無理数の定義

無理数の定義

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。公理主義的実数論のもとでは、実数に関する主張はいずれも以上の公理から導く必要があります。

自然数と整数および有理数の定義を簡単に復習します。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が帰納的集合であることとは、以下の2つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 1\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x\in A\Rightarrow x+1\in A\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。\(\mathbb{R} \)におけるすべての帰納的集合からなる集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記するとき、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)は、この集合族の共通部分\begin{equation*}\mathbb{N} =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\end{equation*}として定義されます。したがって、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)が自然数であることと、その\(x\)がすべての帰納的集合の要素であることは必要十分であるということです。自然数集合\(\mathbb{N} \)もまた\(\mathbb{R} \)における帰納的集合であるため、\(1\in \mathbb{N} \)を出発点として個々の自然数を以下の形\begin{eqnarray*}2 &=&1+1 \\
3 &=&2+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}で再帰的に定義します。したがって、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}を得ます。自然数の間には、\begin{equation*}
1<2<3<\cdots
\end{equation*}という大小関係が成立します。

自然数集合\(\mathbb{N} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \end{equation*}を満たす場合には、\(x\)を整数と呼びます。つまり、自然数、ゼロ、自然数の加法逆元の中の少なくとも1つであるような実数を整数と呼ぶということです。すべての整数からなる集合を、\begin{eqnarray*}\mathbb{Z} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \right\} \\&=&\mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \cup -\mathbb{N} \\
&=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{
-1,-2,-3,\cdots \right\} \\
&=&\left\{ \cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。ただし、\begin{equation*}
-\mathbb{N} =\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}です。

整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}
\end{equation*}を満たす場合には、\(x\)を有理数と呼びます。つまり、2つの整数の商の形で表される実数を有理数と呼ぶということです。また、実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\exists z\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{z}{n}
\end{equation*}が成り立つことは、\(x\)が有理数であるための必要十分条件です。つまり、実数が有理数であることと、その実数が整数と自然数の商の形で表されることは必要十分です。すべての有理数からなる集合を、\begin{eqnarray*}\mathbb{Q} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}\right\} \\&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists z\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{z}{n}\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

以上の要領で有理数集合\(\mathbb{Q} \)が定義されている状況を想定します。その上で、実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}x\not\in \mathbb{Q} \end{equation*}が成り立つ場合、\(x\)を無理数（irrational number）と呼びます。つまり、有理数ではない実数を無理数と呼ぶということです。実数\(x\in \mathbb{R} \)が有理数であることは、\begin{equation*}\exists z\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{z}{n}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、実数\(x\in \mathbb{R} \)が無理数であることとは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall z\in \mathbb{Z} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x\not=\frac{z}{n}
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、いかなる整数と自然数の商の形で表すことができない実数を無理数と呼ぶということです。すべての無理数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall z\in \mathbb{Z} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x\not=\frac{z}{n}\right\}
\end{equation*}となります。

無理数は存在する

古代ギリシアにおいて、ピタゴラスは無理数が存在することを証明しました。具体的には、縦横の長さがともに\(1\)の直角三角形の斜辺の長さを\(x\)で表す場合、ピタゴラスの定理より、\begin{equation*}x^{2}=1^{2}+1^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x^{2}=2
\end{equation*}が成り立ちますが、ピタゴラスは以上の条件を満たす正の数\(x\)が有理数でないこと、すなわち無理数であることを示しました。ただ、ピタゴラスの議論は\(x^{2}=2\)を満たす正の実数\(x\)が存在することを前提としています。\(x\)を直角三角形の斜辺の長さとみなすのであれば、\(x^{2}=2\)を満たす正の実数\(x\)が存在することは自明なようですが、公理主義的実数論のもとではそのことを実数の公理から導く必要があります。以降では、無理数が存在することを実数の公理系から導きます。

まずは、\(x^{2}=2\)を満たす正の実数\(x\)が存在することを示します。証明のスケッチは以下の通りです。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x\wedge x^{2}<2\right\}
\end{equation*}と定義したとき、これは上に有界かつ非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合であることが示されるため、実数の連続性（上限性質）より\(\sup A\)が存在することが保証されます。この上限こそが目的の実数であること、すなわち、\(\left( \sup A\right) ^{2}=2\)かつ\(\sup A>0\)を満たすことを示すことにより証明が完了します。

以下の条件\begin{equation*}
x^{2}=2\wedge x>0
\end{equation*}を満たす実数\(x\in \mathbb{R} \)が1つだけ存在することが明らかになりました。後は、ピタゴラスによる証明を辿ることにより、この実数\(x\)が有理数ではないこと、すなわち無理数であることが示されます。そこで、以上の条件を満たす無理数を、\begin{equation*}\sqrt{2}
\end{equation*}で表記することとします。

有理数と無理数の演算

有理数は実数であり、無理数は有理数ではない実数として定義されているため、有理数と無理数はともに実数です。\(\mathbb{R} \)は四則演算について閉じているため（ゼロで割る場合を除く）、以上を踏まえると、無理数\(x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)とゼロではない有理数\(r\in \mathbb{Q} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}x+r,\quad r+x,\quad x-r,\quad r-x,\quad x\cdot r,\quad r\cdot x,\quad \frac{x}{r},\quad \frac{r}{x}
\end{equation*}がいずれも実数になることが保証されます。ただし、加法に関する交換律より\(x+r\)と\(r+x\)は等しく、乗法に関する交換律より\(x\cdot r\)と\(r\cdot x\)は等しいことが保証されます。また、\(r\)は非ゼロの有理数であるため\(\frac{x}{r}\)は定義可能です。\(0\)は有理数であり、無理数は有理数ではない実数であるため、\(0\)は無理数ではありません。したがって\(\frac{r}{x}\)も定義可能です。さらに、以上の実数はいずれも無理数になることが保証されます。つまり、有理数と無理数に対して四則演算を行った結果は無理数になることが保証されるということです。

演習問題