数列の差の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の差を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大に発散する数列と負の無限大に発散する数列の間にも同様の関係が成り立ちます。
数列 定数倍
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収束する数列どうしの差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それらの一般項の差\(x_{n}-y_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)を構成できます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ x_{n}+\left( -y_{n}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-y_{n}\right) \quad \because \text{収束する数列どうしの和の極限} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad
\because \text{収束する数列の定数倍の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

命題(収束する数列どうしの差の極限)
収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束することが分かっている場合には、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が収束することを収束数列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限を得るためには\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限の差をとればよいということになります。

例(収束する数列どうしの差の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となります。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+1}{n}\)として与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)も収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1 \tag{2}
\end{equation}となります。すると、先の命題より数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \text{収束する数列どうしの差の極限} \\
&=&2-1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。同様に、数列\(\left\{ 2x_{n}-3y_{n}\right\} \)も収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}-3y_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\right) -\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3y_{n}\right) \quad \because \text{収束する数列どうしの差の極限} \\
&=&2\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-3\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad
\because \text{収束する数列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot 2-3\cdot 1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) -\left( -\infty \right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると(確認してください)、\(\left( 1\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散するという主張に相当します。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとします。このとき、数列\(\left\{ -y_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散するため(確認してください)、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ x_{n}+\left( -y_{n}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-y_{n}\right) \quad \because +\infty \text{に発散する数列どうしの和の極限} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad
\because \text{発散する数列の定数倍の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合にも数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{2}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation*}
\left( -\infty \right) -\left( +\infty \right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると(確認してください)、\(\left( 2\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)は負の無限大\(-\infty \)へ発散するという主張に相当します。

命題(発散する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、一方が正の無限大に\(+\infty \)に発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\}\)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を満たす。
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例(発散する数列どうしの差の極限)
一般項が\(x_{n}=-2x\)で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \tag{1}
\end{equation}が成り立ち、一般項が\(y_{n}=y^{2}\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ 2x_{n}-3y_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 2x_{n}\right) -\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
3y_{n}\right) \\
&=&2\lim_{n\rightarrow \infty }-3\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&2\cdot \left( -\infty \right) -3\cdot \left( +\infty \right) \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大に発散する場合や、ともに負の無限大に発散する場合には、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}
&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが(確認してください)、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。数列の極限の差が不定形になる場合の対処方法については、場を改めて解説します。

 

収束する数列と発散する数列の差の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
c-\left( +\infty \right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると(確認してください)、\(\left( 1\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散するという主張に相当します。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散するものとします。このとき、数列\(\left\{ -y_{n}\right\} \)は負の無限大\(-\infty \)へ発散するため(確認してください)、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ x_{n}+\left( -y_{n}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-y_{n}\right) \quad \because \text{収束する数列と発散する数列の和の極限} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad
\because \text{発散する数列の定数倍の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{2}
\end{equation}が成り立つことが示されます(演習問題にします)。ただし、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、任意の実数\(c\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
c-\left( -\infty \right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると(確認してください)、\(\left( 4\right) \)は、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散するという主張に相当します。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大または負の無限大へ発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して\(\left( 2\right) \)が成り立ちます(演習問題にします)。

命題(収束する数列と発散する数列の差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、一方が収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を満たす。
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例(収束する数列と発散する数列の差の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となり、一般項が\(y_{n}=2n\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。したがって、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&2-\left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&-\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

数列の差の極限

本節では数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の差に相当する数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限について考えました。その上で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が正の無限大に発散し他方が負の無限大に発散する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が収束し他方が正の無限大もしくは負の無限大に発散する場合などには、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が正の無限大または負の無限大に発散する場合については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義が前提になっています。

一方、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大に発散する場合や、ともに負の無限大に発散する場合には、それらの極限の差\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}は不定形になってしまうため、数列\(\left\{ x_{n}-y_{n}\right\} \)の極限を求める際に\(\left( 1\right) \)の関係を利用することはできません。不定形の場合の対処方法については、場を改めて解説します。

次回は数列の積の極限について解説します。

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