実数の公理系
公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right]
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。
ただし、これらは\(\mathbb{R} \)上に定義された\(+,\cdot ,\leq \)に固有の性質ではありません。\(\mathbb{R} \)の部分集合である有理数空間\(\mathbb{Q} \)上に定義された\(+,\cdot ,\leq \)もまた同様の性質を満たします。では、\(\mathbb{R} \)において成立する一方で\(\mathbb{Q} \)において成立しないような性質は存在するのでしょうか。言い換えると、数集合としての\(\mathbb{R} \)を特徴づけるような何らかの性質は存在するのでしょうか。仮にそのような性質が存在するのであればそれを実数の公理に加えることにより、本当の意味での「実数の公理系」が完成します。以下ではそのような性質について考察します。
有理数集合のデデキント切断による実数の定義
数直線上には有理数が細かく密集して分布しているものの、有理数とは異なる数である無理数もまた無数に存在することが明らかになりました。有理数集合\(\mathbb{Q} \)は隙間だらけであり、その隙間を埋めているのが無理数であるということです。以上の主張を集合の概念を用いて厳密に表現するためにデデキント切断と呼ばれる概念を導入しました。簡単に復習します。
有理数集合\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断（Dedekind cut）とは、\(\mathbb{Q} \)を以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cup B=\mathbb{Q} \\
&&\left( b\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \ \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b\in \mathbb{Q} :\left[ \left( a\in A\wedge b\in B\right) \Rightarrow a<b\right]
\end{eqnarray*}を満たす2つの部分集合\(A,B\)に分割した場合の\(A\)と\(B\)の対のことであり、これを、\begin{equation*}\left\langle A,B\right\rangle
\end{equation*}で表記します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)までの条件は、\(\mathbb{Q} \)を空集合ではない2つの集合\(A,B\)に分割したものが\(\left\langle A,B\right\rangle \)であることを意味し、条件\(\left( e\right) \)は、\(B\)の任意の要素が\(A\)の任意の要素よりも大きいことを意味します。
\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を数直線を用いて表現したものが上の図です。数直線上のそれぞれの目盛りは有理点を表しています。\(A,B\)はともに有理点からなる非空の集合ですが、\(\mathbb{Q} \)の切断の定義より、それぞれの有理点は\(A,B\)のどちらか一方に属するとともに、\(A\)に属する任意の有理点は、\(B\)に属する任意の有理点よりも左側に位置します。
点\(P\)は2つの有理数集合\(A,B\)を分離する境界点であり、その座標\(p\)は以下の条件\begin{equation*}\forall a\in A,\ \forall b\in B:a\leq p\leq b
\end{equation*}を満たす実数です。\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)に対してその境界点\(P\)は一意的に定まります。点\(P\)が\(A,B\)の双方に属する事態は起こり得ず、以下の3通りのパターン\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{の要素だが}B\text{の要素ではない（}p\text{は}A\text{の最大値に相当する有理数）} \\
&&\left( b\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{の要素ではないが}B\text{の要素である（}p\text{は}B\text{の最小値に相当する有理数）} \\
&&\left( c\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{と}B\text{のどちらの要素でもない（}p\text{は無理数）}
\end{eqnarray*}だけが起こり得ます。
同じことを\(\mathbb{Q} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を構成する2つの集合\(A,B\)の性質として表現することもできます。切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)について\(\max A\)と\(\min B\)がともに存在する事態は起こり得ず、以下の3通りのパターン\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する} \\
&&\left( c\right) \ \max A\text{と}\min B\text{がともに存在しない}
\end{eqnarray*}だけが起こり得ます。\(\left( a\right) \)または\(\left( b\right) \)を満たす\(\mathbb{Q} \)の切断には有理数が1対1で対応し、\(\left( c\right) \)を満たす\(\mathbb{Q} \)の切断には無理数が1対1で対応します。つまり、\(\mathbb{Q} \)の切断は実数（有理数および無理数）と1対1で対応しているため、\(\mathbb{Q} \)の切断と実数を同一視できます。したがって、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)と\(\mathbb{Q} \)の切断をすべて集めてできる集合は一致します。
実数の切断と実数の連続性
実数集合\(\mathbb{R} \)に対しても、\(\mathbb{Q} \)の場合と同じように、そのデデキント切断を定義します。すなわち、\(\mathbb{R} \)のデデキント切断とは、\(\mathbb{R} \)を以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cup B=\mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( c\right) \ A\not=\phi \ \\
&&\left( d\right) \ B\not=\phi \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} :\left[ \left( a\in A\wedge b\in B\right) \Rightarrow a<b\right]
\end{eqnarray*}を満たす2つの部分集合\(A,B\)に分割した場合の\(A\)と\(B\)の対のことであり、これを、\begin{equation*}\left\langle A,B\right\rangle
\end{equation*}で表記します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)までの条件は、\(\mathbb{R} \)を空集合ではない2つの集合\(A,B\)に分割したものが\(\left\langle A,B\right\rangle \)であることを意味し、条件\(\left( e\right) \)は、\(B\)の任意の要素が\(A\)の任意の要素よりも大きいことを意味します。
\(\mathbb{R} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)が与えられたとき、2つの実数集合\(A,B\)を分離する境界点\(P\)の座標\(p\)は以下の条件\begin{equation*}\forall a\in A,\ \forall b\in B:a\leq p\leq b
\end{equation*}を満たす実数です。\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)に対しては、点\(P\)が\(A,B\)の双方に属する事態は起こり得ず、以下の3通りのパターン\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{の要素だが}B\text{の要素ではない（}p\text{は}A\text{の最大値に相当する有理数）} \\
