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SEQUENCE OF NUMBERS

数列の差の極限

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収束する数列どうしの差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}-y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するならば\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)の差の形をしている数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限から\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を引けば\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列どうしの差の形をしている数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{2n}-\frac{3}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n}-\frac{3}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2n}\right) -\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{3}{n}\right) \quad \because \text{収束する数列の差の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right)
-3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \quad \because
\text{収束する数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 0-3\cdot 0\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

発散する数列どうしの差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、一方が正の無限大に\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)に発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(発散する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(発散する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-4n-3n^{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-4n-3n^{2}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -4n\right) -\lim_{n\rightarrow \infty
}\left( 3n^{2}\right) \quad \because +\infty \text{に発散する数列と}-\infty \text{に発散する数列の差の極限} \\
&=&\left( -4\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n-3\cdot
\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\quad \because \text{発散する数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -4\right) \cdot \left( +\infty \right) -3\cdot \left( +\infty
\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

ちなみに、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) =\left( +\infty \right)
+\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) -\left( -\infty \right) =\left( -\infty \right)
+\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらは不定形だからです。ただ、このような場合においても、数列の差が有限な実数へ収束しないとは限りません。数列の極限の差が不定形である場合でも、その数列の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限の差が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

 

収束する数列と発散する数列の差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\forall c &\in &\mathbb{R} :c-\left( +\infty \right) =-\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :c-\left( -\infty \right) =+\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( +\infty \right) -c=+\infty \\
\forall c &\in &\mathbb{R} :\left( -\infty \right) -c=-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(収束する数列と発散する数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}を満たす。

証明

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例(収束する数列と発散する数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{1}{n}-2n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}-2n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right) -\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 2n\right) \quad \because \text{収束する数列と発散する数列の差の極限} \\
&=&\left( -1\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) -2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\left( -1\right) \cdot 0-2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0-\left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(数列の差の極限)
繰り返しになりますが、有限な実数へ収束する2つの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間に、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。本文中では、これを収束する2つの数列の和として定義される数列が収束するという事実を用いて証明しましたが、同じことを、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

証明

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問題(数列の差の極限)
2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)がともに発散するとき、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することはあり得るでしょうか。議論してください。
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問題(数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=3n^{4}-\frac{3}{n^{3}}+4n
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(数列の差の極限)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}は必ず成り立つと言えるでしょうか。議論してください。

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問題(数列の差の極限)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束し、\(\left\{y_{n}-x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束するものとします。この場合、\(\left\{ y_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と同じ極限へ収束すると言えるでしょうか。議論してください。
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次回は数列の積の極限について解説します。

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