価格決定を通じた独占均衡

価格決定を通じた独占企業の利潤最大化

独占市場において商品は1つの企業によって供給されるため、独占企業による供給量がそのまま市場全体の供給量と一致します。そのため、独占企業が商品の供給量を変化させれば商品の均衡価格も変化します。特に、市場の逆需要曲線が右下がりである場合、独占企業が供給を増やせば価格は下落し、逆に供給を減らせば価格は上昇します。以上の想定のもと、独占均衡であるための必要条件を明らかにしました。モデルおよび結果の復習です。

特に、独占数量\(q^{m}\)が内点解である場合には、すなわち\(q^{m}>0\)を満たす場合には、\(\left( B\right) \)より、\begin{equation*}MR\left( q^{m}\right) =MC\left( q^{m}\right)
\end{equation*}となり、\(\left( A\right) \)が等号で成立します。つまり、内点解であるような独占数量\(q^{m}\)のもとでは限界収入と限界費用が一致します。では、同様の市場において独占企業が商品の供給量ではなく価格を決定する場合には何が起こるでしょうか。その場合の独占均衡はどのような性質を備えているのでしょうか。まずは、独占企業による価格決定を通じた利潤最大化問題を定式化します。

先の命題中の条件を満たす市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の定義域を\(\left[ 0,\overline{q}\right] \)へと縮小すると値域は\(\left[ 0,\overline{p}\right] \)になるとともに、得られた関数\begin{equation*}p:\left[ 0,\overline{q}\right] \rightarrow \left[ 0,\overline{p}\right] \end{equation*}は狭義単調減少関数になるため、その逆関数\begin{equation*}
p^{-1}:\left[ 0,\overline{p}\right] \rightarrow \left[ 0,\overline{q}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p^{-1}\left( p\right) & \left( if\ 0\leq p\leq \overline{p}\right) \\
0 & \left( if\ p>\overline{p}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める市場の需要関数\begin{equation*}
q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定義します。つまり、独占企業が商品の価格を\(p\geq 0\)と定めた場合に、市場の需要は、\begin{equation*}q\left( p\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。需要関数\(q\)は逆需要関数\(p\)と同様に以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{p}>0,\ \forall p>0:\left[ p\geq
\overline{p}\Rightarrow q\left( p\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{q}>0:q\left( 0\right) =\overline{q} \\
&&\left( c\right) \ q\text{は}\left[ 0,\overline{p}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{p})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ q\text{は}[0,\overline{p})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たします。

条件\(\left( a\right) \)は、商品の価格\(p\)がある正の値\(\overline{p}\)以上になると商品の均衡数量が\(0\)になるということです。消費者の欲望や購買力には限りがあるため、これは当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品の価格がゼロである場合の需要が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left( c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{p}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は価格\(p\)が上昇するほど市場の需要\(q\left( p\right) \)が下落するということです。つまり、独占企業が右下がりの需要曲線に直面しているということです。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left( d\right) \)を、\begin{equation*}\forall p\in \left[ 0,\overline{p}\right) :\frac{dq\left( p\right) }{dp}<0
\end{equation*}と表現することもできます。

以上の条件を満たす需要関数\(p\)のグラフ、すなわち需要曲線を以下に描きました。関数\(q\)の変数である価格\(p\)が縦軸になっていることに注意してください。独占企業は需要関数\(q\)の形状を把握しているものとします。

逆関数の定義より、価格と数量の組\(\left( p,q\right)\in \left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}p=p\left( q\right) \Leftrightarrow q=q\left( p\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。つまり、市場への供給量が\(q\)であるときの均衡価格が\(p\)であることと、価格が\(p\)であるときの市場の需要が\(q\)であることは必要十分であるということです。したがって、\(\left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \)上の価格と数量の組\(\left( p,q\right) \)を議論の対象とする場合、逆需要関数\(q\)と需要関数\(p\)のどちらを利用しても一般性は失われません。以降では必要に応じて両者を使い分けます。

