拡大実数系と不定形

拡大実数系

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、\(+\infty \)と\(-\infty \)をそれぞれ、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たす概念として定義します。つまり、\(-\infty \)は任意の実数より小さく、\(+\infty \)は任意の実数よりも大きいということです。ただし、\(+\infty \)と\(-\infty \)はともに有限な実数ではなく、上の関係を満たす形式的な記号にすぎないことに注意してください。\(+\infty \)を正の無限大（positive infinity）と呼び、\(-\infty \)を負の無限大（negative infinity）と呼びます。また、\(+\infty \)と\(-\infty \)を総称して無限大（infinity）と呼びます。正の無限大\(+\infty \)については、これを\(\infty \)と表記することもできます。また、正負の無限大をあわせて\(\pm \infty \)と表記することもできます。

実数空間\(\mathbb{R} \)に属するすべての実数と正負の無限大\(+\infty,-\infty \)からなる集合を、\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを拡大実数系（extended real number system）と呼びます。拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)について考えている場合、その要素\(x\in \overline{\mathbb{R} }\)が正ないし負の無限大ではなく実数であることを強調したい場合には、すなわち\(x\in \mathbb{R} \)であることを強調したい場合には、\(x\)を有限な実数（finite real number）と呼びます。

拡大実数系における演算

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上にも加法\(+\)と乗法\(\cdot \)を定義します。これらが有限な実数どうしを対象に演算を行う場合には先のルールにしたがうものと定めます。加えて、有限な実数と無限大を対象とした演算や、無限大どうしを対象とした演算を行う場合には、以下のルールにしたがうものと定めます。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においては、\begin{eqnarray*}&\forall x\in &\mathbb{R} :x+\left( +\infty \right) =\left( +\infty \right) +x=+\infty \\
&\forall x\in &\mathbb{R} :x+\left( -\infty \right) =\left( -\infty \right) +x=-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つものと定めます。つまり、有限な実数と正の無限大の和を正の無限大と定め、有限な実数と負の無限大の和を負の無限大と定めます。また、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つものと定めます。つまり、正の無限大どうしの和は正の無限大であり、負の無限大どうしの和は負の無限大です。その一方で、符号が異なる無限大どうしの和である、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) ,\quad \left( -\infty \right)
+\left( +\infty \right)
\end{equation*}はともに定義不可能であるものと定めます。拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において定義不可能とされるものを不定形（indeterminate forms）と呼びます。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においては、\begin{eqnarray*}&\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :x\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty
\right) \cdot x=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right. \\
&\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :x\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty
\right) \cdot x=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad x>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が成り立つものと定めます。つまり、無限大に正の実数をかけてもそのままですが、無限大に負の実数をかけると無限大の符号が変わります。また、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&-\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つものと定めます。つまり、正の無限大どうしの積や負の無限大どうしの積はいずれも正の無限大であり、正の無限大と負の無限大の積を負の無限大です。その一方で、\(0\)と無限大の積である、\begin{equation*}0\cdot \left( +\infty \right) ,\quad \left( +\infty \right) \cdot 0,\quad
0\cdot \left( -\infty \right) ,\quad \left( -\infty \right) \cdot 0
\end{equation*}はいずれも定義不可能であるものと定めます。これらは不定形です。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においては、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\dfrac{x}{+\infty }=\dfrac{x}{-\infty }=0
\end{equation*}が成り立つものと定めます。つまり、実数を無限大で割ると\(0\)になります。その一方で、無限大どうしの商である、\begin{equation*}\frac{+\infty }{+\infty },\quad \frac{+\infty }{-\infty },\quad \frac{-\infty }{+\infty },\quad \frac{-\infty }{-\infty }
\end{equation*}などはいずれも定義不可能であるものと定めます。これらは不定形です。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)においては、正負の無限大の絶対値を、\begin{equation*}\left\vert +\infty \right\vert =\left\vert -\infty \right\vert =+\infty
\end{equation*}と定めます。また、\begin{equation*}
0^{0},\quad \left( +\infty \right) ^{0},\quad \left( -\infty \right)
^{0},\quad 1^{+\infty },\quad 1^{-\infty }
\end{equation*}などはいずれも定義不可能であるものと定めます。これらは不定形です。

