quad \because \text{数列の差の極限} \\
&=&\left( -1\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) -2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -1\right) \cdot 0-2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0-\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(数列の差の極限)
有限な実数へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間に、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。本文中では、これを収束する2つの数列の和として定義される数列が収束するという事実を用いて証明しましたが、同じことを、イプシロン・エヌ論法を用いて証明してください。

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問題(差の法則が要求する条件の吟味)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には、本文中で示した命題より、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束します。そこで、数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が有限な実数へ収束しない場合には、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
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問題(差の法則が要求する条件の吟味)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には、本文中で示した命題より、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束します。その一方で、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する一方で数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が有限な実数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
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問題(差の法則の応用)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が与えられた状況において数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義します。\(\left\{ y_{n}\right\} \)と\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することを示してください。
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問題(数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=3n^{4}-\frac{3}{n^{3}}+4n
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(数列の差の極限)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}は必ず成り立つと言えるでしょうか。議論してください。

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問題(数列の差の極限)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束し、\(\left\{y_{n}-x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束するものとします。この場合、\(\left\{ y_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と同じ極限へ収束すると言えるでしょうか。議論してください。
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