\(\mathbb{R}\)に属するすべての実数と正負の無限大\(+\infty ,-\infty \)からなる集合を\(\mathbb{R}^{\ast }=\mathbb{R}\cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}\)で表し、これを拡大実数系と呼びます。
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拡大実数系

復習になりますが、正の無限大\(+\infty \)と負の無限大\(+\infty \)をそれぞれ、任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たす概念として定義されます。つまり、負の無限大\(-\infty \)は任意の実数より小さく、正の無限大\(+\infty \)は任意の実数よりも大きいということです。ただし、正負の無限大はいずれも実数ではなく、上の関係を満たす形式的な記号にすぎないことに注意してください。なお、正の無限大を\(\infty \)で表記することもできます。

\(\mathbb{R} \)に属するすべての実数と正負の無限大\(+\infty ,-\infty \)からなる集合を、\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{\ast }=\mathbb{R} \cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}
\end{equation*}で表し、これを拡大実数系(extended real number system)と呼びます。拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)について考えているとき、その要素\(x\in \mathbb{R} ^{\ast }\)が正負の無限大ではなく実数であることを強調したい場合には、すなわち\(x\in \mathbb{R} \)であることを強調したい場合には、\(x\)を有限な実数(finite real number)と呼びます。

例(拡大実数系)
拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の部分集合の中でも、以下の表記が頻繁に使われます。\begin{eqnarray*}
&\mathbb{R} =&\left\{ x\ |\ -\infty <x<+\infty \right\} \\
&\mathbb{R} _{+}=&\left\{ x\ |\ 0\leq x<+\infty \right\} \\
&\mathbb{R} _{-}=&\left\{ x\ |\ -\infty <x\leq 0\right\} \\
&\mathbb{R} _{+}^{\ast }=&\mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \\
&\mathbb{R} _{-}^{\ast }=&\mathbb{R} _{-}\cup \left\{ -\infty \right\} \\
&\mathbb{R} ^{\ast }=&\left\{ x\ |\ -\infty \leq x\leq +\infty \right\}
\end{eqnarray*}

 

拡大実数系における演算

拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)においては、任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&x+\left( +\infty \right)
=\left( +\infty \right) +x=+\infty \\
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&x+\left( -\infty \right)
=\left( -\infty \right) +x=-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つものと定めます。つまり、正の無限大どうしの和や、有限な実数と正の無限大の和をいずれも正の無限大と定め、負の無限大どうしの和や、有限な実数と負の無限大の和をいずれも負の無限大と定めるということです。一方、符号が異なる無限大どうしの和である、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) ,\quad \left( -\infty \right)
+\left( +\infty \right)
\end{equation*}などはいずれも定義不可能であるものと定めます。これらを不定形(indeterminate forms)と呼びます。

拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)においては、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&-\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}などが成り立つものと定めます。つまり、正の無限大どうしの積や負の無限大どうしの積はいずれも正の無限大であり、正の無限大と負の無限大の積を負の無限大と定めるということです。また、\(0\)とは異なる任意の実数\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&x\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty \right) \cdot x=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad x>
>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right. \\
&&x\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty \right) \cdot x=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad x>
>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}などが成り立つものと定めます。つまり、無限大に正の実数をかけてもそのままですが、無限大に負の実数をかけると無限大の符号が変わります。一方、\(0\)と無限大の積\begin{equation*}
0\cdot \left( +\infty \right) ,\quad \left( +\infty \right) \cdot 0,\quad
0\cdot \left( -\infty \right) ,\quad \left( -\infty \right) \cdot 0
\end{equation*}などはいずれも定義不可能であるものと定めます。これらも不定形です。また、任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
\dfrac{x}{+\infty }=\dfrac{x}{-\infty }=0
\end{equation*}が成り立つものと定めます。つまり、実数を無限大で割ると\(0\)になります。一方、無限大どうしの商である、\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty },\quad \frac{+\infty }{-\infty },\quad \frac{-\infty }{+\infty },\quad \frac{-\infty }{-\infty }
\end{equation*}などはいずれも定義不可能であるものと定めます。これらも不定形です。最後に、正負の無限大の絶対値を、\begin{equation*}
\left\vert +\infty \right\vert =\left\vert -\infty \right\vert =+\infty
\end{equation*}と定めます。

繰り返しになりますが、正負の無限大は上の条件を満たす形式的な記号にすぎず、それ以上の意味は付与されていません。とは言え、以上の諸条件はいずれも無限大という概念が満たすと思われる性質を定式化したものになっています。

次回から数列について学びます。

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