&&\left( b\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{の要素ではないが}B\text{の要素である（}p\text{は}B\text{の最小値に相当する有理数）} \\
&&\left( c\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{と}B\text{のどちらの要素でもない（}p\text{は無理数）}
\end{eqnarray*}だけが起こりことを示しました。一方、すべての無理数を\(\mathbb{Q} \)に加えることで得られる集合が\(\mathbb{R} \)であるため、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)に関しては、\(A\)と\(B\)の境界である点\(P\)の座標\(p\)は\(A\)と\(B\)のどちらか一方に属することが保証されます。つまり、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)については\(\left( c\right) \)は起こり得ず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{の要素だが}B\text{の要素ではない（}p\text{は}A\text{の最大値に相当する実数）} \\
&&\left( b\right) \ \text{点}P\text{は}A\text{の要素ではないが}B\text{の要素である（}p\text{は}B\text{の最小値に相当する実数）}
\end{eqnarray*}だけが起こり得ます。以上の事実は\(\mathbb{R} \)において成立する一方で\(\mathbb{Q} \)において成立しないような性質であるため、数集合としての\(\mathbb{R} \)を特徴づけるような性質であると言えます。
同じことを\(\mathbb{R} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を構成する2つの集合\(A,B\)の性質として表現することもできます。\(\mathbb{R} \)のデデキント切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)については、\(\max A\)と\(\min B\)がともに存在する事態や、\(\max A\)と\(\min B\)がともに存在しない事態は起こり得ず、以下の2通りのパターン\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}だけが起こり得ます。\(\left( a\right) \)または\(\left( b\right) \)を満たす\(\mathbb{R} \)の切断には実数が1対1で対応します。つまり、\(\mathbb{R} \)の切断は実数と1対1で対応しているため、\(\mathbb{R} \)の切断と実数を同一視できます。したがって、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)と\(\mathbb{R} \)の切断をすべて集めてできる集合は一致します。
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}
以上の命題より、\(\left(a\right) \)および\(\left( d\right) \)を満たす\(\mathbb{R} \)の切断は存在せず、\(\left( b\right) \)もしくは\(\left( c\right) \)を満たす\(\mathbb{R} \)の切断には実数が1対1で対応しているため、\(\left( b\right) \)もしくは\(\left( c\right) \)を満たす実数の切断と実数を同一視できます。つまり、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)とは、\(\left( b\right) \)もしくは\(\left( c\right) \)を満たす\(\mathbb{R} \)の切断からなる集合であるということです。
実数の連続性の公理
繰り返しになりますが、有理点は数直線上に稠密に分布していますが、実際には、数直線上には有理点ではない点が存在しており、有理点だけでは数直線は隙間だらけです。言い換えると、\(\mathbb{Q} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)によって定まる数直線上の境界点\(P\)は有理点であるとは限らないため、そのような点\(P\)の座標\(p\)を無理数として定義しました。こうして得られる無理数を\(\mathbb{Q} \)に加えて得られるのが\(\mathbb{R} \)であるため、数直線上の点の中に実数座標の与えられていない点は存在しません。つまり、実数を座標とする点は数直線上に連続に分布しており、その意味において実数の間には隙間が存在しません。このような性質を\(\mathbb{R} \)の連続性（continuity）と呼びます。言い換えると、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)によって定まる数直線上の境界点\(P\)には必ず実数の座標が与えられているため、これは\(A\)と\(B\)のどちらか一方に属することが保証されるため、先の命題が成り立ちます。したがって、先の命題によって\(\mathbb{R} \)の連続性を定義することもできます。
これまでの議論では、有理数や実数などに関して私たちが持っている感覚をもとに、有理数や実数の切断の概念を定義した上で、実数集合\(\mathbb{R} \)が連続性と呼ばれる性質を満たすことを命題として「証明」しました。一方、公理主義的実数論においては、実数の連続性を命題として扱うのではなく、これを実数集合\(\mathbb{R} \)が満たすべき公理の1つとして位置付けます。これを連続性の公理（axiom of continuity）や完備性の公理（completeness axiom）などと呼びます。
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つものと定める。
連続性の公理は数集合としての実数集合\(\mathbb{R} \)を特徴づける公理であるため、有理数集合\(\mathbb{Q} \)において同様の主張は成り立たないはずです。以下の例より明らかです。
B &=&\left\{ x\in \mathbb{Q} \ |\ x^{2}\geq 2\wedge x>0\right\}
\end{eqnarray*}からなる対\(\left\langle A,B\right\rangle \)は\(\mathbb{Q} \)の切断であるとともに、\(\max A\)と\(\min B\)はともに存在しません（演習問題）。したがって、\(\mathbb{Q} \)は連続性を満たさないことが明らかになりました。
完備な実数全順序体
公理主義的実数論において、実数集合\(\mathbb{R} \)に課される公理は以上ですべてです。改めて整理します。
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定める。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味する。
加法と乗法および大小関係の性質を規定する\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{15}\right) \)までの公理を認めることは、\(\mathbb{R} \)が加法と乗法と大小関係に関して全順序体（totally ordered field）であることを意味します。以上の公理に加えて連続性\(\left( R_{16}\right) \)を公理として認めることは、\(\mathbb{R} \)が加法と乗法と大小関係に関して完備な全順序体（complete totally ordered field）であることを意味します。このような完備な全順序体を特に完備な実数全順序体（complete totally ordered field of real numbers）と呼び、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,+,\cdot ,\leq \right)
\end{equation*}で表記します。完備な実数全順序体について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} \end{equation*}と表記できます。
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