拡大実数系における順序

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上にも大小関係\(\leq \)を定義します。これらが有限な実数どうしを比較する際には冒頭のルールにしたがうものと定めます。加えて、正の無限大\(+\infty \)と負の無限大\(+\infty \)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :-\infty <x<+\infty
\end{equation*}を満たすものと定義されているため、以下の関係\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &\mathbb{R} :-\infty <x \\
\forall x &\in &\mathbb{R} :x<+\infty \\
-\infty &<&+\infty
\end{eqnarray*}がいずれも成立することになります。

拡大実数\(x\in \overline{\mathbb{R} }\)が正の無限大であることを、\begin{equation*}x=+\infty
\end{equation*}で表記し、\(x\)が負の無限大であることを、\begin{equation*}x=-\infty
\end{equation*}で表記します。その上で、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上における区間を以下のように表記します。つまり、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( x,+\infty \right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x<y<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <y<x\right\} \\
\left[ x,+\infty \right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x\leq y\leq +\infty \right\} \\
\left[ -\infty ,x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty \leq y\leq x\right\} \\
\left[ x,+\infty \right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x\leq y<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,x\right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <y\leq x\right\} \\
\left( x,+\infty \right] &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ x<y\leq +\infty \right\} \\
\left[ -\infty ,x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ -\infty \leq y<x\right\} \\
\left( -\infty ,+\infty \right) &=&\mathbb{R} \\
\left[ -\infty ,+\infty \right] &=&\overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}と定めます。

実数空間\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が上に有界ではないものとします。正の無限大の定義より、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つため、正の無限大\(+\infty \)を便宜的に\(A\)の上界とみなすことができます。加えて、やはり正の無限大の定義より、\begin{equation*}+\infty <y
\end{equation*}を満たす実数\(y\in \mathbb{R} \)は存在しないため、\(+\infty \)を\(A\)の最小の上界、すなわち\(A\)の上限とみなすことができます。このような事情を踏まえた上で、\(A\)が上に有界でない場合には、そのことを、\begin{equation*}\sup A=+\infty
\end{equation*}と表記してもよいものと定めます。

このような事情を踏まえると、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の任意の部分集合\(A\)に対してその上限が存在することが保証されるとともに、\begin{equation*}\sup A=\left\{
\begin{array}{cl}
\in \mathbb{R} & \left( if\ A\text{は上に有界である}\right) \\
+\infty & \left( if\ A\text{は上に有界ではない}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。空集合\(\phi \subset \overline{\mathbb{R} }\)に対しては、\begin{equation*}\sup \left( \phi \right) =-\infty
\end{equation*}と定めます。

実数空間\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が下に有界ではないものとします。負の無限大の定義より、\begin{equation*}\forall x\in A:-\infty \leq x
\end{equation*}が成り立つため、負の無限大\(-\infty \)を便宜的に\(A\)の下界とみなすことができます。加えて、やはり負の無限大の定義より、\begin{equation*}y<-\infty
\end{equation*}を満たす実数\(y\in \mathbb{R} \)は存在しないため、\(+\infty \)を\(A\)の最大の下界、すなわち\(A\)の下限とみなすことができます。このような事情を踏まえた上で、\(A\)が下に有界でない場合には、そのことを、\begin{equation*}\inf A=-\infty
\end{equation*}と表記してもよいものと定めます。

このような事情を踏まえると、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の任意の部分集合\(A\)に対してその下限が存在することが保証されるとともに、\begin{equation*}\inf A=\left\{
\begin{array}{cl}
\in \mathbb{R} & \left( if\ A\text{は下有界である}\right) \\
-\infty & \left( if\ A\text{は下有界ではない}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。空集合\(\phi \subset \overline{\mathbb{R} }\)に対しては、\begin{equation*}\inf \left( \phi \right) =+\infty
\end{equation*}と定めます。

演習問題