独占企業が商品の価格\(p\)を選択すると、それに対して市場の需要関数\(q\)が定める数量\begin{equation*}q\left( p\right)
\end{equation*}において商品市場が均衡し、独占企業は収入\begin{equation*}
p\cdot q\left( p\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、独占企業が選択する価格に応じて商品の需要が変化し得るという意味において、独占企業は価格支配力を持ちます。その一方で、商品を\(q\left( p\right) \)だけ供給するために独占企業が負担すべき費用は費用関数\(c\)から、\begin{equation*}c\left( q\left( p\right) \right)
\end{equation*}と定まるため、価格\(p\)のもとで独占企業が得る利潤は、収入から費用を差し引くことにより得られる、\begin{equation*}p\cdot q\left( p\right) -c\left( q\left( p\right) \right)
\end{equation*}となります。独占企業は自身の利潤を最大化するような価格\(p\)を選択します。つまり、価格を選択する独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}\max_{p\geq 0}\ p\cdot q\left( p\right) -c\left( q\left( p\right) \right)
\end{equation*}となります。この問題の解に相当する価格\(p^{m}\)が存在する場合、それを独占価格（monopoly price）と呼びます。独占価格\(p^{m}\)が定まれば市場の需要関数\(p\)から市場の需要が、\begin{equation*}q^{m}=q\left( p^{m}\right)
\end{equation*}と定まります。これを独占数量（monopoly quantity）と呼びます。独占価格と独占数量からなる組\begin{equation*}
\left( p^{m},q^{m}\right)
\end{equation*}を独占均衡（monopoly equilibrium）やベルトラン独占均衡（Bertrand monopoly equilibrium）またはベルトラン点（Bertrand point）などと呼びます。

数量決定を通じた独占均衡との関係

価格を選択する独占企業が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{p\geq 0}\ p\cdot q\left( p\right) -c\left( q\left( p\right) \right)
\end{equation*}と定式化されることが明らかになりました。

\(p\in \left[ 0,\overline{p}\right] \)を満たす価格のもとでの需要を\(q=q\left( p\right) \)と表記するのであれば、\begin{equation*}\left( p,q\right) \in \left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \end{equation*}が成り立つため、需要関数と逆需要関数の関係より、以下の関係\begin{equation}
q=q\left( p\right) \Leftrightarrow p=p\left( q\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、価格を選択する独占企業の利潤を、\begin{equation*}
p\cdot q\left( p\right) -c\left( q\left( p\right) \right) =p\left( q\right)
\cdot q-c\left( q\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{equation*}と表現できます。つまり、\(p\in \left[ 0,\overline{p}\right] \)を満たす価格を対象とする場合には、価格を選択する場合の利潤最大化問題\begin{equation}\max_{p\in \left[ 0,\overline{p}\right] }p\cdot q\left( p\right) -c\left(
q\left( p\right) \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}について考えるかわりに、生産量を選択する場合の利潤最大化問題\begin{equation}
\max_{q\in \left[ 0,\overline{q}\right] }p\left( q\right) \cdot q-c\left(
q\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}を解いた上で、得られた解\(q^{m}\)に対して\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)をとれば、この価格\(p^{m}\)がもとの問題\(\left( 2\right) \)の解になることが保証されます。つまり、独占企業が価格を決定する場合の利潤最大化問題\(\left(2\right) \)を、独占企業が生産量を決定する場合の利潤最大化問題\(\left(3\right) \)に読み替えることができるということです。

逆需要関数\(p\)と費用関数\(c\)が冒頭の命題が要求する条件を満たすのであれば、問題\(\left(3\right) \)の解である独占数量\(q^{m}\)において、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ MR\left( q^{m}\right) \leq MC\left( q^{m}\right) \\
&&\left( B\right) \ q^{m}\left[ MC\left( q^{m}\right) -MC\left( q^{m}\right) \right] =0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ここから独占数量\(q^{m}\)を明らかにした上で、その場合の均衡価格\(p^{m}=p\left( q^{m}\right) \)をとれば、これはもとの問題\(\left( 2\right) \)の解になります。つまり、独占企業が価格の決定を通じて利潤を最大化することと、生産量の決定を通じて利潤を最大化することは実質的に同じであり、いずれの場合においても、内点解において限界収入と限界費用は一致し、端点解において限界収入は限界費用以下になります。

内点解の場合に関して、以上の議論の結論を図を用いて確認します。独占企業が生産量の決定を通じて利潤を最大化する場合、独占均衡が内点解であれば、限界収入と限界費用が一致するような供給量\(q^{m}\)が選ばれ、それに対して商品の市場価格が\(p^{m}\)と定まります（上図）。独占企業が価格の決定を通じて利潤を最大化する場合にも、独占均衡が内点解であれば、限界収入と限界費用が一致するような価格\(p^{m}\)が選ばれ、それに対して商品の需要が\(q^{m}\)と定まります（上図）。どちらの場合にも、独占均衡は\(\left( p^{m},q^{m}\right) \)で一致します。端点解についても同様の議論が成立します。

演習問題